27. 武汉市2019届毕业生二月调研测试理科数学（教师版）.pdf

1、武汉市 2019 届毕业生二月调研测试 理科数学 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知复数z满足(34i)7iz，则z （ ） A1 i B1 i C1 i D1 i 1答案：B 解析： 7i(7i)(34i)2525i 1 i 34i(34i)(34i)25 z 2已知集合 2 40 , |0Ax xxBx x，则AB （ ） A(0,4 B0,4 C0,2 D(0,2 2答案：A 解析：由 2 40xx，得 2 40xx，即

2、40xx，所以4,44xx， 即 4,4,(0,),(0,4ABAB 3已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 15 12,90aS，则等差数列 n a的公差d （ ） A2 B 3 2 C3 D4 3答案：C 解析： 51 5 4 560 1090 2 Sadd ，解得3d 4已知双曲线 22 2 1(0) 4 xy b b 的渐近线方程为30xy，则b （ ） A2 3 B3 C 3 2 D12 4答案：A 解析：由双曲线方程可知其渐近线方程为 2 b yx ，又渐近线方程为3yx ，所以3,2 3 2 b b 5执行如图所示的程序框图，则输出 s 的值为（ ） A5 B12 C27

3、 D58 开始开始 1,1ks k30? 输出输出s 结束结束 21kk ssk 是是 否否 5答案：C 解析：1 1 37 1527s 6 如图， 网格纸上小正方形的边长为 1， 粗实线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为 （ ） A 2 3 B 4 3 C2 D2 5 6答案：B 解析：该几何体有两个圆锥拼接而成，圆锥的底面半径1r ，高2h ，所以该几何体的体积为 2 14 2(1 ) 2 33 V 7 已知某口袋中装有2个红球， 3个白球和1个蓝球， 从中任取3个球， 则其中恰有两种颜色的概率是 （ ） A 3 5 B 4 5 C 7 20 D 13 20 7答案：D 解析：

4、恰有两种颜色的概率 12212121 23232131 3 6 63 1 313 2020 C CC CC CC C P C 也可以从反面考虑： 1113 2313 3 6 6 113 11 2020 C C CC P C 8在ABC中，0,4,5,AB ACABBCD 为线段BC的中点，E为线段BC垂直平分线l上 任一异于D的点，则AE CB （ ） A 7 2 B 7 4 C 7 4 D7 8答案：A 解析： 22 3ACBCAB ， 22117 222 AE CBADDECBAD CBDE CBAD CB ABACABACABAC D C B A E 9已知函数( )2sin 4 f x

5、x 在区间0, 8 上单调递增，则的最大值为（ ） A 1 2 B1 C2 D4 9答案：C 解析：当0, 8 x 时，, 44 84 x ，则由题意可得 842 ，解得2，即的 最大值为 2 10已知,A B为抛物线 2 4yx上两点，O为坐标原点，且OAOB，则AB的最小值为（ ） A4 2 B2 2 C8 D8 2 10答案：C 解析：设 22 1122 ( ,2 ), ( ,2 )A ttB tt，则 2 1 21 2 ()40OA OBt tt t ，解得 1 2 0t t （舍去）或 1 2 4t t ， 所以 22 2222242 12121111 242 1111 168256

6、64 ()(22 )24ABtttttttt tttt 2 2562 2568，当且仅当 2 1 4t 时等号成立，所以AB的最小值为 8 解法 2：特值法，当OAOB，即直线OA的倾斜角为45时，AB取得最小值，联立 2 4 yx yx ， 得(4,4)A，同理可得(4, 4)B，所以8AB 11若, x y满足约束条件 22 236 xy yx ，则(1)xy的取值范围为（ ） A 3,0 B 9 3, 4 C 9 0, 8 D 9 3, 8 11答案：D 解析：由 22 236 xy yx ，得 222 6236 xy yx ，作可行域如图所示， 其中 33 1,( 2,0),1,(2,

7、0) 22 ABCD ， 则(1)zxy表示以点( , )x y和( 1,0)的连线段为对角线 的长方形的面积（可为负值） ，当( , )x y位于线段 3 :22 0 2 AD xyy 时， 2 (1)( 23)23zxyyyyy ，因为 3 0 2 y，所以 9 0, 8 z ； 当( , )x y位于线段 36 :(12) 2 x CD yx 时， 2 3 (1)(2) 3,0 2 zxyxx ； 当( , )x y位于线段 3 :220 2 BC xyy 时， 2 1 (1)( 21)23, 8 zxyyyyy ； 当( , )x y位于线段 36 :( 21) 2 x AB yx 时

8、， 2 33 (1)(32),0 28 zxyxx 综上可知，(1)zxy的取值范围是 9 3, 8 2 1 1 2 22 C A BD 2 1 1 2 22 C A BD 2 1 1 2 422 C A BD 解法 2：由(1)zxy，得 1 z y x ，作出函数 1 z y x 的图象，使其经过可行域内的点，当 1 z y x 与直线:22AD xy相切时，z取得最大值，设切点为横坐标为t，因为 2 (1) z y x ， 所以 2 2 12 1 (1)2 zt t z t ，解得 1 2 9 8 t z ，即 max 9 8 z， 当 1 z y x 过点 3 1, 2 C 时，z取得

9、最小值 min 3 (1 1)3 2 z 综上可知，(1)zxy的取值范围是 9 3, 8 12已知函数( )ln()(0) x f xeaaxaa a，若关于x的不等式( )0f x 恒成立，则实数a的取值 范围为（ ） A 2 (0,e B 2 (0,)e C 2 1,e D 2 (1,)e 12答案：B 解析：函数( )f x的定义域为(1,)，由( )ln()0 x f xeaaxaa，得1ln() x e axa a ， 函数1 x e y a 与函数ln()yaxa互为反函数， 其图象关于直线yx对称， 所以要使得( )0f x 恒成 立，只需1 x e x a 恒成立，即 1 x

10、 e a x 恒成立，设( ) 1 x e g x x ，则 2 (2) ( ) (1) x ex g x x ，可知当2x 时， ( )g x取得最小值 2 e，所以 2 ae，又因为0a ，所以a的取值范围是 2 (0,)e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13 7 (2)(2)xx展开式中 7 x项的系数为 13答案：12 解析：展开式中含 7 x的项为 16177 7 ( 2)212x C xxx ，故展开式中 7 x项的系数为12 14函数ln()yxxa在点(0,0)处的切线方程为yx，则实数a的值为 14答案：e 解析：ln()

11、x yxa xa ，当0x 时，ln1ya，解得ae 15已知正项数列 n a满足 1 1a ，前n项和 n S满足 2 1 4(3) (2,) nn SannN ，则数列 n a的通 项公式为 n a 15答案：21n 解析： 当2n 时， 2 2122 4(3)16,4,3SaSa； 当3n 时， 2 3233 4(3)36,9,5SaSa， 当4n 时， 2 4333 4(3)64,16,7SaSa，猜想得21 n an，经验证，当21 n an时， 2 1 23, nn anSn ，满足 2 1 4(3) nn Sa 故21 n an，下面用数学归纳法证明： 1 1a ， 2 3a ，

12、满足21 n an， 设nk时，结论成立，即21 k ak， 2 k Sk， 则 222222 1111 4(3)(22)4(1) ,(1) ,(1)21 kkkkkk SakkSkaSSkkk 2(1) 1k，也满足21 n an， 结合可知，21 n an 16在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点A关于平面 1 BDC的对称点为M，则M到平面 1111 ABC D的距离为 16答案： 5 3 解析：将正方体 1111 ABCDABC D再叠加一个正方体，构成如图所示的正四棱柱 11112222 ABC DA B C D， 则平面 1 BDC即为平面 21 A BC D

13、，连接 2 AC，与平面 2 A BD，平面 22 B CD交于,P Q两点， 易证得平面 2 /A BD平面 22 B CD，且 2 AC 平面 2 A BD， 2 AC 平面 22 B CD，且,P Q两点是线段 2 AC 的两个三等分点， 所以点Q即为点A关于平面 1 BDC的对称点为M， 易知点Q平面 1111 ABC D的距离为 5 3 A C B D A1 D1 C1 B1 B2 C2 D2 A2 P Q 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 6

14、0 分 17 （本小题满分 12 分） 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c已知2,3,sin2sin0abCA （1）求c； （2）求ABC的面积 17解析： （1）由sin2sin0CA，知2sincossin0CCA， 222 2222 20,()0 2 abc cac abca b ab ，而2,3ab， 2 (49) 120cc， 即 3 13120,(1)(3)(4)0ccccc，而0,4cc 6 分 （2）在ABC中，由余弦定理得： 222 2 113 15 cos,sin1 cos 21616 acb BBB ac ， 所以ABC的面积 113 153 1

15、5 sin2 4 22164 SacB 12 分 解法 2： 19 2,3,4,() 22 abcpabc，由海伦公式得： ABC的面积 95313 15 ()()() 22224 Sp papbpc12 分 18 （本小题满分 12 分） 如图， 已知四边形ABCD为梯形， 11 /,90 ,ABCDDABBDD B为矩形， 平面 11 BDD B 平面ABCD， 又 1 1,2ABADBBCD （1）证明： 11 CBAD； （2）求二面角 11 BADC的余弦值 A B C B1 D D1 18解法一： （1） 11 BDD B为矩形，且平面 11 BDD B 平面ABCD， 1 BB平

16、面 1 ,ABCD DD 平面ABCD，在 1 RtDDC中， 111 5,2,2DCADAB， 在梯形ABCD中，90 ,1,2,5,2DABADABDCACBC，从而 1 3BC 在 11 B DC中， 1111 5,2,3DCB DBDBC，可知 111 BCB D， 在 1 BCA中， 11 3,2,5BCABAC，可知 11 BCAB， 又 1111 B DABB， 1 BC平面 11 B D A，又 1 AD 平面 1111 ,B D ACBAD6 分 （2）取 1 AD的中点E，连接 1 ,B E CE，由 111 2B DAB知 11 B EAD， 由 1 5CDAC知 1 C

17、EAD， 1 B EC为二面角 11 BADC的平面角 由（1）知 1 BC 平面 11 B D A， 1 90CB E，又 1 36 2 22 B E ， 22 11 3 2 2 CEBCB E， 1 1 3 cos 3 B E B EC CE AB C B1 D D1 x y z A B C B1 D D1 E 解法二： （1） 11 BDD B为矩形，且平面 11 BDD B 平面ABCD， 1 BB平面ABCD，又ADDC， 所以可以以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，则 11 (1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,1,1),(0,0,1)ABCDBD

18、， 111111 (1, 1,1),( 1,0,1),1 1 0 ( 1) 1 10,CBADCBADCBAD （2） 111 ( 1,0,1),(1,1,0),( 1,2,0)ADD BAC ， 设平面 11 AD B的法向量为 111 ( ,)mx y z ，则 111 1111 0 0 m ADxz m D Bxy ，令 1 1x ，得(1, 1,1)m 设平面 1 ADC的法向量为 222 (,)nxyz ，则 122 22 0 20 n ADxz n ACxy ，令 2 1y ，得(2,1,2)n 33 cos, 333 m n m n mn ， 因为二面角 11 BADC为锐角，所

19、以二面角 11 BADC的余弦值为 3 3 19 （本小题满分 12 分） 一个工厂在某年连续 10 个月每月产品的总成本 y（万元）与该月产量 x（万件）之间有如下一组数据： x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 （1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立月总成本 y 与月产量 x 之间的回归方程； 通过建立的 y 关于 x 的回归方程，估计某月产量为 1.98 万件

20、时，此时产品的总成本为多少万元？ （均精确到 0.001） 附注：参考数据： 1010 11 14.45,27.31 ii ii xy ， 1010 2222 11 100.850,101.042,1.222 ii ii xxyyb ， 参考公式：相关系数 1 2222 11 n ii i nn ii ii x ynx y r xnxyny ， 回归方程 yabx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 22 1 , n ii i n i i x ynx y baybx xnx 19解析： （1）由已知条件得： 10 22 1 10 22 1 10 0.85 1.220.997 1.042

21、10 i i i i xx rb yy ， 这说明y与x正相关，且相关性很强5 分 （2）由已知求得1.445,2.731,2.731 1.222 1.4450.965xyayyx， 所以所求回归直线方程为1.2220.965yx8 分 当1.98x 时，1.222 1.980.9653.385y （万元） ， 此时产品的总成本为 3.385 万元12 分 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 的长轴长为 4，离心率为 2 2 （1）求椭圆的标准方程； （2）过(1,0)P作动直线AB交椭圆于,A B两点，Q为平面上一点，直线,QA QB QP的斜

22、率分别为 120 ,k k k，且满足 120 2kkk，问Q点是否在某定直线上运动，若存在，求出该直线方程；若不存在， 请说明理由 20解析： （1）依题意，24,2aa，而 22 2 ,2,2 2 c ecbac a ， 从而椭圆的方程为 22 1 42 xy 4 分 （2）方法 1：当直线AB的斜率存在时，设直线:(1)AB yk x与椭圆交于 1122 ( ,),(,)A x yB xy， 设 00 (,)Q xy，将(1)yk x代入 22 240xy，得 2222 (21)4240kxk xk，显然0 2 12 2 2 12 2 4 21 24 21 k xx k k x x k

23、，由已知条件 120 2kkk，得 01020 01020 2 1 yyyyy xxxxx ， 即 010020 010020 0 11 yyyyyy xxxxxx ，将 1122 (1),(1)yk xyk x代入，整理得： 100200 010020 (1)()(1)() 0 ()(1)()(1) xykxkxykxk xxxxxx ，而 00 0ykxk ，所以 12 0102 11 0 xx xxxx ， 即： 012120 (1)()220xxxx xx， 22 00 22 424 (1)220 1212 kk xx kk ， 即 222 0000 (1) 448240,4xkkxk

24、 xx 当直线AB的斜率不存在时，经检验符合题意 综上，点Q的轨迹方程为：4x 12 分 方法 2：当直线AB的斜率存在时，设直线:(1)AB yk x与椭圆交于 1122 ( ,),(,)A x yB xy， 设 00 (,)Q xy，将(1)yk x代入 22 240xy，得 2222 (21)4240kxk xk，显然0 2 12 2 2 12 2 4 21 24 21 k xx k k x x k ， 直线AQ的斜率 101000 1 101010 (1)yyk xykxky kk xxxxxx ，同理 00 2 20 kxky kk xx ， 120 120000 2 1020120

25、120 211 2()2() () xxx kkkkxkykkxky xxxxx xx xxx ， 将代入，由 120 2kkk，得： 22 00 00 2222 000 42(21)2 2() 244(21)1 kxky kkxky kk xxkx ， 所以 2 000 00 222 000 2(1) () 2(1)41 kxxy kkxky kxxx ， 2 00000 00 222 000 2(1) () 2(1)41 kxxykxx kxky kxxx ， 又 00 (1)yk x， 2 00 222 000 2(1)1 2(1)41 kxx kxxx ， 222222 00000 2

26、(1)2(1)4kxxxkxx ， 0 4x 当直线AB的斜率不存在时，经检验符合题意 综上，点Q的轨迹方程为：4x 12 分 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )()(0) x f xaxx ea （1）若函数( )f x在区间2,)上单调递减，求实数a的取值范围； （2）设( )f x的两个极值点为 1221 ,()x xxx，证明：当 2 11 5 a时， 12 ()()0f xf x （附注：ln112.398） 21解析： （1）由 2 ( )() x f xaxx e，得 22 ( )(2 )()(2) xxx fxax eaxx exaxa e ， 22 (2)4

27、()40aaa ， 2 (2)xaxa有两个不同的实根 1212 ,()x xxx， 22 12 2424 , 22 aaaa xx ， 所以函数( )f x在 1 (,x上单调递减，在 12 ( ,)x x上单调递增，在 2 ,)x 上单调递减 所以要( )f x在2,)上单调递减，只需 2 2 24 2 2 aa x ，即 2 46aa， 22 4(6) 60 aa a ，从而 8 3 a 所以所求a的取值范围是 8 0, 3 6 分 （2）解： 2 12 ( )(2), x fxxaxa ex x 是( )f x的极值点 12 ()xx， 12 ,x x是关于x的方程 2 (2)0xax

28、a两个实根， 1212 2,xxax xa ， 又 12 22 121122 ()()()() xx f xf xaxx eaxx e， 22 1111111212 (2)022(2)2xaxaaxxxaxxxxx， 22 2222221221 (2)022(2)2xaxaaxxxaxxxxx， 12 121221 ()()(2)(2) xx f xf xxxexxe， 又 1221 1212211221 ()()0(2)(2)0(2)(2)0 xxxx f xf xxxexxexxxxe ， 令 21 txx，则 22 211212 12 ()44 5 txxxxx xa， 从而只需(2)(

29、2)0 t tte对 12 5 t恒成立 令( )(2)(2) t h ttte ，而( )1(1) t h tte 在 12 , 5 上单调递增， 121212 555 127122222 ( )10,( )11 555555 h theh thee ， 又 12 5 12 ln112.3982.4,11,( )0 5 eh t12 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 1: 4 sin30C，曲线 2

30、 2 :sin0 42 C （1）求 12 ,C C的直角坐标方程； （2）已知曲线 1 C与y轴交于,A B两点，P为 2 C上任一点，求PAPB的最小值 22解析： （1）由 2 1: 4 sin30C，得 22 430xyy， 即 1 C的直角坐标方程为 22 430xyy； 由 2 2 :sin0 42 C ，得 222 sincos0,10 222 yx ， 即 2 C的直角坐标方程为10xy 5 分 （2） 22 430xyy与y轴交于点(0,3),(0,1)AB， 而(0,1)B关于直线1yx的对称点为(2, 1) B ， 22 (20)(3 1)2 5PAPBPAPBAB10

31、分 3 2 1 1 2 B A B C1 O P 23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知函数( )21,Rf xxxa a （1）当1a 时，求不等式( )0f x 的解集； （2）若关于x的不等式( )f xx在Rx时恒成立，求实数a的取值范围 23解析： （1）当1a 时，由( )0f x ，得211xx， 22 4(1)(1)xx， (31)(3)0xx，解得3x 或 1 3 x ，所以( )0f x 的解集为 1 (, 3), 3 5 分 （2）( )21f xxxax对Rx恒成立，即21xaxx， 即2121xxxaxx，22121xxax对Rx恒成立， 显然 min 210x， 令( )221g xxx，则 42,1 ( ) 2,1 xx g x x ，( )g x在(, 1 单调递增， max ( )2g x ， 20a 10 分