第七节极限存在准则及两个重要极限(创新班)资料课件.ppt
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1、 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限第七节第七节 极限存在准则及两个重要极极限存在准则及两个重要极限限20sinlim?1xxxe 0,0上式分子分母都趋于但是无法消上式分子分母都趋于但是无法消去趋向 因子去趋向 因子0ln(1)lim?arctanxxx !还需要新的极限方法一、一、极限存在准则极限存在准则 本节先介绍两个极限是否存在的判定准则本节先介绍两个极限是否存在的判定准则,并利用它们来推并利用它们来推导出两个重要极限导出两个重要极限.1.夹逼准则夹逼准则证证,azaynn使得使得,0,0,021 NN,1 ayNnn时恒有时恒有当当,max21NNN 取取恒有恒有时时
2、当当,Nn ,ayan即即,2 azNnn时恒有时恒有当当,azan上两式同时成立上两式同时成立,azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在准则可以推广到函数的情况上述数列极限存在准则可以推广到函数的情况.注注,.nnnnyzyz利利用用夹夹逼逼准准则则求求极极限限关关键键是是构构造造出出与与并并且且与与的的极极限限是是容容易易求求的的 在构造在构造yn,zn 或或 g(x),h(x)的时候可以采取将的时候可以采取将xn 或或 f(x),适当地缩小适当地缩小,适当地扩大适当地扩大,适当的标准为适当的标准为yn,zn 或或 g(x),h(x)的极限容易求出的极限容易
3、求出,且且yn,zn 或或 g(x),h(x)的极限的极限相等相等.xn ynzn适当缩小适当缩小适当扩大适当扩大h(x)g(x)适当缩小适当缩小适当扩大适当扩大f(x)00()()lim()lim(),xxxxxxg xh xAlimlim,nnnnyzA例例1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又,1 22111lim1limnnnnn ,1 由夹逼定理得由夹逼定理得.1)12111(lim222 nnnnn1 321lim().2 42nnn 求求1 3212 42.2 423 521nnnn 解解21
4、3211 2 3 4212()2 422 3 4 5221nnnnnn 121n 1 32112 4221nnn 1 321lim()0.2 42nnn 从数列的夹逼准则到函数的夹逼准则,需要用到体现从数列的夹逼准则到函数的夹逼准则,需要用到体现函数极限与数列极限关系的一个定理函数极限与数列极限关系的一个定理.Axfxxx)(,0:,0,00就就有有使使得得(自学自学)证证 必要性必要性即即,)(lim0Axfxx 根据假设根据假设定理定理 .)(lim,)(lim000AxfNnxxxxAxfnnnnxx 都都有有)(的的数数列列对对每每个个收收敛敛于于点点存存在在的的充充分分必必要要条条件
5、件是是xnx Axfxxxnnn)(,0:,0有有特特别别 00,),(,0,limxxNnNxxnnn就有就有使得使得自然数自然数对上述对上述根据定理假设根据定理假设00,0,nnxxxx 注注意意到到即即有有于于是是得得到到 00,),(,0 xxNnNn有有使使得得自自然然数数 Axfn)(从从而而就就有有证毕证毕Axfnn )(lim即即00 lim(),0,xxf xA 充分性 假设则充分性 假设则*00*01/|0 ()nnnnnxxxxf xA 对取,则对取,则使得 使得 *0lim1/0,01/nnnnxxn 因为因为00,*,0*xxx对都有尽管对都有尽管0 (*)f xA
6、仍有仍有*0limnnnxxx 所以数列满足所以数列满足*lim()nnf xA 但是但是与条件矛盾与条件矛盾注注 此定理常用于判断函数极限不存在此定理常用于判断函数极限不存在.法法1 找一个数列:nx,0 xxn,)(0nxxn且不存在.)(limnnxf使法法2 找两个趋于0 x的不同数列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf例例 证明证明xx1sinlim0不存在不存在 .证证 取两个趋于取两个趋于 0 0 的数列的数列21nxn及及221nxn),2,1(n有有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理由定理 知知xx1sinlim0不存在不存在.02sinlimnn1
7、)2sin(lim2nn2.单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调不减单调不减,121 nnxxxx单调不增单调不增单调数列单调数列几何解释几何解释:若若xn单调不减单调不减,xn有两种可能有两种可能,即移向无穷远或即移向无穷远或无限接近某一定点无限接近某一定点A,因因xn有上界有上界M,则则xn的极限的极限存在且不存在且不超过超过M.准则的含义准则的含义:单调不减且有上界的数列必有极限单调不减且有上界的数列必有极限;单调不单调不增且有下界的数列必有极限增且有下界的数列必有极限.利用极限存在准则利用极限存在准则II可以证明一些极限的存在性可以证明
8、一些极限的存在性,并求极限并求极限.例例2 2.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn 证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx,331 x又又,3 kx假定假定kkxx 3133 ,3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx limnnxA 设设,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx limnnu 故故存存在在.1211 (1)(1)122nnnuaauau 而而,11 ()2nnnauuu 因因为为,nnauau,nu则则有有下下界界1 nnnuuu 则则,从从而而单单减减;1110,()(1,2,0)lim
9、2nnnnnauuunauu 设设且且,求求例例3解解2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnx,32AA 于是于是11limlim()2nnnnnauuu 1()2aAAA 则则有有 Aa limnnua 故故lim,0nnuAAa设设解得解得2Aa102 ,0,lim1nnnnnxxxxx 算算012 0,0,01 ,0;nnnnnxxxxxn x 解 因为假设则解 因为假设则由归纳法知 对由归纳法知 对212(1)11nnnnnnnnnxxxxxxxxx 由由0 11;limlim11;nnnnxxx知,知,0000000101221,1,11,1,nnnnnn
10、nnnnnxxxxxxxxn xxxx 若有故时若有故时有单调减少、有下界,有单调减少、有下界,211 lim,limlim2,1;1nnxnnxnnnxanxaaaa 设令设令得解得得解得 lim1nnx 综上得综上得000001021,1,1,1,;lim;nnnnnnnnxxxxxxxn xxx 若时 有故时 对若时 有故时 对单调增加有上界存在单调增加有上界存在lim;nnx存在存在(1)1sinlim0 xxx)20(,xxAOBO 圆心角圆心角设单位圆设单位圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有.ACO,得,得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角
11、为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 二、两个重要二、两个重要极限极限ACxoBDACoxBD,tansinxxx ,1sincos xxx即即.02也成立也成立上式对于上式对于 x,20时时当当 x,1coslim0 xx,11lim0 x又又.1sinlim0 xxx注注10 sintan2xxxx 当当时时,0 sin()tan(),sintan2xxxxxxx 当当-时时,即即于是于是0 sintan2xxxx 当当时时,类似可得类似可得 sin2xxx 当当时时,综上所述综上所述 sinxRxx当当时时,sintan2xxxx 当当时时,注注20sinlim1xxx 的形式特点的形式特
12、点:i)极限呈极限呈 ;0 0型型0sin(1)lim1(2)ii)中中(1)和和(2)的表达式必须相同的表达式必须相同.当当(1)和和(2)的表达式不相同时的表达式不相同时,必须作必须作恒等变换凑恒等变换凑(2)与与(1)相同相同.注注30sinlim1xxx 的变形形式的变形形式:1limsin1xxx 01limsin0 xxx 区别区别001sin1limsinlim11xxxxxx 1limsin0 xxx sinlim1xxx 缺一不可缺一不可0sin3lim2xxx00sin333sin33limlim32232xxxxxxxx例例30 tanlimxxx201 coslimxx
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