武汉市武昌区2020届4月高三理科数学下册调研测试理数试题卷(含答案）.pdf

1、高三理科数学第 1 页（共 5 页） 2 武昌区武昌区 2020 届高三年级四月调研测试届高三年级四月调研测试 理科数学 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5

2、 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1已知集合 A x | x2 2x 3 0 ，B x |log2x0，则 A B Ax |1 x 2Bx | 0 x 2Cx |1 x 3Dx | 0 x 1 2i 为虚数单位，复数 z 1 2i (1i)2 的虚部为 A 1 B 1 C 1 iD 1 i 2222 3设等差数列an 的前n 项和为Sn，且a 0 ，若a5=3a3，则 5 9 S S A 5 B 9 C 5 D 5 95327 4已知函数f ( x)是定义域为R 的奇函数，当 x 0 时， f ( x) 2 x 2x a ，则 f (1) A. 3B.

3、 3C. 2D. 1 2x y 2 0, 5 已知实数 x ， y 满足 3x y 3 0, 则 z x 3y 的最小值为 x 2 y 4 0, A 7 B 6C1D6 6已知(3x a)( 1 1)5的展开式中常数项为 14，则实数a的值为 x A 1 B1C 4 D 4 55 高三理科数学第 2 页（共 5 页） 3 7若tan 3tan2 7 ，则 3 cos() 4 2 sin() 7 A1B2C3D4 8已知a ln3，b Ac b a 3ln2 ，c log32，则 Bc a bCa b cDa c b 9 已知直三棱柱 ABC A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的表面上， 若

4、 AB AC 1 ， AA1 2, BAC 2 3 ，则球O的体积为 A 32 3 B3 C 4 3 D 24 3 10如图所示，在由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角 形中，设 DF 3FA ，则 A 3624 6363 ADABAC B 3612 6363 ADABAC C 4824 6363 ADABAC D 4812 6363 ADABAC 11已知双曲线C : 22 22 1 xy ab (a 0,b 0) 的左、右焦点分别为F1、F2， P 为双曲线C 的右支上一点，点 M 和 N 分别是PF1F2的重心和内心，且 MN 与x轴平行，若 | PF1|

5、4a ，则双曲线的离心率为 A 3 B2CD 2 12已知一个正方形的四个顶点都在函数 f ( x) x3 9 x 1的图像上，则此正方形的面积 2 为 A5 或 17 B5 或 10C5 或 17D10 或 17 2 3 2 高三理科数学第 3 页（共 5 页） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13数列an的前n 项和为 Sn，a1 1 ，an an+1=43n1，则S2020=. 14有人收集了七月份的日平均气温t （摄氏度）与某冷饮店日销售额 y （百元）的有关 数据，为分析其关系，该店做了五次统计，所得数

6、据如下： 由资料可知， y 关于t 的线性回归方程是y 1.2t a ，给出下列说法： a 32.4 ； 日销售额 y （百元）与日平均气温t （摄氏度）成正相关； 当日平均气温为 33 摄氏度时，日销售额一定为 7 百元. 其中正确说法的序号是. 15已知 F 是抛物线 y x2的焦点，P为抛物线上的动点，且 A 的坐标为(3,2) ， 则| | | PF PA 的最小值是. 16已知 0，函数 f ( x) sin(x 4 ) 的图像在区间( 2 , ) 上有且仅有一条对称轴，则 实数的取值范围是. 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。

7、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17211721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第题，每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题（一）必考题：共：共 60 分。分。 17 （本题 12 分） 在ABC中，内角 A ， B ，C的对边分别是a，b，c，且 sinsin sin ABac Cab （1）求角 B 的大小； （2）若b 6 ，且AC边上的中线长为 4，求ABC的面积 18 （本题 12 分） 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， 底 面 ABCD 是 梯 形 ，AD

8、 / BC ， AB AD DC 1 2 BC 2 ， PB AC . （1）证明：平面 PAB 平面 ABCD ； （2）若PA 4 ， PB 2 角 B PC D 的余弦值. ，求二面3 日平均气温t （摄氏度）3132333435 日销售额 y （百元）567810 高三理科数学第 4 页（共 5 页） 19 （本题 12 分） 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 经过点 P(2,1)，离心率为 2 2 . （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 P 作两条互相垂直的弦 PA，PB分别与椭圆 C 交于点 A，B，求点 P 到直线 AB 距离的最大值 20 （本题 12

9、 分） 某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，居民用水原则上以住宅为 单位（一套住宅为一户） 阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯 月用水范围（吨)(0 ，12(12 ，16(16, ) 为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了 10 户居民的月用水量（单 位：吨） ，得到统计表如下： 居民用水户编号12345678910 用水量（吨)7889101113141520 （1） 若用水量不超过 12 吨时，按 4 元/吨计算水费；若用水量超过 12 吨且不超过 16 吨时，超过 12 吨部分按 5 元/吨计算水费；若用水量超过 16 吨时，超过 16 吨部分按 7 元 /吨

10、计算水费试计算：若某居民用水 17 吨，则应交水费多少元？ （2）现要在这 10 户家庭中任意选取 3 户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期 望； （3）用抽到的 10 户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取 10 户，若抽到k户月用水量为第一阶梯的可能性最大，求k的值 21 （本题 12 分） 已知函数 f (x) (e x)ln x （e为自然对数的底数） （1）求函数 f (x) 的零点，以及曲线 y f (x) 在其零点处的切线方程； （2）若方程 f (x) m (m 0) 有两个实数根x1，x2，求证：| x1x2| e1 e e 1 m 2 高三理科数学第

11、5 页（共 5 页） 1212 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程（本题 10 分） x 2 cos 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线C1的参数方程为y 3 2sin(是参数） ，以O为 极点， 以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C的极坐标方程为sin( 4 ) 2 2 . （1）求曲线C1和曲线C2的普通方程； （2）曲线C2与x轴交点为P ，与曲线C交于 A ， B 两点，

12、求 11 |PAPB 的值 23选修 4-5：不等式选讲（本题 10 分） （1）解不等式| x 2 | | x 3 | 9 ； （2）若| a | 1 ， | b | 1 ，求证：| ab 1 | a b |. 高三理科数学 第 1 页（共 4 页） E F 武昌区武昌区 2020 届高三年级四月调研测试届高三年级四月调研测试 理科数学参考答案及评分细则 一、选择题： 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D B A B B B A D A D 二、填空题： 二、填空题： 13 2 132020 2020 S 14 15 5 5 16 ) 4

13、 15 , 2 7 () 4 11 , 4 7 () 2 3 , 4 3 ( 三、解答题： 三、解答题： 17 （本题 （本题 12 分）分） 解解： （1）由正弦定理，得， ba ca c ba ，化简得acbca 222 . 由余弦定理，得 2 1 cos 2 222 B ac bca ，所以 3 B. .(6 分) （2）设AC的中点为 D，由余弦定理，得 CDBD BCCDBD ADBD ABADBD 22 222222 ， 即 342 34 342 34 222222 ac ，所以50 22 ca. 又，acbca 222 ，6b，所以14ac. 所以， 2 37 sin 2 1 B

14、acS. .(12 分) 18 （本题 （本题 12 分）分） 解解： （1）因为BCAD/， 1 2 2 ABADDCBC，所以 90BAC，即ACAB . 因为ACPB ，所以AC平面PAB. 因为AC平面ABCD，所以，平面PAB 平面ABCD. .(4 分) （2）因为4PA，32PB，2AB，所以BAPB . 由（1）知，PB平面ABCD，所以BCPB ，平面PBC平面ABCD. 过点D作BCDE 于E，则DE平面PBC. 过E作PCEF 交BC于F，则角DFE为所求二面角的平面角. 在梯形ABCD中，求得3DE.在PBCRt中，求得 7 3 EF. 在DEFRt中，求得， 7 62

15、 DE，3DF. 高三理科数学 第 2 页（共 4 页） 在DEF中，求得 4 2 cosDEF，为所求. .(12 分) 另解另解： （向量法）建系设（求）点正确 2 分；求两个法向量正确 4 分；求余弦正确 2 分. 19 （本题 （本题 12 分）分） 解解： （1）由题意，得 , 2 2 , 1 14 22 a c ba 考虑到 222 cba，得6 2 a，3 2 b. 所以，椭圆 C 的方程为1 36 22 yx . .(4 分) （2）当直线AB的斜率存在时，设其方程为mkxy，代入椭圆方程，整理得 0624)21 ( 222 mkmxxk，由0，得036 22 mk. 设),(

16、 11 yxA，),( 22 yxB，则 2 21 21 4 k km xx ， 2 2 21 21 62 k m xx . 因为PBPA，所以1 PBPA kk，所以1 2 1 2 1 2 2 1 1 x y x y ， 即4(21)( 21212121 xxxxyyyy. 其中 2 2121 2 2121 )()(mxxmkxxkmkxmkxyy，mxxkyy2)( 2121 . 代入，整理得012384 22 mmmkk，即0) 132)(12(mkmk. 当012mk时，直线 AB 过点 P，不合题意，所以0132 mk. 此时，直线 AB 的方程为 3 1 ) 3 2 (xky，直线

17、过定点) 3 1 , 3 2 (M. 所以，当ABPM 时，点 P 到直线 AB 的最大距离为 3 24 | PMd. 当直线AB的斜率不存在时，设其方程为nx ，代入解得 3 2 n或2n（舍去）. 当 3 2 n时，点 P 到直线 3 2 x的距离为 3 4 . 综上，点 P 到直线 AB 的最大距离为 3 24 | PMd. .(12 分) 另：另：当0132 mk时，直线AB的方程为0 3 1 3 2 kykx，此时点 P 到直线 AB 的距离 k k k k d 1 2 1 3 4 1 |1| 3 4 2 )0( k，其中2 1 k k或2 1 k k. 20 （本题 （本题 12

18、分）分） 解解： （1）若某居民用水 17 吨，则需交费124451 775 （元）. .(4 分) （2）设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有 3 户，则可取 0，1， 2，3. 高三理科数学 第 3 页（共 4 页） 24 7 )0( 3 10 3 7 C C p， 40 21 ) 1( 3 10 1 3 2 7 C CC p， 40 7 )2( 3 10 2 3 1 7 C CC p， 120 1 )3( 3 10 3 3 C C p. 故的分布列是 0 1 2 3 p 7 24 21 40 7 40 1 120 所以 10 9 120 1 3 40 7 2 40 21

19、 1 24 7 0)(E. .(8 分) （3）可知从全市中抽取 10 户的用电量为第一阶梯，满足X) 5 3 ,10(B， 于是为 kkk CkXP 10 10 ) 5 2 () 5 3 ()(，10, 2 , 1 , 0k. 由 ,) 5 2 () 5 3 () 5 2 () 5 3 ( ,) 5 2 () 5 3 () 5 2 () 5 3 ( )1(1011 10 10 10 )1(1011 10 10 10 kkkkkk kkkkkk CC CC 化简得 ,23 ,32 1 1010 1 1010 kk kk CC CC 解得 5 33 5 28 k. 因为 Nk，所以6k. .(1

20、2 分) 21 （本题 （本题 12 分）分） 解解： （1）由0ln)e ()(xxxf，得1x，或ex，所以函数)(xf的零点为1e，. 因为1ln e )(x x xf，所以1e) 1 ( f ，1)e ( f 因为0)e () 1 ( ff，所以，曲线( )yf x在1x 处的切线方程为) 1)(1e (xy，在ex处 的切线方程为exy. .(4 分) （2）因为1ln e )(x x xf，所以0 e1 )( 2 xx xf，所以1ln e )(x x xf单调递减. 令) 1)(1e ()(xxg，e)(xxh. 下证)()(xgxf，即) 1)(1e (ln)e (xxx. 记

21、xxxxmln)e () 1)(1e ()(，则e e ln)( x xxm，0 e1 )( 2 xx xm， 所以 m x单调递增，且 10 m ，故 m x在01 ，单减， m x在1 ，单增. 所以 10m xm，即) 1)(1e (ln)e (xxx. 同法可证)()(xhxf，即eln)e (xxx.(略) 不妨设mxhxfxfxg)()()()( 4213 ， 因为)()()( 311 xgmxfxg，且) 1)(1e ()(xxg为增函数，所以 31 xx . 由mxxg) 1)(1e ()( 33 ，得1 1e 3 m x. 同理， 24 xx ，mx e 4 ， 所以，mxx

22、xx m e1 1e 4213 . 所以， 1e e 1e1) 1e (e| 21 mm mxx， 高三理科数学 第 4 页（共 4 页） 所以， 1e e 1e| 21 m xx. .(12 分) 22选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本题（本题 10 分）分） 解解： （1）曲线 1 C的普通方程 2 2 34xy， 曲线 2 C的普通方程4xy. .(4 分) （2）将4xy代入 2 2 34xy，并整理得021142 2 yy， 所以7 21 yy， 2 21 21 yy. 因为|2| 1 yPA ，|2| 2 yPB ， 所以 3 2 2 )(2 | 1 | 1

23、21 21 yy yy PBPA . .(10 分) 另解：另解：点(4,0)P，过点(4,0)P的直线l的参数方程为 , 2 2 , 2 2 4 ty tx 代入 2 2 34xy，得02127 2 tt， 12 7 2tt， 1 2 21t t . 所以， 12 12121 2 1111117 22 |213 tt PAPBttttt t . .(10 分) 23选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本题（本题 10 分）分） 解解： （1）当3x时，解得5x； 当23x时，不等式不成立； 当2x时，解得4x. 所以，原不等式的解集为5|xx或4x. .(5 分) (2) ) 1)(1(|1| 2222 babaab. 因为1|a，1|b，所以01, 01 22 ba. 所以0) 1)(1( 22 ba，即|1|baab. .(10 分)