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类型24. 河北省石家庄市2019届高三毕业班教学质量检测数学(理)教师版.pdf

  • 上传人(卖家):乡间的小路
  • 文档编号:490955
  • 上传时间:2020-04-27
  • 格式:PDF
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    1、石家庄市 2019 届高中毕业班教学质量检测 理科数学 编辑:华附南海实验高中 李志刚 微信 (2)P 12 25 3 7 4 7 C C C ; (3)P 3 5 3 7 2 7 C C ; 则分布列为 1 2 3 P 1 7 4 7 2 7 10 分 14215 ( )123 7777 E 12 分 19 (本小题满分 12 分) 如图,已知三棱柱 111 ABCABC,侧面 11 ABB A为菱形, 1 ACBC (1)求证: 1 AB 平面 1 ABC; (2)若 111 60 ,ABBCBACBB ACBC ,求二面角 1 BACA的余弦值 A B CC1 A1 B1 O 19解:

    2、(1)因为侧面 11 ABB A 为菱形,所以 11 ABAB , 2 分 因为 1 ACBC ,连接CO,所以 1 ABCO , 1 ABCOO, 所以 1 AB 平面 1 ABC 4 分 (2)解法一:因为 11, CBACBBABBB BCBC ,则 1 CBACBB, 所以 1 ACBC,又 1 ACBC,可得 1 COAB, 11 COABB A 平面, 令 1 2BB , 1 ACBC 则1CO , -6 分 如图,以OB所在的直线为x轴,以 1 OB所在的直线为y轴,以OC所在的直线为z轴建立坐标系 1 (0, 1,0), ( 3,0,0),(0,0,1),(3,0,0)ABCA

    3、 11 ( 3,1,0),(0,1,1),(3,1,0),( 3,0,1)ABACAAAC -8 分 设平面ABC的法向量为 1 ( , , )nx y z 1 1 0 30 00 nAB xy yznAC ,令1x ,则 1 (1,3, 3)n 同理平面 1 A AC的法向量为 2 (1, 3,3)n -10 分 12 12 5 cos 7 n n n n , 所以,二面角 1 BACA的余弦值为 5 7 .-12 分 (2)解法二:因为 11, CBACBBABBB BCBC ,则 1 CBACBB, 所以 1 ACBC, 设2AB ,因为 1 60ABB,侧面 11 ABB A为菱形,所

    4、以 1 2AB , 又因为 1 ACBC ,可得2,1ACCO,-6 分 所以2BC ,因此 ABC为等腰三角形,那么 1 A AC也为等腰三角形,取AC的中点M,连接 1 ,BM AM,则 1 BMA为二面角 1 BACA的平面角, 8 分 在 1 BMA中,可得 11 14 ,2 3 2 BMAMAB 10 分 所以 222 11 1 1 5 cos 27 BMAMAB BMA BM AM 所以,二面角 1 BACA的余弦值为 5 7 . 12 分 A B CC1 A1 B1 O x y z A B CC1 A1 B1 O M 20 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 22 22 :1(0

    5、) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ,且经过点 3 1, 2 (1)求椭圆C的方程; (2)过点( 3,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点,A B,试问在x轴上是否存在定点Q,使得直线QA 与直线QB恰好关于x轴对称?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由 20解:(1)由题意可得 3 2 c a , 22 13 1 4ab ,又 222 abc,2 分 解得 2 4a , 2 1b 所以,椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y. 4 分 (2)存在定点 4 3 ,0 3 Q ,满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称. 设直线l的方程为30xmy,与椭圆C联立,整理得, 22 (4)

    6、2 310mymy . 设 1122 ( ,),(,)A x yB xy,定点( ,0)Q t.(依题意 12 ,)tx tx 则由韦达定理可得, 12 2 2 3 4 m yy m , 12 2 1 4 y y m . 6 分 直线QA与直线QB恰关于x轴对称,等价于,AQ BQ的斜率互为相反数. 所以, 12 12 0 yy xtxt ,即得 1221 ()()0y xtyxt. 8 分 又 11 30xmy, 22 30xmy, 所以, 1221 ( 3)( 3)0ymytymyt,整理得, 1212 ( 3)()20tyymy y. 从而可得, 22 2 31 ( 3)20 44 m

    7、tm mm , 10 分 即2 (43 )0mt, 所以,当 4 3 3 t ,即 4 3 ,0 3 Q 时,直线QA与直线QB恰关于x轴对称成立. 特别地,当直线l为x轴 时, 4 3 ,0 3 Q 也符合题意. 综上所述,存在x轴上的定点 4 3 ,0 3 Q ,满足直线QA与直线QB恰关 于x轴对称. 12 分 21 (本小题满分 12 分) 已知函数 2 1 ( )ln(1), 2 f xxaxa为常数 (1)讨论函数( )f x的单调性; (2)若函数( )f x有两个极值点 12 ,x x,且 12 xx,求证: 21 3ln4 () 8 f xx 21解:(1)函数的定义域为(,

    8、1)由题意, 2 ( ) 11 axxa fxx xx (i)若 1 4 a,则 2 0xxa,于是( )0fx,当且仅当 11 , 42 ax时,( )0fx,所以( )f x 在(,1)单调递减. 1 分 (ii)若 1 0 4 a,由( )0fx,得 114 2 a x 或 114 2 a x , 当 114 , 2 a x 或 114 ,1 2 a x 时,( )0fx ; 当 114114 , 22 aa x 时,( )0fx ; 所以 f x在 114114 ,1 22 aa 单调递减, 114114 , 22 aa 单调递增. 3 分 (iii)若0a,则 11 4 1 2 a

    9、x , 当 114 , 2 a x 时,( )0fx ;当 114 ,1 2 a x 时,( )0fx ; 所以 f x在 114 , 2 a 单调递减, 11 4 ,1 2 a 单调递增. 综上所述,当 1 4 a时,函数( )f x在(,1)上单调递减; 当 1 0 4 a时,函数 f x在 114114 ,1 22 aa 上单调递减, 114114 , 22 aa 上单调递增; 当0a时,函数( )f x在 114 , 2 a 上单调递减, 11 4 ,1 2 a 上单调递增. 5 分 (2)由(1)知,( )f x有两个极值点当且仅当 1 0 4 a, 6 分 由于( )f x的两个极

    10、值点 12 ,x x满足 2 0xxa ,所以 1212 1,xxxxa,则 1 1 0 2 x, 由于 2 222 21221111111111 1111 ()ln(1)(1)ln2(1)ln 2222 f xxxaxxxx xxxxxxxx. 8 分 设 2 111 ( )2(1)ln0 222 g xxxxxxx . 1 ( )2(12 )ln(1)(12 )ln1g xxxxxxxx x . 当 1 1 2 x 时,(1 2 )ln0xx,所以( )0g x. 10 分 所以( )g x在 1 0, 2 单调递减,又 111113ln4 1ln 228428 g . 所以 13ln4

    11、( ) 28 g xg ,即 21 3ln4 () 8 f xx . 12 分 (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所作的第一题计分 22 【选修 44:坐标系与参数方程】 (本小题满分 10 分) 已知曲线 1 C的极坐标方程为4cos,以极点O为直角坐标原点,以极轴为x轴的正半轴建立平面直 角坐标系xOy,将曲线 1 C向左平移 2 个单位长度,再将得到的曲线上的每一个点的横坐标缩短到原来的 1 2 ,纵坐标保持不变,得到曲线 2 C (1)求曲线 2 C的直角坐标方程; (2)已知直线l的参数方程为 22 1 3 xt yt (t为参数) ,点

    12、Q为曲线 2 C上的动点,求点Q到直线l距离 的最大值 22解: (1)由4cos得 2 4 cos,所以曲线 1 C的方程为 22 (2)4xy,2 分 设曲线 1 C上任意一点( , )x y,变换后对应的点为( ,)x y, 则 1 (2), 2 , xx yy 即 22, , xx yy 4 分 代入曲线 1 C的方程 22 (2)4xy中,整理得 2 2 1 4 y x , 所以曲线 2 C的直角坐标方程为 2 2 1 4 y x ; 5 分 (2)设(cos ,2sin )Q,则Q到直线l:3280xy的距离为 3cos4sin8 13 d , 7 分 5cos()8 13 其中为

    13、锐角,且 4 tan 3 ,9 分 当cos()1 时,d取得最大值为13,所以点Q到直线l距离的最大值为1310 分 23 【选修 45:不等式选讲】 (本小题满分 10 分) 设函数( )1f xx (1)求不等式( )5(3)f xf x的解集; (2)已知关于x的不等式2 ( )4f xxax在 1,1上有解,求实数a的取值范围 23解: (1)不等式( )5(3)f xf x,即125xx1 分 等价于 1, 125, x xx 或 12, 125, x xx 或 2, 125, x xx 3 分 解得 23x ,所以原不等式的解集为 | 23xx ;5 分 (2)当 1,1x 时,不等式2 ( )4f xxax,即2xax, 所以2xax在 1,1上有解, 7 分 即222ax在 1,1上有解, 9 分 所以,24a 10 分

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