第二章-连续系统的时域分析课件.ppt

1、第二章 连续系统的时域分析 时域分析方法：时域分析方法：即对于给定的激励，由系统的数学模型（微分方程）求得其响应的方法。由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。本章主要内容本章主要内容 2.1 LTI连续系统的响应 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 2.3 卷积积分 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解 二、关于二、关于0-和和0+值值 三、零输入响应三、零输入响应 四、零状

2、态响应四、零状态响应 五、全响应五、全响应 其经典解：其经典解：y(t)(完全解)=yh(t)(齐次解)+yp(t)(特解）齐次解是齐次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。齐次解yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t)一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解 表表21 不同特征根所对应的齐次解不同特征根所对应的齐次解特征根齐次解yh(t)单实根et？r重实根(Cr-1 tr-1+Cr

3、-2 tr-2+C1 t1+C0)et一对共轭复根1,2=je tCcos(t)+Dsin(t)或Acos(t-)其中A e j =C+jDr重共轭复根Ar-1tr-1 cos(t+r-1)+Ar-2tr-2 cos(t+r-2)+A0 cos(t+0)e t齐次解的函数形式仅与系统本身的特性系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。问：若问：若f(t)=c（常数），特解形式？（常数），特解形式？解:特征方程为2+5+6=0 其特征根1=2，2=3。齐次解:yh(t)=C1e 2t+C2e 3t？因为因为f(t)=

4、2e t，故其特解可设为 yp(t)=Pe t 将其代入微分方程得 Pe t+5(Pe t)+6Pe t=2e t 解得P=1 于是特解为yp(t)=e t例 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求当f(t)=2e-t，t0；y(0)=2，y(0)=-1时的全解；其中待定常数C1,C2由初始条件确定。y(0)=C1+C2+1=2，y(0)=2C1 3C2 1=1 解得C1=3，C2=2 最后得全解y(t)=3e 2t 2e 3t+e t,t0全解为：全解为：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e 2t+C2e 3t+e t二、关于二、关于0-和和0+值值 在t=0-时，激励尚未接入，

5、该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。为求解微分方程，就需要从已知的初始状态初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。下列举例说明。若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定确定待定系数Ci时用t=0+时刻的初始值，即y(j)(0+)(j=0,1,2，n-1)。y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。三、零输入响应 y(t)=yzs(t)+yzi(t)。零输入响应，零输入响应，对应的输入为零，所以方程为 y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)0 若其特征根都为单根，则零输入响

6、应为：若其特征根都为单根，则零输入响应为：njtzijzijeCty1)(由于激励为零，故有由于激励为零，故有yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)=y(j)(0-),(j=0,1,n-1)四、零状态响应 方程仍为方程仍为 y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t)对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有yzs(j)(0-)=0；若微分方程的特征根均为单根，则其零状态响应若微分方程的特征根均为单根，则其零状态响应为为)()(1tyeCtyptnjzsjzsCzsj

7、为待定系数，为待定系数，yp(t)为方程的特解为方程的特解五、全响应五、全响应 如果系统的初始状态不为零，在激励f(t)的作用下，LTI系统的响应称为全响应称为全响应，它是零输入响应与零状态响应之和，即 y(t)=yzi(t)+yzs(t)零状态响应零输入响应强迫响应自由响应)()()(111tyecectyectypnjtzsjnjtzijpnjtjjjj2.2 冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应一、冲激响应 由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应零状态响应称为冲激响应。冲激响应。h(t)=T0,(t)冲激响应示意图冲激响应示意图 x(0)=0例1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t

8、)+6y(t)=f(t),求h(t)。二、阶跃响应阶跃响应示意图阶跃响应示意图*阶跃响应是激励为单位阶跃函数阶跃响应是激励为单位阶跃函数(t)(t)时，系统的零时，系统的零状态响应。状态响应。线性非时变系统g(t)x(0)001t(t)g(t)0t(t)(,0)(tTtgdef用用g(t)表示阶跃响应表示阶跃响应可根据可根据LTI系统的线性性质和系统的线性性质和微积分微积分特性求出阶跃响应：特性求出阶跃响应：dttdt)()(tdxxt)()(dttdgth)()(tdxxhtg)()(解：系统的微分方程解：系统的微分方程 设图中右端积分器的输出为x(t)，则其输入为x(t)，左端积分器的输入

9、为x(t)。左端加法器的输出为 x(t)-3 x(t)-2 x(t)+f(t)即 x(t)+3 x(t)+2 x(t)f(t)例例2.2-3 如图如图2.2-3 所示的所示的LTI系统，求其阶跃响应系统，求其阶跃响应 y(t)+f(t)-2 3 1 2 x(t)x(t)x(t)gx(t)满足方程 gx(t)+3 gx(t)+2 gx(t)(t)gx(0_)=gx(0_)=0 其特征根11；22，其特解为0.5，于是得 gx(t)(C1e-t+C2e-2t+0.5)(t)初始值为gx(0)=gx(0)=0，代入上式得 gx(0)=C1+C2+0.5=0;gx(0)=-C1-2C2=0解得解得 C

10、1-1；C20.5 所以，gx(t)(-e-t+0.5e-2t+0.5)(t)求出 gx(t)，代入g(t)=-gx(t)+2 gx(t)得 g(t)=-gx(t)+2 gx(t)(-3e-t+2e-2t+1)(t)解法二：由（解法二：由（1）、（）、（2）式求得）式求得系统的微分方程为：y(t)+3y(t)+2y(t)=-f(t)+2f(t)当f(t)=(t)时，有)3()(2)()(2)(3)(ttththth0)0()0(hh先求h(0+)和h(0+)令：)6()()()5()()()()4()()()()(210trthtrtathtrtbtath由（由（4）式从）式从0-到到0+积分

11、得积分得5)0()0(hh将上三式代入（将上三式代入（3）式得）式得)(2)()(2)(3)(3)()()(210tttrtrtatrtbta23;1baa5;1ba5)0(h由（由（5）式从）式从0-到到0+积分得积分得1)0(h可以求得系统的冲激响应为可以求得系统的冲激响应为 h(t)=(3e-t-4e-2t)(t)0)(2)(3)(ththth当当t0,有有所以所以ttececth221)(5)0(h1)0(h由由)()123()()(2teedxxhtgttt2.3 卷积积分 已知定义在区间（，）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分1、卷积积分的定义记为：f(t)=f1(t)*f2(t)2.任意信号作用下的零状态响应根据h(t)的定义：(t)h(t)由时不变性：(t-)h(t-)由齐次性：f()(t-)f()h(t-)由叠加性：)(*)()()()(thtfdthftyzs