求点的轨迹方程的六种常见方法课件.ppt

1、定义法定义法 若题设有动点到两点的距离之和或差为定值等条件若题设有动点到两点的距离之和或差为定值等条件时，可以利用圆锥曲线的定义直接写出所求动点的时，可以利用圆锥曲线的定义直接写出所求动点的轨迹方程。此类问题相对也非常简单，因此单独出轨迹方程。此类问题相对也非常简单，因此单独出现的可能性也很小，可能作为一个中间步骤出现。现的可能性也很小，可能作为一个中间步骤出现。以下举一个例子说明：以下举一个例子说明：11ABCBC=aAsinC-sinB=sinA2 A.【例】在中，已知，当动点 满足条件时，求动点 的轨迹方程 1.1.定义法定义法 2222BCxBCy.1AB AC1BC sinC-sin

2、B=sinA-=22R2R22R1 AB-AC=a.2 A2c=a.xya -=12m=AB-AC=mn2解：以边所在直线为 轴，以线段的垂直平分线为 轴建立直角坐标系因为，由正弦定理得：，所以（定值）根据双曲线定义，点的轨迹方程是双曲线的右支（除顶点），它的焦距是设双曲线方程为：，则，所222222222222aam=m=416aa3axy n=c-m=()-=A-=1(x0)a3a2161616162R R以，又，故动点 的轨迹方成为：正弦定理：在一个三角形中，各边和它对角的正弦的比相等且等于（是三角形外接圆半径）直译法直译法 动点直接与已知条件联系，直接列动点的关系式，即可求动点直接与已

3、知条件联系，直接列动点的关系式，即可求得轨迹方程，此类问题非常容易，现在的高考已经不可能得轨迹方程，此类问题非常容易，现在的高考已经不可能单独考察此类问题，即使出现也将是某个题目的一个中间单独考察此类问题，即使出现也将是某个题目的一个中间步骤。步骤。以下举一个例子说明：以下举一个例子说明：2.2.直译法直译法 求与圆x2+y2-4x=0外切且与Y轴相切的动圆的圆心的轨迹方程。PABxyo22(2)2|xyx 变式变式：外切改为相切呢？解解：设动圆圆心为P(x,y).由题，得222(2)(2|)xyx即 -4x+y2=4|x|得动圆圆心的轨迹方程为y=0(x0)2【例】相关点法相关点法 如果动点

4、如果动点P P（x,yx,y）依赖于已知曲线上另一动点）依赖于已知曲线上另一动点Q Q（u,vu,v）(这种点叫相关动点这种点叫相关动点)而运动，而而运动，而Q Q点的坐标点的坐标u u、v v可以用动点可以用动点P P的坐标表示，则可利用点的坐标表示，则可利用点Q Q的轨迹方程，的轨迹方程，间接地求得间接地求得P P点的轨迹方程点的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法这种求轨迹方程的方法叫做变量代换法或相关点法叫做变量代换法或相关点法.此类问题的难度属中档此类问题的难度属中档水平，可能在选择题或填空题出现，也可能在解答水平，可能在选择题或填空题出现，也可能在解答题中出现，属于小题中较难的题目但属于

5、大题中较题中出现，属于小题中较难的题目但属于大题中较易的题目。易的题目。以下举一个例子说明：以下举一个例子说明：3.3.相关点法相关点法 过双曲线过双曲线x2-y2=1 上一点上一点Q引直线引直线x+y=2的垂线的垂线,垂足为垂足为N,求求线段线段QN的中点的中点P的轨迹方程的轨迹方程.4【例】解:设点P,Q的坐标分别为P(x,y),Q(u,v),则N点坐标为(2x-u,2y-v).点N在直线x+y=2上,2x-u+2y-v=2 又PQ垂直于直线x+y=2,所以 联立 得:又点Q在双曲线上,即u2-v2=1,即得动点即得动点P的轨迹方程为的轨迹方程为:2x2-2y2-2x+2y-1=01,yu

6、xv即x-y+v-u=03112213122uxyvxy 如图如图,过点过点A(-3,0)A(-3,0)的直线的直线l l与曲线与曲线 ：x x2 2+2y+2y2 2=4=4交于交于C,BC,B两两点点.作平行四边形作平行四边形OBPCOBPC，求点，求点P P的轨迹。的轨迹。AoxyBCPG解法一：利用韦达定理解法一：利用韦达定理解法二：点差法解法二：点差法 连连PO交交CB于于G.设设P(x,y),G(x0,y0),C(x1,y1),B(x2,y2),则则x x1 12 2+2y+2y1 12 2=4=4x x2 22 2+2y+2y2 22 2=4=4作差，得作差，得(x2-x1)(x

7、2+x1)+(y2-y1)(y2+y1)=0即即x0+y0k=0又又k=003yx 解得，解得，x0=2231kk231kky0=x=2261kk261kky=因此因此消去消去k,得得(x+3)2+y2=9故所求轨迹为故所求轨迹为(-3,0)为圆心，为圆心，3为半径的圆为半径的圆.?4.4.参数法参数法 5【例】交轨法交轨法 若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交线的方程，即为所求动点的方程直接求出交线的方程，即为所求动点的轨迹方程。这种求轨迹方程的方法叫做交的轨迹方程。这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。此类问题难度较大，曾经在高考压轴轨法。

8、此类问题难度较大，曾经在高考压轴题中出现过，但不论复杂程度如何，牢牢把题中出现过，但不论复杂程度如何，牢牢把握曲线相交的性质就把握了解题的关键。握曲线相交的性质就把握了解题的关键。以下举两个例子说明：以下举两个例子说明：1212121 1221211 1221221122 .(,)(,)(,)(,)(,).AAPPA AAPA PA AxOORP m nAPA PP x yAR OA R OP mnAPPAP【例6】设、是一个圆的一条直径的两个端点，是垂直的弦，求直线与交点的轨迹方程解：以直线位 轴，圆心 为原点，建立平面直角坐标系，如图.设 的半径为，与交点，则，因为、三点共线，、22222

9、2 PynxRmRmnRynxRRmxyR、三点共线，所以，且所以即为所求的轨迹方程.A1A2PP2P1Oxy5.5.交轨法交轨法 ABCDEFGPOxy04 4G .aABCDABBCaOABEFGBCCDDABECFDPGEOFBCCDDAP【例7】（2003年高考数学全国卷第22题）已知常数，在矩形中，为的中点.点、分别在、上移动，且为与的交点（如图）.问：是否存在两个定点，使 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐.标及此定值；若不存在，请说明理由 (2,0)(2,0)(2,4)(,2,4).(01).(2,4)(24,4)(2,44).2(21)0PPABCaDaBECFD

10、CkkEakFkaGaakBCCDDAOFaxkyGE解：根据题设条件，首先求出点 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两点，使得 到两定点距离的和为定值.按题意有，设，由此有，直线的方程为：，直线222222222(21)20.(,)220()1.121 21 21 2akxyakP x ya xyayxyaaaPaPPaP的方程为：从两直线方程中消去参数，得点坐标满足方程，整理得当时，点 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点当时，点 的轨迹为椭圆的一部分，点 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当时，点2222211(,)(,)2.22111 (0,)(0,)2.222aaaaaPaaaaa到椭

11、圆两个焦点和的距离之和为定值当时，点 到椭圆两个焦点和的距离之和为定值 依题意有依题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)设设 =k(0k1),由此有由此有E(2,4ak),F(2-4k,4a),G(-2,4a-4ak)DADGCDCFBCBExy变式变式 (2003(2003年高考第年高考第2222题变式题变式)已知常数已知常数a0,a0,在矩形在矩形ABCDABCD中，中，AB=4,BC=4a,OAB=4,BC=4a,O为为ABAB中点，点中点，点E,F,GE,F,G分别在分别在BCBC、CDCD、DADA上移动，上移动，且且 ,P,P为为GEGE与与OFOF的

12、交点的交点,求点求点P P轨迹方程。轨迹方程。DADGCDCFBCBEABCDEFGoP直线直线OF的方程为的方程为 2ax+(2k-1)y=0直线直线GE的方程为的方程为 -a(2k-1)x+y-2a=0从消去参数从消去参数k，得点，得点P(x,y)坐标满足方程坐标满足方程2a2x2+y2-2ay=0(去掉（去掉（0，0）解：解：以以ABAB所在直线为所在直线为x x轴轴,过过o o垂直垂直ABAB直线为直线为y y轴轴,建立如图直角坐标系建立如图直角坐标系.几何法几何法 运用平面几何的轨迹定理和有关平面几何的运用平面几何的轨迹定理和有关平面几何的知识，分析轨迹形成的条件，求出轨迹方程，知识

13、，分析轨迹形成的条件，求出轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为几何法。在解决这种求轨迹方程的方法称为几何法。在解决某些复杂问题时，深入分析图形性质，利用某些复杂问题时，深入分析图形性质，利用此种方法，可能非常简便。此种方法，可能非常简便。以下举一个例子说明：以下举一个例子说明：2222266140(3,5)(3)(3)4(3,3).(,)35 11(33CMPQxyxyAxyCAP QM x yPQCMCMPQyykkxyxx【例8】已知圆的方程为，求过点的直线交圆的弦的中点的轨迹.解：圆的方程为，则圆心 的坐标为设过点 的直线交圆于、两点，是的中点，连，则，故有：，则，整理得：2221)25

14、(1)25xy，所以所求轨迹方程是圆在已知圆内的一段弧.C3-3-5.CPQMXY6.6.几何法几何法 定义法定义法 直译法直译法 也称相关点法也称相关点法:所求动点所求动点M的运动依赖于一的运动依赖于一已知曲线上的一个动点已知曲线上的一个动点M0的运动的运动,将将M0的坐的坐标用标用M的坐标表示的坐标表示,代入已知曲线代入已知曲线,所的方程所的方程即为所求即为所求.参数法参数法:动点的运动依赖于某一参数动点的运动依赖于某一参数(角度、角度、斜率、坐标等斜率、坐标等)的变化的变化,可建立相应的参数方可建立相应的参数方程程,再化为普通方程再化为普通方程.一、求动点的轨迹方程的常用方法一、求动点的轨迹方程的常用方法二、注意1、化简要等价变形，且能结合图形对题意的检验2、要区分轨迹与轨迹方程3、如何合理引参？五类参数：点坐标，斜率，比例，角度，长度等