35. 武汉四月调考理科数学（教师版）.pdf

1、武汉市 2019 届高中毕业生四月调研测试 理科数学 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1设复数z满足1 2 i 1 z z ，则z （ ） A 13 i 55 B 13 i 55 C 13 i 55 D 13 i 55 1答案：C 解析： 1 i( 1 i)(2i)1 3i 12i(1)ii ,(2i)1 i, 2i(2i)(2i)5 zzzzz 2已知集合 22 |20, |30Ax xxBx xx，则AB （ ） A(0,2)

2、 B( 1,0) C( 3,2) D( 1,3) 2答案：B 解析： 2 |20 |(1)(2)0 | 12Ax xxxxxxx ， 2 |30 | (3)0 | 30Bx xxx x xxx ，所以( 1,0)AB 3等比数列 n a中， 14 1,64aa ，则数列 n a前 3 项和 3 S （ ） A13 B13 C51 D51 3答案：B 解析： 33 41 ,64,4aa qqq ，所以 3 14 1613S 4某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A 结伴步行，B自行乘车，C家人接送，D其他方式，并将手机的数据整理绘制成如下两幅不完

3、整的统 计图请根据图中信息，求本次抽查的学生中 A 类人数是（ ） A30 B40 C42 D48 4答案：A 解析：总人数为 30 120 25% ，所以本次抽查的学生中 A 类人数是1204230 1830 5为了得到函数sin2yx的图象，可以将cos 2 6 yx 的图象（ ） A向右平移 6 个单位长度 B向右平移 3 个单位长度 C向左平移 6 个单位长度 D向左平移 3 个单位长度 5答案：A 解析：cos 2sin2sin 2sin2 66236 yxxxx ， 所以为了得到函数sin2yx的图象，可以将cos 2 6 yx 的图象向右平移 6 个单位长度 6已知两个平面互相垂

4、直，下列命题 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题的个数是（ ） A3 B2 C1 D0 6答案：C 解析： 正确的为， 如果两个平面垂直， 则一个平面内 垂直于交线的直线垂直于另一个平面， 所以错误 如 果两个平面垂直，则一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内垂直于交线的直线，这样的线有无数条， 所以正确 7 已知0a 且1a ， 函数 ,1 ( ) 2,1 x ax f x axax 在R上单调递增， 那

5、么实数a的取值范围是 （ ） A(1,) B(0,1) C(1,2) D(1,2 7答案：D 解析：因为函数( )f x在R上单调递增，所以 1 1 0 12 a a aaa ，解得12a 8大学生小明与另外 3 名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙 3 个村小学进行支教，若每个村小学至少 分配 1 名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（ ） A 1 12 B 1 2 C 1 3 D 1 6 8答案：C 解析：对于小明而言，他分配到甲、乙、丙 3 个村是等可能的，所以小明恰好分配到甲村小学的概率为 1 3 9过点(4,2)P作一直线AB与双曲线 2 2 :1 2 x Cy相交于,A B两点

6、，若P为AB的中点，则AB （ ） A2 2 B2 3 C3 3 D4 3 9答案：D 解析：设 1122 ( ,),(,)A x yB xy，则 1212 8,4xxyy，又 22 11 22 22 22 22 xy xy ，两式相减，得： 12121212 ()()2()()0xxxxyyyy，所以 12 12 1 AB yy k xx ， （或由常用结论： 2 31 11 22 OPAB kke ，又因为 1 2 OP k，所以1 AB k） ， 所以直线AB的方程为2yx，将其代入 22 220xy，得 2 8100xx， 解得 12 46,46xx， 12 2 6xx， 2 12 1

7、22 64 3ABkxx 10已知, a b 是两个相互垂直的单位向量，且3,1c ac b ，则bc （ ） A6 B7 C2 2 D23 10答案：B 解析： 不妨设(1,0),(0,1),( , )abcx y ， 则3,1,( 3,1),( 3,2)c axc bycbc ， 7bc 11为了提升全面身体素质，学校十分重视学生体育锻炼某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投 进则后一球投进的概率为 3 4 ，若他前一球投不进则后一球投进的概率为 1 4 若他第 1 球投进的概率为 3 4 ， 则他第 2 球投进的概率为（ ） A 3 4 B 5 8 C 7 16 D 9 16 11答案

8、：B 解析：设第一次投进球为事件A，第二次投进球为事件B，则 3311105 ( )()()(|)( )(|)( ) 4444168 P BP ABP ABP B AP AP B AP A 12已知函数 3 ( )f xxaxb定义域为 1,2，记( )f x的最大值为M，则M的最小值为（ ） A4 B3 C2 D3 12答案：C 解析：解法 1：( 1)1,(1)1,(2)82Mfab Mfab Mfab ， 所以321331642MMMababab ( 1)(33)(1642 )12ababab ，所以2M ， 当3,0ab 时， 32 ( )3 ,( )333(1)(1)f xxx fx

9、xxx，当( 1,1)x 时，( )0,( )fxf x 单调递减，当(1,3)x时，( )0,( )fxf x单调递增，又( 1)2,(1)2,(2)2fff ，此时2M ， 故M的最小值为 2 解法 2： 2 ( )3,( )6fxxa fxx，令( )0fx，得0x ，故( )f x关于(0, )b对称， 令( 1)(1)(2)fff ，得3,0ab ，此时M取最小值 2 解法 3：令2cos 2,2x ，则 3 ( )8cos2 cosf xab， 令3,0ab ，得 3 ( )2cos 2,2f x ，即M的最小值为 2 解法 4：由 3 xaxbM，得 3 MxaxbM， 所以 3

10、 axbMxaxbM， 如图， 3 32 0 32 2 a axbMx b axbMx M = = 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13已知实数, x y满足约束条件 240 10 210 xy xy xy ，则目标函数zyx的最小值为 13答案：1 解析：作可行域为如图所示的ABC，其中 7 6 ( 5, 6),(1,0), 5 5 ABC ，则 13 1,1, 5 ABC zzz ， 所以目标函数zyx的最小值为1 14已知过点(1,0)M的直线AB与抛物线 2 2yx交于,A B两点，O为坐标原点，若,OA OB的斜率之 和为 1，则直线

11、AB的方程为 14答案：22yx 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 O 32yx 32yx (2,8) ( 1,1) x y A B C 解析：设直线AB的方程为1xmy，将其代入 2 2yx，得 2 220ymy，设 1122 ( ,),(,)A x yB xy， 则 1212 2 ,2yym y y ，此时 12121122 1212 11(1)(1) OAOB yymy yymy yy kk mymymymy 1212 222 1212 2()42 21 () 1221 my yyymm m m y ym yymm ，所以 1 2 m ， 直线AB的方程为 1 1 2 xy ，即2

12、2yx 15已知数列 n a前n项和 n S满足 11 323(2),1 n nn SSna ，则 4 a 15答案：11 解析： 234 213243 3232,3231,32310SSSSSS ，所以 443 11aSS 16在四面体PABC中，若3,4,5PAPBPC，底面ABC是边长为2 3的正三角形，O为 ABC的中心，则PAO的余弦值为 16答案： 1 36 解析：延长AO交BC于点D，连接PD，则D为BC的中点，3AD ，在PBC中，可得： 222 2 2()2 (1625) 1235 422 PBPCBC PD ，在PAD中，由余弦定理可得： 222 35 99 1 2 cos

13、 22 3 336 PAADPD PAD PA PD ，即 1 cos 36 PAO A P C B D O 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若 10 cos,2 ,15 4 ABA b （1）求a； （2）已知M在边BC上，且 1 2 CM MB ，求CMA的面积 17解析： （1）由 10 0, cos 4 AA，知 6 sin 4 A ， 610

14、15 sinsin22sincos2 444 BAAA， 由正弦定理 sinsinsin abc AAC ，可知 sin 6 sin bA a B （6 分） （2） 2 2 101 coscos22cos121 44 BAA ， 6110153 6 sinsin()sincoscossin 44448 CABABAB， 三角形ABC的面积 113 69 15 sin615 2288 ABC SabC ， 而 1 2 CM MB ，所以 119 153 15 3388 CMAABC SS 12 分 M A C B 18 （本小题满分 12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是平

15、行四边形，22,60 ,2ABADDABPAPC， 且平面ACP 平面ABCD （1）求证：CBPD； （2）求二面角CPBA的余弦值 P A B C D 18解析： （1）连接,AC BD交于点O，连PO，由平面ACP 平面ABCD， 平面ACP平面ABCDAC又PAPC，,POACPO平面ABCD， 又BC 平面,ABCDPOBC，又 22 2cos603BDABADAB AD ， 222 BDBCCD，BCBD，又,BDPOOBC平面PBD， PD 平面ABD，CBPD6 分 （2）由（1）知DADB，以D为坐标原点，DA为x轴，DB为y轴，过点D与平面ADB垂直的直 线为z轴建立如图所

16、示的空间直角坐标系由（1）知PO 平面ABCD，则/POz轴 由平面几何知识易知得 73 , 22 AOPO，则 3 3 (1,0,0),(0, 3,0),0,( 1, 3,0) 22 ABPC ， 于是 3 3 ( 1,0,0),0,(1,3,0) 22 BCBPBA ， 设平面PBC的法向量为 1 ( , , )nx y z ， 则 1 1 0 33 0 22 n BCx n BPyz ，取1z ，则3y ，则 1 (0, 3,1)n 同理可求得平面PBA的一个法向量为 2 (3, 3,1)n ，于是 12 12 12 42 13 cos, 132 13 n n n n nn 分析知二面角

17、CPBA的余弦值为 2 13 13 12 分 P A B C D O x y z 19 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 经过点( 2,1)M ，且右焦点( 3,0)F （1）求椭圆的标准方程； （2）过(1,0)N的直线AB交椭圆于,A B两点，记tMA MB ，若t的最大值和最小值分别为 12 ,t t， 求 12 tt的值 19解析： （1）由椭圆 22 22 1 xy ab 的右焦点为( 3,0)，知 22 3ab，即 22 3ba， 则 22 2 22 1,3 3 xy a aa ，又椭圆过点( 2,1)M ，则 22 41 1 3aa ，

18、又 2 3a ，求得 2 6a ， 椭圆方程为 22 1 63 xy 4 分 （2）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为 1122 (1),( ,),(,)yk xA x yB xy， 由 22 1 63 (1) xy yk x ，得 222 2(1)6xkx，即 2222 (12)4260kxk xk， 因为点(1,0)在椭圆内部，0 ， 2 12 2 2 12 2 4 12 26 21 k xx k k x x k 则 1212121212 (2)(2)(1)(1)2()(1)(1)tMA MBxxyyx xxxkxkkxk 222 1212 (1)(2)()25kx xkkxxkk 将

19、代入，得： 222 222 222 2641521 (1)(2)25 212121 kkkk tkkkkk kkk ， 则 2 (152 )210,t kktk R，则 2 24(152 )(1)0t t ， (215)(1) 10tt ，即 2 213160tt， 又 12 ,t t是 2 213160tt的两根，所以 12 13 2 tt， 当直线AB的斜率不存在时，联立 22 1 63 1 xy x ，得 10 2 y ， 不妨设 1010 1,1, 22 AB ， 1010 3,1 ,3,1 22 MAMB ， 1015 91 42 MA MB 可知 12 15 2 tt 综上， 12

20、 13 2 tt12 分 20 （本小题满分 12 分） 已知函数 1 2 2 ( )ln x e f xax xx （,aaR为常数）在(0,2)内有两个极值点 1212 ,()x x xx （1）求实数a的取值范围； （2）求证： 12 2(1 ln )xxa 20解析： （1）由 1 2 2 ( )ln x e f xax xx ，可得 1 3 (2)() ( ) x x eax fx x ， 记 1 ( ),0 x h xeax x ，由题意，知( )yh x在(0,2)上存在两个零点 1 ( ) x h xea ，则 当0a时，( )0h x，则( )h x在(0,2)上递增，( )

21、h x至多有一个零点，不合题意； 当0a 时，由( )0h x，得1 lnxa （i）若1ln2a且(2)0h，即1 2 e a时，( )h x在(0,1ln )a上递减，在(1 ln ,2)a递增； 则 min ( )(1ln )ln0h xhaaa ，且 1 (2)0, (0)0hh e ， 从而( )h x在(0,1ln )a和(1 ln ,2)a上各有一个零点 所以( )yh x在(0,2)上存在两个零点 （ii）若1ln2a，即ae时，( )h x在(0,2)上递减，( )h x至多有一个零点舍去 （iii） 若1ln2a且(2)0h， 即 2 e ae时， 此时( )h x在(0,

22、1ln )a上有一个零点， 而在(1 ln ,2)a 上没有零点舍去 综上可知，1 2 e a6 分 （2）令( )( )(22ln), 01lnH xh xhaxxa ，则 2 12 2ln11 1 ( )( )(22ln)2220 xa xx x a H xh xhaxeaeaeaa e ， 所以，( )H x在(0,1ln )a上递增，从而( )(1 ln )0H xHa， 即( )(22ln)0h xhax， 11 ()(22ln)0h xhax，而 12 ( )()h xh x，且( )h x在(1 ln ,2)a 递增； 2121 ()(22ln)22lnh xhaxxax 12

23、2(1ln )xxa12 分 21 （本小题满分 12 分） 十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫 奔小康经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入逐年增加为了更好的制定 2019 年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了 2018 年 50 位农民的年收入并制 成如下频率分布直方图： 11 13 15 17 19 21 23 25 收入收入（千元千元） 0.02 0.03 0.05 0.06 0.14 0.18 频率频率/组距组距 （1）根据频率分布直方图，估计 50 位农民的年平均收入x（单位：千元

24、） （同一组数据用该组数据区间 的中点值表示） ； （2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布 2 ( ,)N ，其中近似为年 平均收入x， 2 近似为样本方差 2 s，经计算得 2 6.92s 利用该正态分布，求： （i）在 2019 年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的 84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定 的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？ （ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了 1000 位农民中的年收入 不少于 12.14 千元的人数最有可能是多少？ 附：参考数据与公式：6.922.63，若 2 (

25、 ,)XN ，则 ()0.6827PX；(22 )0.9545PX； (33 )0.9973PX 21解析： （1）12 0.04 14 0.12 16 0.28 18 0.3620 0.1022 0.0623 0.0417.40x 千元3 分 （2）由题意，(17.40,6.92)XN （i） 10.6827 ()0.8414,17.402.6314.77 22 P x时，满足题意， 则最低年收入大约为14.77千元6 分 （ii） 由 0.9545 (12.14)(2 )0.50.9773 2 P XP X， 可知每个农民的年收入不少于12.14 千元的事件的概率为0.9773，记 100

26、0 个农民的年收入不少于12.14千元的人数为，则 (1000, )Bp，其中0.9773p 于是恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是 1000 1000 ()(1) kkk PkCpp ， 由 ()(1001) 1 (1)(1) Pkk p Pkkp ，得1001978.2773kp 所以当0978k时，(1)()PkPk，当9791000k时，(1)()PkPk， 由此可知，在所走访的 1000 为农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是 97812 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选

27、修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1 2 : sin 42 C ， 2 2 2 1 : 34sin C （1）求曲线 12 ,C C的直角坐标方程； （2）曲线 1 C和 2 C的交点为,M N，求以MN为直径的圆与y轴的交点坐标 22解析： （1）由 2 sin 42 ，得 2 sincoscos sin 442 ， 将cos,sinxy代入上式得1xy即 1 C的直角坐标方程为：1xy 同理由 2 2 1 34sin 可得 22 31xy 2 C的直角坐标方程为 22 31xy5 分 （2）

28、PMPN先求以MN为直径的圆，设 1122 ( ,),(,)M x yN xy， 由 22 31 1 xy xy ，得 22 3(1)1xx，即 2 10xx 12 12 1 1 xx x x ，则MN中点坐标为 1 3 , 2 2 2 12 1 4( 1) 1 1210 1 MNxx 所以以MN为直径的圆： 2 22 1310 222 xy ， 令0x ，得 2 1310 424 y ，即 2 39 ,0 24 yy 或3y ， 所以所求P点的坐标为(0,0)或(0,3)10 分 23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知函数( )211f xxx （1）求不等式( )

29、3f x 的解集； （2）若直线yxa与( )yf x的图象所围成的多边形面积为 9 2 ，求实数a的值 23解析： （1） 3 ,1 1 ( )2112,1 2 1 3 , 2 x x f xxxxx x x ， 由( )3f x 可知： （i）当1x时，33x，即1x； （ii）当 1 1 2 x时，23x，即1x，与 1 1 2 x矛盾，舍去； （iii）当 1 2 x时，33x，即1x； 综上可知解集为： |1x x或1x5 分 （2）画出函数( )yf x的图象，如图所示，其中 1 3 ,(1,3) 2 2 AB ，由1 AB k，知yxa图象与直 线AB平行，若要围成多边形，则2a 易得yxa与( )yf x图象交于两点 33 , 2244 aaaa CD ，则 3 2 2 244 aa CDa， 平行线AB与CD间距离 223 2 , 222 aa dAB ， 所以梯形ABCD面积 3 23 233 29 2424 (2), (2) 2222 aa a Saa ， 即(2)(2)12,4aaa， 故所求实数a的值为 410 分 6 5 4 3 2 1 2 D C B A O