17. 2019届广州市高三调研测试（理科数学）教师版.pdf

1、 数学(理科)试题 A 第 1 页 共 16 页 秘密 启用前 试卷类型： A 2019 届广州市高三年级调研测试 理科数学 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信 （2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在25,30)内的定为一等品， 每件售价 240 元；质量指标值落在20,25)或30,35)内的定为二等品，每件售价 180 元；其它的合格品 定为三等品，每件售价 120 元根据表 1 的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中 的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费 用为X（单位：元） ，求X的

2、分布列和数学期望 18解： （1）根据图 1 可知，设备改造前样本的频数分布表如下 质量指标值 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 40,45) 频数 4 16 40 12 18 10 4 17.51622.54027.51232.51837.51042.5 1002.54 1516204025123018351040 3020 1 分 样本的质量指标平均值为 3020 30.2 100 2 分 根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2 3 分 （2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为 1 2 ， 1 3 ， 1 6

3、， 数学(理科)试题 A 第 8 页 共 16 页 F D E C B A 故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为 1 2 ， 1 3 ， 1 6 4 分 随机变量X的取值为：240，300，360，420，4805 分 111 (240) 6636 P X ， 1 2 111 (300) 369 P XC ， 1 2 11115 (360) 263318 P XC， 1 2 111 (420) 233 P XC， 111 (480) 224 P X ，10 分 所以随机变量X的分布列为： 11 分 所以 11511 ()240300360420480400 3691834 E

4、 X 12 分 19. （本小题满分 12 分） 如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角ACDF为60， DECF，,2CDDE AD，3DEDC，6CF （1）求证：BF平面ADE； （2）在线段CF上求一点G，使锐二面角BEGD的余弦值为 1 4 19解： （1）因为四边形ABCD为矩形， 所以BCAD. 因为AD 平面ADE，BC 平面ADE， X 240 300 360 420 480 P 1 36 1 9 5 18 1 3 1 4 数学(理科)试题 A 第 9 页 共 16 页 所以BC平面ADE 1 分 同理CF平面ADE 2 分 又因为BCCFC，所以平面BCF

5、平面ADE 3 分 因为BF 平面BCF，所以BF平面ADE 4 分 （2）法一： 因为,CDAD CDDE， 所以ADE是二面角ACDF的平面角，即60ADE 5 分 因为ADDED，所以CD 平面ADE. 因为CD 平面CDEF, 所以平面CDEF 平面ADE. 作AODE于点O，则AO 平面CDEF. 6 分 由2,3ADDE, 得1DO ，2EO 以O为原点，平行于DC的直线为x轴，DE所在直线为y轴，OA所在直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则 (0,0, 3),(3, 1,0),(0, 1,0),(0,2,0),(3,5,0)ACDEF， (3,0, 3)OBOA

6、ABOADC ，7 分 设(3, ,0),15Gtt ， 则 ( 3,2,3),(0, ,3)BEBGt ， 设平面BEG的法向量为 ( , , )mx y z ， 则由 0, 0, m BE m BG 得 3230, 30, xyz tyz ，取 2, 3, 3 , xt y zt 得平面BEG的一个法向量为(2,3, 3 )mtt ， 8 分 又平面DEG的一个法向量为(0,0,1)n ， 9 分 所以 2 3 4 s 43 c, 1 o t m n m nt n mt ， 10 分 数学(理科)试题 A 第 10 页 共 16 页 OM H A B C E D FG 所以 2 31 4

7、4413 t tt = ， 解得 1 2 t 或 13 22 t （舍去）， 11 分 此时 1 4 CG CF ，得 13 42 CGCF. 即所求线段CF上的点G满足 3 2 CG 12 分 法二：作BOCF于点O，作OHEG的延长线于点H，连结BH 因为,CDBC CDCF BCCFC， 所以CD 平面BCF， 5 分 BCF为二面角ACDF的平面角，60BCF 6 分 所以CDBO 因为CDCFC， 所以BO 平面CDF，BOEH7 分 因为,OHEH OHBOO， 所以EH 平面BOH8 分 所以EHBH，BHO为二面角BEGD的平面角 9 分 在Rt BCO中，2,60BCBCO，

8、 所以 3,1BOCO 又因为 1 cos 4 BHO，所以tan15 BO BHO OH ， 5 5 OH 10 分 作EMCF于M，则OGHEGM，3,3EMCDCMDE， 设OGx，则 OHEM OGEG ，即 2 5 3 5 92 x x ， 11 分 解得 1 2 x ，即所求线段CF上的点G满足 3 2 CG 12 分 20 （本题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，点 3 3, 2 P 在C上 （1）求椭圆C的方程； 数学(理科)试题 A 第 11 页 共 16 页 （2）设 12 ,F F分别是椭圆C的左, 右焦点，过

9、2 F的直线l与椭圆C交于不同的两点,A B， 求 1 F AB的内切圆的半径的最大值 20解： （1）依题意有 222 22 1 , 2 , 33 1, 4 c a abc ab 解得 2, 3, 1. a b c 3 分 故椭圆C的方程为 22 1 43 xy 4 分 （2）设 1122 ( ,),(,)A x yB xy，设 1 F AB的内切圆半径为r， 1 F AB的周长为 1212 48AFAFBFBFa， 所以 1 1 44 2 F AB Sa rr 5 分 解法一： 根据题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为1xmy，6 分 由 22 1 43 1 xy xmy ，得

10、22 (34)690mymy7 分 22 (6 )36 340mm ，mR， 由韦达定理得 1212 22 69 , 3434 m yyy y mm ，8 分 1 2 2 1212121212 2 1121 4 234 F AB m SFFyyyyyyy y m ，10 分 令 2 1tm，则1t， 1 2 124 1 31 3 F AB t S t t t 令 1 ( ) 3 f tt t ，则当1t时， 2 1 ( )10 3 ft t ，( )f t单调递增， 4 ( )(1) 3 f tf， 1 3 F AB S， 11 分 即当1,0tm时， 1 F AB S的最大值为 3，此时 m

11、ax 3 4 r 故当直线l的方程为1x 时， 1 F AB内切圆半径的最大值为 3 4 12 分 数学(理科)试题 A 第 12 页 共 16 页 解法二： 当直线lx轴时， 33 1,1, 22 AB 1 12 1 3 2 F AB SFF AB . .6 分 当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为(1)yk x， 由 22 1 43 (1) xy yk x ，得 2222 (43)84120kxk xk. 7 分 22222 (8)4 4341214410kkkk ， 由韦达定理得 22 1212 22 8412 , 4343 kk xxx x kk ，8 分 1 12121212 1

12、 () 2 F AB SFFyyyyk xx 22 2 2 12122 2 169(1) 4 43 kk kxxx x k . 10 分 令 2 43tk，则3t ， 11 0 3t , 1 22 31 16 9 931 44 F AB tt tt S tt 2 23 9 1 tt 2 11 2712 3t 2 1 27123 3 . 综上，当直线l的方程为1x 时， 1 F AB S的最大值为 3， 1 F AB内切圆半径的最大值为 3 4 12 分 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 1 ( )(2ln ), x f xa xxa x R. （1）讨论( )f x的单调性； （2

13、）若( )f x有两个零点，求实数a的取值范围 21解：(1) ( )f x的定义域为(0,)， 数学(理科)试题 A 第 13 页 共 16 页 2 33 22(2)(1) ( )1 xxax fxa xxx . 1 分 (i)当0a时， 2 10ax 恒成立， (0,2)x时，( )0fx ，( )f x在(0,2)上单调递增； (2,)x时，( )0fx ，( )f x在(2,)上单调递减； 2 分 (ii) 当0a 时，由( )0fx得， 123 11 2,xxx aa （舍去） ， 当 12 xx，即 1 4 a 时，( )0fx恒成立，( )f x在(0,)上单调递增；3 分 当

14、12 xx，即 1 4 a 时， 1 0,x a 或(2,)x时，( )0fx恒成立，( )f x在 1 0, a ，(2,)单调递增； 1 ,2x a 时，( )0fx恒成立，( )f x在 1 ,2 a 上单调递减；4 分 当 12 xx即 1 0 4 a时， 1 ,x a 或0,2x时，( )0fx恒成立，( )f x在 1 (0,2), a 单调递增； 1 2,x a 时，( )0fx恒成立，( )f x在 1 2, a 上单调递减；5 分 综上，当0a时，( )f x单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2,)； 当 1 4 a 时，( )f x单调递增区间为(0,)，无单调递减

15、区间； 当 1 4 a 时，( )f x单调递增区间为 1 0, a ，(2,)，单调递减区间为 1 ,2 a ； 当 1 0 4 a时，( )f x单调递增区间为 1 (0,2), a ，单调递减区间为 1 2, a 6 分 (2)由(1)知，当0a 时，( )f x单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2,)， 又因为(1)0fa， 7 分 数学(理科)试题 A 第 14 页 共 16 页 取 0 1 max,5x a ，令 12 1 ( )2ln ,( )f xxx fx x ，则 1 2 ( )10f x x 在(2,)成立，故 1( ) 2lnf xxx单调递增， 10 ()52

16、ln512(2ln5)1f x ， 000 222 00000 11111 ()(2ln)0f xa xxa xxxxx ， （注：此处若写“当x 时， f x ”也给分） 所以( )f x有两个零点等价于 1 (2)(22ln2)0 4 fa，得 1 88ln2 a ， 所以 1 0 88ln2 a 8 分 当0a 时， 2 1 ( ) x f x x ，只有一个零点，不符合题意； 当 1 4 a 时，( )f x在(0,)单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；9 分 当0a 且 1 4 a 时，( )f x有两个极值， 1 (2)(22ln2)0 4 fa， 1 2lnfaaaa a ，

17、 记( )2lng xxxxx， 10 分 11 ( )2(1ln ) 1ln 2 g xxx xx ， 令 1 ( )lnh xx x ，则 33 22 1121 ( ) 22 x h x x xx . 当 1 4 x 时，( )0h x，( )g x在 1 , 4 单调递增； 当 1 0 4 x时，( )0h x，( )g x在 1 0, 4 单调递减 故 1 ( )22ln20 4 g xg ，( )g x在(0,)单调递增 0x 时，( )0g x ，故 1 2ln0faaaa a 11 分 又 1 (2)(22ln2)0 4 fa，由(1)知，( )f x至多只有一个零点，不符合题意

18、 数学(理科)试题 A 第 15 页 共 16 页 综上，实数a的取值范围为 1 ,0 88ln2 . 12 分 （二二）选考题选考题：共共 10 分分. 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题做答题中任选一题做答, 如果多做如果多做, 则按所做的第则按所做的第 一题计分一题计分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程为=2 3cos2sin， 直线 1: () 6 l R， 直线 2: () 3 l R 以 极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系 （1）求直线 12 ,l l的直角坐标方程以及曲线C的参数方程； （2）若直线

19、 1 l与曲线C交于,O A两点，直线 2 l与曲线C交于,O B两点，求AOB的面积 22解：(1) 依题意，直线 1 l的直角坐标方程为 3 3 yx， 2 l的直角坐标方程为3yx 2 分 由=2 3cos2sin得 2=2 3 cos 2sin， 因为 222, cos,sinxyxy，3 分 所以 22 (3)(1)4xy，4 分 所以曲线C的参数方程为 32cos 12sin x y （为参数） 5 分 （2）联立6 =2 3cos2sin 得 1 4OA， 6 分 同理， 2 2 3OB7 分 又 6 AOB ， 8 分 所以 111 sin4 2 32 3 222 AOB SO

20、A OBAOB ， 9 分 即AOB的面积为2 3 10 分 23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数 1 ( )() 3 Rf xxa a （1）当2a 时，解不等式 1 ( )1 3 xf x； 数学(理科)试题 A 第 16 页 共 16 页 （2）设不等式 1 ( ) 3 xf xx的解集为M，若 1 1 , 3 2 M ，求实数a的取值范围 23解： （1）当2a 时，原不等式可化为3123xx ， 1 分 当 1 3 x时，1 323xx ，解得0x，所以0x； 2 分 当 1 2 3 x时，3123xx ，解得1x，所以12x ； 3 分 当2x时，3123xx ，解得 3 2 x，所以2x 4 分 综上所述，当2a 时，不等式的解集为|01x xx或 5 分 （2）不等式 1 ( ) 3 xf xx可化为313xxax ， 依题意不等式313xxax 在 1 1 , 3 2 x 上恒成立， 6 分 所以313xxax ，即1xa，即11axa，8 分 所以 1 1 3 1 1 2 a a ，解得 14 23 a， 故所求实数a的取值范围是 1 4 , 2 3 10 分