2020年中考数学基础题提分讲练专题21 以平行四边形为背景的证明与计算.doc

1、专题专题 2121 以平行四边形为背景的证明与计算以平行四边形为背景的证明与计算 考点分析 【例【例 1】（2019 重庆中考真题）在重庆中考真题）在ABCD中，中，BE 平分平分ABC交交 AD 于点于点 E （1）如图）如图 1，若，若30D ，AB6，求，求ABE的面积；的面积； （2）如图）如图 2，过点，过点 A 作作AFDC，交，交 DC 的延长线于点的延长线于点 F，分别交，分别交 BE，BC 于点于点 G，H，且，且 ABAF求求 证：证：EDAGFC 【答案】【答案】 （1） 3 2 ； （2）证明见解析. 【解析】【解析】 （1）解：作BOAD于 O，如图 1 所示： 四边

2、形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ABCD，ABCD，30ABCD ， AEBCBE，30BAOD ， 16 22 BQAB， BE 平分ABC， ABECBE， ABEAEB ， 6AEAB， ABE的面积 1163 6 2222 AEBO； （2）证明：作AQBE交 DF 的延长线于 P，垂足为 Q，连接 PB、PE，如图 2 所示： ABAE，AQBE， ABEAEB ，BQEQ， PBPE， PBEPEB ， ABPAEP ， ABCD，AFCD， AFAB， 90BAF ， AQBE， ABGFAP， 在ABG和FAP中， 90 ABGFAP ABAF BAGAFP ， (AS

3、A)ABGAFP ， AGFP， ABCD，ADBC， 180ABPBPC ，BCPD， 180AEPPED ， BPCPED， 在BPC和PED中， BCPD BPCPED PBPE ， (AAS)BPCPED ， PCED， -ED AGPC AGPC FPFC 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、 线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键 【例【例 2】 （2019 山东初二期末）在正方形山东初二期末）在正方形 ABCD 中，中，E 是边是边 CD 上一点（点上一点（点 E 不与点

4、不与点 C、D 重合） ，连结重合） ，连结 BE （感知）如图（感知）如图，过点，过点 A 作作 AFBE 交交 BC 于点于点 F易证易证ABFBCE （不需要证明） （不需要证明） （探究）如图（探究）如图，取，取 BE 的中点的中点 M，过点，过点 M 作作 FGBE 交交 BC 于点于点 F，交，交 AD 于点于点 G （1）求证：）求证：BE=FG （2）连结）连结 CM，若，若 CM=1，则，则 FG 的长为的长为 （应用）如图（应用）如图，取，取 BE 的中点的中点 M，连结，连结 CM过点过点 C 作作 CGBE 交交 AD 于点于点 G，连结，连结 EG、MG若若 CM=3

5、， 则四边形则四边形 GMCE 的面积为的面积为 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）2，9. 【解析】【解析】 感知：四边形 ABCD 是正方形， AB=BC，BCE=ABC=90， ABE+CBE=90， AFBE， ABE+BAF=90， BAF=CBE， 在ABF 和BCE 中， 90 BAFCBE ABBC ABCBCE ， ABFBCE（ASA） ； 探究： （1）如图， 过点 G 作 GPBC 于 P， 四边形 ABCD 是正方形， AB=BC，A=ABC=90， 四边形 ABPG 是矩形， PG=AB，PG=BC， 同感知的方法得，PGF=CBE， 在PGF 和CBE

6、中， 90 PQFCBE PQBC PFGECB ， PGFCBE（ASA） ， BE=FG； （2）由（1）知，FG=BE， 连接 CM， BCE=90，点 M 是 BE 的中点， BE=2CM=2， FG=2， 故答案为：2 应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6， ME=3， 同探究（1）得，CG=BE=6， BECG， S四边形CEGM= 1 2 CGME= 1 2 63=9， 故答案为：9 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定 和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质与定理、判断出 CG=BE 是解本题的关键 考点集训 1

7、（ （2019 四川初三期末）在矩形四川初三期末）在矩形 ABCD 中， 中，AB=12，P 是边是边 AB 上一点，把上一点，把PBC 沿直线沿直线 PC 折叠，顶点折叠，顶点 B 的对应点是点的对应点是点 G，过点，过点 B 作作 BECG，垂足为，垂足为 E 且在且在 AD 上，上，BE 交交 PC 于点于点 F （1）如图）如图 1，若点，若点 E 是是 AD 的中点，求证：的中点，求证：AEBDEC； （2）如图）如图 2，求证：求证：BP=BF； 当当 AD=25，且，且 AEDE 时，求时，求 cosPCB 的值；的值； 当当 BP=9 时，求时，求 BEEF 的值的值 【答案】

8、【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； 3 10 10 ；108. 【解析】【解析】 （1）在矩形 ABCD 中，A=D=90，AB=DC， E 是 AD 中点， AE=DE， 在ABE 和DCE 中，90 ABDC AD AEDE ， ABEDCE（SAS） ； （2）在矩形 ABCD，ABC=90， BPC 沿 PC 折叠得到GPC， PGC=PBC=90，BPC=GPC， BECG， BEPG， GPF=PFB， BPF=BFP， BP=BF； 当 AD=25 时， BEC=90， AEB+CED=90， AEB+ABE=90， CED=ABE， A=D=90， ABEDEC，

9、 ABDE AECD ， 设 AE=x， DE=25x， 1225 12 x x ， x=9 或 x=16， AEDE， AE=9，DE=16， CE=20，BE=15， 由折叠得，BP=PG， BP=BF=PG， BEPG， ECFGCP， EFCE PGCG ， 设 BP=BF=PG=y， 1520 25 y y ， y= 25 3 ， BP= 25 3 ， 在 RtPBC 中，PC= 25 10 3 ，cosPCB= BC PC = 3 10 10 ； 如图，连接 FG， GEF=BAE=90， BFPG，BF=PG=BP， BPGF 是菱形， BPGF， GFE=ABE， GEFEAB

10、， EFAB GFBE ， BEEF=ABGF=129=108 【点睛】 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折 叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键 2 （ （2019 甘肃中考真题）如图，在正方形甘肃中考真题）如图，在正方形ABCD中，点 中，点E是是BC的中点，连接的中点，连接DE，过点，过点A作作AGED 交交DE于点于点F，交，交CD于点于点G （1）证明：）证明：ADGDCE； （2）连接）连接BF，证明：，证明：ABFB 【答案】【答案】 （1）见解析； （2）见解析. 【解析】【解析】 证明： （1）四边形ABCD

11、是正方形， 90ADGCADDC ， 又AGDE， 90DAGADFCDEADF ， DAGCDE， ADGDCE ASA（） （2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H， E是BC的中点， BECE， 又90CHBEDECHEB ， DCEHBE ASA（）， BHDCAB， 即B是AH的中点， 又90AFH ， Rt AFH中， 1 2 BFAHAB 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形 间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形 3 （ （2019 黑龙江初三）如图，矩形黑龙江初三）如图，矩形 ABCD 中， 中，

12、AB=6，BC=4，过对角线，过对角线 BD 中点中点 O 的直线分别交的直线分别交 AB，CD 边边 于点于点 E，F （1）求证：四边形）求证：四边形 BEDF 是平行四边形；是平行四边形； （2）当四边形）当四边形 BEDF 是菱形时，求是菱形时，求 EF 的长的长 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 4 13 3 【解析】【解析】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，O 是 BD 的中点， A=90，AD=BC=4，ABDC，OB=OD， OBE=ODF， 在BOE 和DOF 中， OBEODF OBOD BOEDOF BOEDOF（ASA） ， EO=FO， 四边形 BE

13、DF 是平行四边形； （2）当四边形 BEDF 是菱形时，BDEF， 设 BE=x，则 DE=x，AE=6-x， 在 RtADE 中，DE2=AD2+AE2， x2=42+（6-x）2， 解得：x= 13 3 ， BD= 22 ADAB =2 13， OB= 1 2 BD= 13， BDEF， EO= 22 BEOB = 2 13 3 ， EF=2EO= 4 13 3 点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的 性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键 4 （ （2019 四川中考真题）如图，在四边形四川中考真题）如图，在四边形ABCD中，

14、 中，/ /ADBC，延长，延长BC到到 E，使，使CEBC，连接，连接AE交交 CD于点于点 F，点，点 F 是是CD的中点求证：的中点求证： （1）ADFECF （2）四边形）四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 【答案】【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】【解析】 证明： （1）/ /ADBC， DAFE ， 点 F 是CD的中点， DFCF， 在ADF与ECF中， DAFE AFDEFC DFCF ， ()ADFECF AAS； （2）ADFECF， ADEC， CEBC， ADBC， / /ADBC， 四边形ABCD是平行四边形 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质

15、、平行四边形判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性 质、平行四边形判定定理. 5 （ （2019 山东初二期末）已知，如图，在山东初二期末）已知，如图，在 ABCD 中，延长中，延长 DA 到点到点 E，延长，延长 BC 到点到点 F，使得，使得 AECF，连，连 接接 EF，分别交，分别交 AB，CD 于点于点 M，N，连接，连接 DM，BN. （1）求证：）求证：AEMCFN； （2）求证：四边形）求证：四边形 BMDN 是平行四边形是平行四边形. 【答案】【答案】证明见解析 【解析】【解析】 证明：(1） 四边形 ABCD 是平行四边形，ABDC ，ADBC E=F，DAB=

16、BCD EAM=FCN 又AE=CF AEMCFN（ASA） （2） 由（1）AEMCFN AM=CN 又四边形 ABCD 是平行四边形 ABCD BMDN 四边形 BMDN 是平行四边形 6 （ （2019 黑龙江中考真题）黑龙江中考真题）.已知 已知：在矩形：在矩形ABCD中，中，BD是对角线，是对角线，AEBD于点于点E，CFBD于点于点 F； （1）如图）如图 1，求证：，求证：AECF； （2）如图）如图 2，当，当30ADB时，连接时，连接AF.CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中四个中四个 三角形，使写出的每个三角形的面

17、积都等于矩形三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的面积的 1 8 . 【答案】【答案】 （1）详见解析； （2）ABE的面积CDF的面积BCE的面积ADF的面积矩形 ABCD面积的 1 8 【解析】【解析】 （1）证明：四边形ABCD是矩形， ABCD，ABCD ，ADBC， ABECDF， AEBD于点E，CFBD于点F， 90AEBCFD， 在ABE和CDF中， ABECDF AEBCFD ABCD ， ABECDF AAS， AECF； （2）解：ABE的面积CDF的面积BCE的面积ADF的面积矩形ABCD面积的 1 8 理由如下： ADBC， 30CBDADB， 90

18、ABC， 60ABE， AEBD， 30BAE， 1 2 BEAB， 1 2 AEAD， ABE的面积 111111 222288 BEAEABADABAD矩形ABCD的面积， ABECDF， CDF的面积 1 8 矩形ABCD的面积； 作EGBC于G，如图所示： 30CBD， 1111 2224 EGBEABAB， BCE的面积 11111 22488 BCEGBCABBCAB矩形ABCD的面积， 同理：ADF的面积 1 8 矩形ABCD的面积 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质、 全等三角形的判定与性质、 直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半， 灵活应用矩形的性质证全等，熟练掌握直

19、角三角形30角的性质是解题的关键. 7 （ （2019 浙江中考真题） 如图，矩形浙江中考真题） 如图，矩形EFGH的顶点 的顶点E，G分别在菱形分别在菱形ABCD的边的边AD，BC上，顶点上，顶点F、 H在菱形在菱形ABCD的对角线的对角线BD上上. （1）求证：）求证：BGDE； （2）若）若E为为AD中点，中点，2FH ，求菱形，求菱形ABCD的周长。的周长。 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）8. 【解析】【解析】 （1）四边形 EFGH 是矩形， EH=FG，EHFG， GFH=EHF， BFG=180-GFH，DHE=180-EHF， BFG=DHE， 四边形 ABCD

20、是菱形， ADBC， GBF=EDH， BGFDEH（AAS） ， BG=DE； （2）连接 EG， 四边形 ABCD 是菱形， AD=BC，ADBC， E 为 AD 中点， AE=ED， BG=DE， AE=BG，AEBG， 四边形 ABGE 是平行四边形， AB=EG， EG=FH=2， AB=2， 菱形 ABCD 的周长=8 【点睛】 本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键 8 （ （2019 山西实验中学初三月考）如图山西实验中学初三月考）如图 1，在矩形 ，在矩形 ABCD 中，中，P 为为 CD 边上一点（边上一点（DPCP） ，） ，

21、APB=90将将 ADP 沿沿 AP 翻折得到翻折得到ADP，PD的延长线交边的延长线交边 AB 于点于点 M，过点，过点 B 作作 BNMP 交交 DC 于点于点 N （1）求证：）求证：AD2=DPPC； （2）请判断四边形）请判断四边形 PMBN 的形状，并说明理由；的形状，并说明理由； （3）如图）如图 2，连接，连接 AC，分别交，分别交 PM，PB 于点于点 E，F若若 DP AD = 1 2 ，求，求 EF AE 的值的值 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）四边形 PMBN 是菱形，理由见解析； （3） 4 9 EF AE 【解析】【解析】 解： （1）过点 P 作 P

22、GAB 于点 G， 易知四边形 DPGA，四边形 PCBG 是矩形， AD=PG，DP=AG，GB=PC APB=90， APG+GPB=GPB+PBG=90， APG=PBG， APGPBG， PGGB AGPG ， PG2=AGGB， 即 AD2=DPPC； （2）DPAB， DPA=PAM， 由题意可知：DPA=APM， PAM=APM， APB-PAM=APB-APM， 即ABP=MPB AM=PM，PM=MB， PM=MB， 又易证四边形 PMBN 是平行四边形， 四边形 PMBN 是菱形； （3）由于 1 2 DP AD ， 可设 DP=k，AD=2k， 由（1）可知：AG=DP=

23、k，PG=AD=2k， PG2=AGGB， 4k2=kGB， GB=PC=4k， AB=AG+GB=5k， CPAB， PCFBAF， 4 5 CFPC AFAB ， 5 9 AF AC ， 又易证：PCEMAE，AM= 1 2 AB= 5 2 k, 48 5 5 2 CEPCk AEAM k 5 13 AE AC ， EF=AF-AE= 5 9 AC- 5 13 AC= 20 117 AC， 20 4 117 5 9 13 AC EF AE AC . 【点睛】 本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线 的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵

24、活运用所学知识 9 （ （2019 抚顺市雷锋中学初三月考）在正方形抚顺市雷锋中学初三月考）在正方形 ABCD 的边 的边 AB 上任取一点上任取一点 E，作，作 EFAB 交交 BD 于点于点 F，取，取 FD 的中点的中点 G，连接，连接 EG、CG，如图（，如图（1） ，易证） ，易证 EG=CG 且且 EGCG （1）将）将BEF 绕点绕点 B 逆时针旋转逆时针旋转 90，如图（，如图（2） ，则线段） ，则线段 EG 和和 CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接有怎样的数量关系和位置关系？请直接 写出你的猜想写出你的猜想 （2）将）将BEF 绕点绕点 B 逆时针旋转逆时针旋转 18

25、0，如图（，如图（3） ，则线段） ，则线段 EG 和和 CG 又有怎样的数量关系和位置关又有怎样的数量关系和位置关系系.请写请写 出你的猜想，并加以证明出你的猜想，并加以证明 【答案】【答案】 （1）EG=CG;EGCG（2）EG=CG；EGCG，证明见解析. 【解析】【解析】 解： （1）EG=CG，EGCG （2）EG=CG，EGCG 证明：延长 FE 交 DC 延长线于 M，连 MG AEM=90，EBC=90，BCM=90， 四边形 BEMC 是矩形 BE=CM，EMC=90， 由图（3）可知， BD 平分ABC，ABC=90， EBF=45， 又EFAB， BEF 为等腰直角三角形

26、 BE=EF，F=45 EF=CM EMC=90，FG=DG， MG= 1 2 FD=FG BC=EM，BC=CD， EM=CD EF=CM， FM=DM， 又FG=DG， CMG= 1 2 EMC=45， F=GMC 在GFE 与GMC 中 FGMG FGMC EFCM ， GFEGMC（SAS） EG=CG，FGE=MGC. FMC=90，MF=MD，FG=DG， MGFD， FGE+EGM=90， MGC+EGM=90， 即EGC=90， EGCG 【点睛】 此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难度较大 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性

27、质；正方形的性质 10 （ （2019 广东初三期中） （广东初三期中） （1）如图）如图 1，在正方形 ，在正方形 ABCD 中，中，E 是是 AB 上一点，上一点，F 是是 AD 延长线上一点，且延长线上一点，且 DF BE，求证：，求证：CECF； （2）如图）如图 2，在正方形，在正方形 ABCD 中，中，E 是是 AB 上一点，上一点，G 是是 AD 上一点，如果上一点，如果GCE45，请你利用（，请你利用（1）的结）的结 论证明：论证明：GEBEGD； （3）运用（）运用（1） （） （2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图如图 3，在

28、直角梯形，在直角梯形 ABCD 中，中，ADBC（BCAD） ，） ，B90，ABBC，E 是是 AB 上一点，且上一点，且DCE45， BE4，DE=10, 求直角梯形求直角梯形 ABCD 的面 的面 积积 【答案】【答案】 （1） 、 （2）证明见解析（3）108 【解析】【解析】 （1）如图 1，在正方形 ABCD 中， BC=CD，B=CDF，BE=DF， CBECDF， CE=CF； （2）如图 2，延长 AD 至 F，使 DF=BE，连接 CF， 由（1）知CBECDF， BCE=DCF BCE+ECD=DCF+ECD 即ECF=BCD=90， 又GCE=45，GCF=GCE=45

29、， CE=CF，GCE=GCF，GC=GC， ECGFCG， GE=GF， GE=DF+GD=BE+GD； （3）过 C 作 CFAD 的延长线于点 F则四边形 ABCF 是正方形 AE=AB-BE=12-4=8， 设 DF=x，则 AD=12-x， 根据（2）可得：DE=BE+DF=4+x， 在直角ADE 中，AE2+AD2=DE2，则 82+（12-x）2=（4+x）2， 解得：x=6 则 DE=4+6=10 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，解决本题的关键是注意每个题目之间的 关系，正确作出辅助线 11 （ （2019 湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系湖南中考

30、真题）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 中，矩形 ABCD 的边的边 AB4，BC6若不改变矩若不改变矩 形形 ABCD 的形状和大小，当矩形顶点的形状和大小，当矩形顶点 A 在在 x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点 D 始终在始终在 y 轴的轴的 正半轴上随之上下移动正半轴上随之上下移动 (1)当当OAD30时，求点时，求点 C 的坐标 的坐标； (2)设设 AD 的中点为的中点为 M，连接，连接 OM、 、MC，当四边形，当四边形 OMCD 的面积为的面积为 21 2 时，求时，求 OA 的长；的长； (3)当点当点 A 移动到某一

31、位置时，点移动到某一位置时，点 C 到点到点 O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时 cosOAD 的值的值 【答案】【答案】(1)点 C 的坐标为(2，3+23)；(2)OA3 2；(3)OC 的最大值为 8，cosOAD 5 5 【解析】【解析】 (1)如图 1，过点 C 作 CEy 轴于点 E， 矩形 ABCD 中，CDAD， CDE+ADO90， 又OAD+ADO90， CDEOAD30， 在 RtCED 中，CE 1 2 CD2，DE 22 CDCE 2 3， 在 RtOAD 中，OAD30， OD 1 2 AD3， 点 C 的坐标

32、为(2，3+2 3)； (2)M 为 AD 的中点， DM3，SDCM6， 又 S四边形OMCD 21 2 ， SODM 9 2 ， SOAD9， 设 OAx、ODy，则 x2+y236， 1 2 xy9， x2+y22xy，即 xy， 将 xy 代入 x2+y236 得 x218， 解得 x3 2(负值舍去)， OA3 2； (3)OC 的最大值为 8， 如图 2，M 为 AD 的中点， OM3，CM 22 CDDM 5， OCOM+CM8， 当 O、M、C 三点在同一直线时，OC 有最大值 8， 连接 OC，则此时 OC 与 AD 的交点为 M，过点 O 作 ONAD，垂足为 N， CDM

33、ONM90，CMDOMN， CMDOMN， CDDMCM ONMNOM ，即 435 3ONMN ， 解得 MN 9 5 ，ON 12 5 ， ANAMMN 6 5 ， 在 RtOAN 中，OA 22 6 5 5 ONAN， cosOAD 5 5 AN OA 【点睛】 本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点 12 （ （2019 广东初二期中）如图广东初二期中）如图 ，在正方形，在正方形 ABCD 中，中，P 是对角线是对角线 AC 上的一点，点上的一点，点 E 在在 BC 的延长线上，的延长线上， 且且 PE=PB （1）求证：）求证：B

34、CPDCP； （2）求证：）求证：DPE=ABC； （3）把正方形）把正方形 ABCD 改为菱形，其它条件不变（如图改为菱形，其它条件不变（如图） ，若） ，若ABC=58，则，则DPE= 度度 【答案】【答案】 （1）详见解析 （2）详见解析 （3）58 【解析】【解析】 解： （1）证明：在正方形 ABCD 中，BC=DC，BCP=DCP=45， 在BCP 和DCP 中， BCDC BCPDCP PCPC ， BCPDCP（SAS） （2）证明：由（1）知，BCPDCP， CBP=CDP PE=PB，CBP=ECDP=E 1=2（对顶角相等） ， 1801CDP=1802E， 即DPE=DCE ABCD， DCE=ABC DPE=ABC （3）解：在菱形 ABCD 中，BC=DC，BCP=DCP， 在BCP 和DCP 中， BCDC BCPDCP PCPC BCPDCP（SAS） ， CBP=CDP， PE=PB， CBP=E， DPE=DCE， ABCD， DCE=ABC， DPE=ABC=58， 故答案为：58