2020中考数学压轴题专题10 三角形问题.doc

1、 专题专题 1010 三角形三角形问题问题 【典例分析】 【考点【考点 1】三角形基础知识三角形基础知识 【例【例 1 1】（2019 浙江中考真题） 若长度分别为浙江中考真题） 若长度分别为,3,5a的三条线段能组成一个三角形， 则的三条线段能组成一个三角形， 则 a 的值可以是 （的值可以是 （ ） ） A1 B2 C3 D8 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 【分析】 根据三角形三边关系可得 53a5+3，解不等式即可求解 【详解】 由三角形三边关系定理得：53a5+3， 即 2a8， 由此可得，符合条件的只有选项 C， 故选 C 【点睛】 本题考查了三角形三边关系，能根据三角形的三

2、边关系定理得出 53a5+3 是解此题的关键，注意：三 角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边 【变式【变式 1 1- -1 1】（2019 北京中考真题）如图，已知北京中考真题）如图，已知 ABC，通过测量、计算得，通过测量、计算得 ABC 的面积约为的面积约为_cm2.（结（结 果保留一位小数）果保留一位小数） 【答案】【答案】1.9 【解析】【解析】 【分析】 过点 C 作 CDAB 的延长线于点 D，测量出 AB，CD 的长，再利用三角形的面积公式即可求出 ABC 的 面积 【详解】 解：过点 C 作 CDAB 的延长线于点 D，如图所示 经过测量，AB=2.2cm，CD

3、=1.7cm， 11 2.2 1.71.9 22 ABC SAB CD（cm2） 故答案为：1.9 【点睛】 本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键 【变式【变式 1 1- -2 2】（2019 山东中考真题）把一块含有山东中考真题）把一块含有45角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置(直角直角 顶点在直尺的一条长边上顶点在直尺的一条长边上)若若123 ，则，则2 _ 【答案】【答案】68 【解析】【解析】 【分析】 由等腰直角三角形的性质得出A=C=45 ，由三角形的外角性质得出AGB=68 ，再由平行线的

4、性质即 可得出2 的度数 【详解】 如图， ABC是含有45角的直角三角板， 45AC ， 123 ， 168AGBC ， EFBD， 268AGB ； 故答案为 68 【点睛】 此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质，关键是掌握两直线平行， 同位角相等 【考点【考点 2】全等三角形的判定与性质的应用全等三角形的判定与性质的应用 【例【例 2 2】（2019 山东中考真题）在山东中考真题）在ABC中，中，90BAC，ABAC，ADBC于点于点D （1） 如图） 如图 1， 点， 点M，N分别在分别在AD，AB上， 且上， 且90BMN， 当， 当30AMN ，2A

5、B 时， 求线段时， 求线段AM 的长；的长； （2）如图）如图 2，点，点E，F分别在分别在AB，AC上，且上，且90EDF，求证：，求证：BEAF； （3）如图）如图 3，点，点M在在AD的延长线上，点的延长线上，点N在在AC上，且上，且90BMN，求证：，求证： 2ABANAM 【答案】【答案】(1) 2 3 2 3 AM ；(2)见解析；(3)见解析. 【解析】【解析】 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 ADBDDC 2 ，求出 MBD30 ，根据勾 股定理计算即可； （2）证明 BDEADF，根据全等三角形的性质证明； （3）过点 M 作 MEBC 交 AB

6、 的延长线于 E，证明 BMEAMN，根据全等三角形的性质得到 BE AN，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论 【详解】 （1）解：90BAC，ABAC，ADBC， ADBDDC，45ABCACB，45BADCAD， 2AB ， 2,ADBDDC， 30AMN， 180903060BMD， 30BMD， 2BMDM， 由勾股定理得， 222 BMDMBD ，即 222 (2)( 2)DMDM， 解得， 2 3 3 DM ， 2 3 2 3 AMADDM； （2）证明：ADBC，90EDF， BDEADF ， 在BDE和ADF中， BDAF DBDA BDEADF ， ()BDEADF

7、ASA BEAF； （3）证明：过点M作/MEBC交AB的延长线于E， 90AME， 则 2AEAB ，45E ， MEMA， 90AME，90BMN， BMEAMN， 在BME和AMN中， EMAN MEMA BMEAMN ， ()BMEAMN ASA， BEAN， 2ABANABBEAEAM 【点睛】 本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的 判定定理和性质定理是解题的关键 【变式【变式 2 2- -1 1】（2019 贵州中考真题） （贵州中考真题） （1）如图）如图，在四边形，在四边形ABCD中，中，ABCD，点，点E是是BC的的中点

8、，中点， 若若AE是是BAD的平分线，试判断的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系之间的等量关系 解决此问题可以用如下方法：延长解决此问题可以用如下方法：延长AE交交DC的延长线于点的延长线于点F，易，易证证AEBFEC得到得到ABFC，从，从 而把而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断转化在一个三角形中即可判断 AB，AD，DC之间的等量关系之间的等量关系_； （2）问题）问题探究：如图探究：如图，在四边形，在四边形ABCD中，中，ABCD，AF与与DC的延长线交于点的延长线交于点F，点，点E是是BC的的 中点，若中点，若AE是是BAF的平分线，试探究的平分线，试探究AB，A

9、F，CF之间的等量关系，并证明你的结论之间的等量关系，并证明你的结论 【答案】【答案】 （1）ADABDC； （2）ABAFCF，理由详见解析. 【解析】【解析】 【分析】 （1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得ADDF，再根据 AAS 证得CEFBEA，于是 ABCF，进一步即得结论； （2）延长AE交DF的延长线于点G，如图，先根据 AAS 证明AEBGEC，可得ABCG，再 根据角平分线的定义和平行线的性质证得FAFG，进而得出结论. 【详解】 解： （1）ADABDC. 理由如下：如图，AE是BAD的平分线， DAEBAE ABDC，FBAE ，DAFF ，ADDF. 点E是BC

10、的中点，CE BE， 又F BAE ，AEBCEF CEFBEA（AAS） ，ABCF. ADCD CFCDAB. 故答案为：ADABDC. （2）ABAFCF. 理由如下：如图，延长AE交DF的延长线于点G. ABDC，BAEG， 又BE CE，AEBGEC， AEBGEC（AAS） ，ABGC， AE是BAF的平分线，BAGFAG， BAGG，FAGG，FAFG， CGCFFG，ABAFCF. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅 助线构造全等三角形是解本题的关键 【变式【变式 2 2- -2 2】（2019 广西中考真题）

11、如图，广西中考真题）如图，,ABAD BCDC，点点E在在AC上上 （1）求证：）求证：AC平分平分BAD； （； （2）求证：）求证：BEDE 【答案】【答案】 （1）见解析； （2）见解析. 【解析】【解析】 【分析】 （1）由题中条件易知： ABCADC，可得 AC 平分BAD； （2）利用（1）的结论，可得 BAEDAE，得出 BE=DE 【详解】 解： （1）在ABC与ADC中， ABAD ACAC BCDC ABCADC SSS BACDAC 即AC平分BAD； （2）由（1）BAEDAE 在BAE与DAE中，得 BADA BAEDAE AEAE BAEDAE SAS BEDE 【

12、点睛】 熟练运用三角形全等的判定，得出三角形全等，转化边角关系是解题关键 【考点【考点 3】等腰三角形与等边三角形的判定与性质的应用等腰三角形与等边三角形的判定与性质的应用 【例【例 3 3】（2019 浙江中考真题）如图，在浙江中考真题）如图，在ABC中，中，ACABBC . 已知线段已知线段 AB 的垂直平分线与的垂直平分线与 BC 边交于点边交于点 P，连结，连结 AP，求证：，求证：2APCB?； 以点以点 B 为圆心，线段为圆心，线段 AB 的长为半径画弧，与的长为半径画弧，与 BC 边交于点边交于点 Q，连结，连结 AQ，若，若 3AQCB? ，求，求B的度的度 数数. 【答案】【

13、答案】 （1）见解析； （2）B=36 . 【解析】【解析】 【分析】 （1）根据垂直平分线的性质，得到 PA=PB，再由等腰三角形的性质得到PAB=B，从而得到答案； （2）根据等腰三角形的性质得到BAQ=BQA，设B=x，由题意得到等式AQC=B+BAQ=3x，即 可得到答案. 【详解】 （1）证明：因为点 P 在 AB 的垂直平分线上， 所以 PA=PB， 所以PAB=B， 所以APC=PAB+B=2B. （2）根据题意，得 BQ=BA， 所以BAQ=BQA， 设B=x， 所以AQC=B+BAQ=3x， 所以BAQ=BQA=2x， 在 ABQ 中，x+2x+2x=180 ， 解得 x=3

14、6 ，即B=36 . 【点睛】 本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性 质. 【变式【变式 3 3- -1 1】（2019 辽宁中考真题）如图，辽宁中考真题）如图，ABC是等边三角形，延长是等边三角形，延长BC到点到点D，使，使CDAC，连接，连接 AD若若2AB ，则，则AD的长为的长为_ 【答案】【答案】2 3 【解析】【解析】 【分析】 AB=AC=BC=CD，即可求出BAD=90 ，D=30 ，解直角三角形即可求得 【详解】 解：ABC是等边三角形， 60BBACACB ， CDAC， CADD， 60ACBCADD ， 30CAD

15、D ， 90BAD， AB2 2 3 tan303 3 AD 故答案为2 3 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及解直角三角形等，证得 ABD 是含 30 角的直角三 角形是解题的关键 【变式【变式 3 3- -2 2】（2019 辽宁中考真题）如图，把三角形纸片折叠，使点辽宁中考真题）如图，把三角形纸片折叠，使点 A、点、点 C 都与点都与点 B 重合，折痕分别为重合，折痕分别为 EF，DG，得到，得到60BDE ，90BED ，若，若2DE ，则，则 FG 的长为的长为_ 【答案】【答案】3 3 【解析】【解析】 【分析】 根据折叠的性质可得：FG 是 ABC 的中位

16、线，AC 的长即为 BDE 的周长.在 Rt BDE 中，根据 30 角的直 角三角形的性质和勾股定理可分别求出 BD 与 BE 的长，从而可得 AC 的长，再根据三角形的中位线定理即 得答案. 【详解】 解：把三角形纸片折叠，使点 A、点 C 都与点 B 重合， AFBF，AEBE，BGCG，DCDB， 1 2 FGAC， 60BDE ，90BED ， 30EBD ， 24DBDE， 2222 422 3BEDBDE ， 2 3AEBE ，4DCDB， 2 32462 3ACAEDEDC ， 1 33 2 FGAC， 故答案为：3 3 【点睛】 本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、30

17、角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，根据折叠的性 质得出 FG 是 ABC 的中位线，AC 的长即为 BDE 的周长是解本题的关键. 【考【考点点 4】直角三角形的性质直角三角形的性质 【例【例 4 4】（2019 宁夏中考真题）如图，在宁夏中考真题）如图，在Rt ABC中，中， 0 90C，以顶点，以顶点B为圆心，适当长度为半径画为圆心，适当长度为半径画 弧，分别交弧，分别交,AB BC于点于点,M N，再分别以点，再分别以点,M N为圆心，大于为圆心，大于 1 2 MN的长为半的长为半径画弧，径画弧，两弧交于点两弧交于点P， 作射线作射线BP交交AC于点于点D若若30A，则，则 BCD

18、ABD S S _ 【答案】【答案】 1 2 【解析】【解析】 【分析】 利用基本作图得 BD 平分ABC，再计算出30ABDCBD ，所以DADB，利用2BDCD得 到2ADCD，然后根据三角形面积公式可得到 BCD ABD S S 的值 【详解】 解：由作法得BD平分ABC， 90C ，30A， 60ABC ， 30ABDCBD ， DADB， 在Rt BCD中，2BDCD， 2ADCD， 1 2 BCD ABD S S . 故答案为 1 2 【点睛】 本题考查了作图- -基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知 线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；

19、过一点作已知直线的垂线) 【变式【变式 4 4- -1 1】（2019 黑龙江中考真题）一张直角三角形纸片黑龙江中考真题）一张直角三角形纸片ABC， 90ACB，10AB，6AC ， 点点D为为BC边上的任一点，沿过点边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点的直线折叠，使直角顶点C落在斜边落在斜边AB上的点上的点E处，当处，当BDE是是 直角三角形时，则直角三角形时，则CD的长为的长为_ 【答案】【答案】3或 24 7 【解析】【解析】 【分析】 依据沿过点 D 的直线折叠，使直角顶点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，当 BDE 是直角三角形时，分两种情 况讨论：DEB=90 或BDE

20、=90 ，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到 CD 的长 【详解】 分两种情况： 若90DEB ，则90AEDC ， CDED， 连接AD，则()Rt ACDRt AEAD HL， 6AEAC，10 64BE ， 设CDDEx，则8BDx ， Rt BDE中， 222 DEBEBD 222 4(8)xx， 解得3x ， 3CD； 若90BDE ，则90CDEDEFC ，CDDE， 四边形CDEF是正方形， 90AFEEDB ，AEFB ， AEFEBD， AFEF EDBD ， 设CDx，则EFDFx，6AFx ，8BDx ， 6 8 xx xx ， 解得 24 7 x ， 24

21、7 CD， 综上所述，CD的长为3或 24 7 ， 故答案为：3或 24 7 【点睛】 此题考查折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于画出图形 【变式【变式 4 4- -2 2】（2019 河北中考真题）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了河北中考真题）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了 A，B，C 三地的三地的 坐标，数据如图（单位：坐标，数据如图（单位：km） 笔直铁路经过） 笔直铁路经过 A，B 两地两地 （1）A，B 间的距离为间的距离为_km； （2）计划修一条从）计划修一条从 C 到铁路到铁路 AB 的最短公路的最短公路 l，并在，并在 l

22、 上建一个维修站上建一个维修站 D，使，使 D 到到 A，C 的距离相等，则的距离相等，则 C， D 间的距离为间的距离为_km 【答案】【答案】20 13 【解析】【解析】 【分析】 （1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出 AB 的长度； （2）根据 A、B、C 三点的坐标可求出 CE 与 AE 的长度，设 CD=x，根据勾股定理即可求出 x 的值 【详解】 （1）由 A、B 两点的纵坐标相同可知：ABx 轴，AB=12（8）=20； （2）过点 C 作 lAB 于点 E，连接 AC，作 AC 的垂直平分线交直线 l 于点 D，由（1）可知：CE=1（ 17）=18，AE=12，

23、设 CD=x，AD=CD=x，由勾股定理可知：x2=（18x） 2+122，解得：x=13，CD=13 故答案为： （1）20； （2）13 【点睛】 本题考查了勾股定理，解题的关键是根据 A、B、C 三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型 【考点【考点 5】相似三角形的判定与性质的应用相似三角形的判定与性质的应用 【例【例 5 5】（2019 四川中考真题）如图，四川中考真题）如图， 90ABDBCD ，DB 平分平分ADC，过点，过点 B 作作BM CD交交 AD 于于 M连接连接 CM 交交 DB 于于 N （1）求证：）求证： 2 BDAD CD； （； （2）若）若68CDA

24、D，求，求 MN 的长的长 【答案】【答案】 （1）见解析； （2） 4 7 5 MN . 【解析】【解析】 【分析】 （1）通过证明ABDBCD，可得 ADBD BDCD ，可得结论； （2）由平行线的性质可证MBDBDC，即可证4AMMDMB，由 2 BDAD CD和勾股定理 可求 MC 的长，通过证明MNBCND，可得 2 3 BMMN CDCN ，即可求 MN 的长 【详解】 证明： （1）DB 平分ADC， ADBCDB，且90ABDBCD， ABDBCD ADBD BDCD 2 BDAD CD （2）/BMCD MBDBDC ADBMBD，且90ABD BMMDMABMBA， 4B

25、MMDAM 2 BDAD CD，且68CDAD ， 2 48BD， 222 12BCBDCD 222 28MCMBBC 2 7MC /BMCD MNBCND 2 3 BMMN CDCN 且 2 7MC 4 7 5 MN 【点睛】 考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求 MC 的长度是本题的关键 【变式【变式 5 5- -1 1】（2019 全国初三课时练习）如图，在全国初三课时练习）如图，在 ABC 中，中，AB=AC，点，点 P、D 分别是分别是 BC、AC 边上的边上的 点，且点，且APD=B, （1）求证：）求证：ACCD=CPBP； （2）若）若 AB=10，BC

26、=12，当，当 PDAB 时，求时，求 BP 的长的长 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2） 25 3 . 【解析】【解析】 （2）易证APD=B=C，从而可证到 ABPPCD，即可得到 BPAB CDCP ，即 ABCD=CPBP，由 AB=AC 即可得到 ACCD=CPBP； （2）由 PDAB 可得APD=BAP，即可得到BAP=C，从而可证到 BAPBCA，然后运用相似 三角形的性质即可求出 BP 的长 解： （1）AB=AC，B=C APD=B，APD=B=C APC=BAP+B，APC=APD+DPC， BAP=DPC， ABPPCD， BPAB CDCP ， ABCD=C

27、PBP AB=AC， ACCD=CPBP； （2）PDAB，APD=BAP APD=C，BAP=C B=B， BAPBCA， BABP BCBA AB=10，BC=12， 10 1210 BP ， BP= 25 3 “点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等 知识，把证明 ACCD=CPBP 转化为证明 ABCD=CPBP 是解决第（1）小题的关键，证到BAP=C 进而 得到 BAPBCA 是解决第（2）小题的关键 【变式【变式 5 5- -2 2】（2019 陕西中考模拟）大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型陕西中考模拟）大唐芙

28、蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化皇家园林式文化 主题公园，全园标志性建筑一主题公园，全园标志性建筑一紫云楼为代表，展示了紫云楼为代表，展示了“形神升腾紫云景，天形神升腾紫云景，天下臣服帝王心下臣服帝王心”的唐代帝王风范的唐代帝王风范 （如图（如图） 小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量） 小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“紫云楼紫云楼”的高度，来检验自己掌握的高度，来检验自己掌握 知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在紫云楼影子的末端知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在紫

29、云楼影子的末端 C 点处点处 竖立一根标杆竖立一根标杆 CD，此时，小花测得标杆，此时，小花测得标杆 CD 的影长的影长 CE2 米，米，CD2 米；然后，小风从米；然后，小风从 C 点沿点沿 BC 方向方向 走了走了 5.4 米，到达米，到达 G 处，在处，在 G 处竖立标杆处竖立标杆 FG，接着沿，接着沿 BG 后退到点后退到点 M 处时，恰好看见紫云楼顶端处时，恰好看见紫云楼顶端 A，标，标 杆顶端杆顶端 F 在一条直线上，此时在一条直线上，此时，小花测得，小花测得 GM0.6 米，小风的眼睛到地米，小风的眼睛到地面的距离面的距离 HM1.5 米，米，FG2 米米 如图如图，已知，已知

30、ABBM，CDBM，FGBM，HMBM，请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的，请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的 高高 AB 【答案】【答案】紫云楼的高 AB 为 39 米 【解析】【解析】 【分析】 根据已知条件得到 ABBC，过 H 作 HNAB 于 N，交 FG 于 P，设 ABBCx，则 HNBMx+5.4+0.6 x+6，ANx1.5，FP0.5，PHGM0.6，根据相似三角形的性质即可得到结论 【详解】 解：CDBM，FGBM，CE2，CD2， ABBC， 过 H 作 HNAB 于 N，交 FG 于 P， 设 ABBCx，则 HNBMx+5.4+0.6x+6， ANx1.

31、5，FP0.5，PHGM0.6， ANHFPH90 ，AHNFHP， ANHFPH， ANNH PFPH ，即 1.56 0.50.6 xx ， x39， 紫云楼的高 AB 为 39 米 【点睛】 本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键 【考点【考点 6】锐角三角函数及其应用锐角三角函数及其应用 【例例 6 6】（2019 贵州中考真题）三角板是贵州中考真题）三角板是我们学习数学的好帮手我们学习数学的好帮手.将一对直角三将一对直角三角板如图放置，点角板如图放置，点 C 在在 FD 的延长线上，点的延长线上，点 B 在在 ED 上，上，ABCF，FACB90 ，E45 ，A60

32、，AC10，则，则 CD 的长的长 度是度是_. 【答案】【答案】1553. 【解析】【解析】 【分析】 过点 B 作 BMFD 于点 M，根据题意可求出 BC 的长度，然后在 EFD 中可求出EDF45 ，进而可得出 答案. 【详解】 过点 B 作 BMFD 于点 M， 在 ACB 中，ACB90 ，A60 ，AC10， ABC30 ，BC10 tan60 10 3， ABCF， BCM=ABC=30 ， BMBC sin30 1 10 3 2 5 3， CMBC cos30 15， 在 EFD 中，F90 ，E45 ， EDF45 ， MDBM5 3， CDCMMD155 3， 故答案是：

33、155 3. 【点睛】 本题考查了解直角三角形，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键. 【变式【变式 6 6- -1 1】（2019 山东中考真题）自开展山东中考真题）自开展“全民健身运动全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方 便群众步行健身，某地政府决定对一段如图便群众步行健身，某地政府决定对一段如图 1 所示的坡路进行改造如图所示的坡路进行改造如图 2 所示，改造前的斜坡所示，改造前的斜坡200AB 米， 坡度为米， 坡度为1:3； 将斜坡； 将斜坡AB的高度的高度AE降低降低20AC 米后， 斜坡米后， 斜坡AB改造为斜坡改造

34、为斜坡CD， 其坡度为， 其坡度为1:4 求 求 斜坡斜坡CD的长 （结果保留根号）的长 （结果保留根号） 【答案】【答案】斜坡CD的长是80 17米 【解析】【解析】 【分析】 根据题意和锐角三角函数可以求得AE的长，进而得到CE的长，再根据锐角三角函数可以得到ED的长， 最后用勾股定理即可求得CD的长 【详解】 90AEB ，200AB ，坡度为1: 3， 13 tan 33 ABE， 30ABE， 1 100 2 AEAB， 20AC ， 80CE ， 90CED，斜坡CD的坡度为1:4， 1 4 CE DE ， 即 801 4ED ， 解得，320ED， 22 8032080 17CD

35、 米， 答：斜坡CD的长是80 17米 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结 合的思想解答 【变式【变式 6 6- -2 2】（2019 海南中考真题）如图是某区域的平面示意图，海南中考真题）如图是某区域的平面示意图，码头码头 A 在观测站在观测站 B 的正东方向，码头的正东方向，码头 A 的北偏西的北偏西60方向上有一小岛方向上有一小岛 C，小岛，小岛 C 在观测站在观测站 B 的北偏西的北偏西15方向上，码头方向上，码头 A 到小岛到小岛 C 的距离的距离 AC 为为 10 海里海里 （1）填空：）填空：BAC 度，度，C 度

36、；度； （2）求观测站）求观测站 B 到到 AC 的距离的距离 BP（结果保留根号） （结果保留根号） 【答案】【答案】 （1）30，45； （2） （535）海里 【解析】【解析】 【分析】 （1）由题意得：906030BAC ，9015105ABC ，由三角形内角和定理即可得出 C 的度数； （2）证出BCP是等腰直角三角形，得出=BP PC，求出3PABP，由题意得出310BPBP， 解得5 35BP 即可 【详解】 解： （1）由题意得：906030BAC ，9015105ABC ， 18045CBACABC ； 故答案为 30，45； （2）BPAC， 90BPABPC ， 45C

37、， BCP是等腰直角三角形， BPPC， 30BAC ， 3PABP ， PAPCAC， 310BPBP ， 解得：5 35BP ， 答：观测站 B 到 AC 的距离 BP 为(5 35)海里 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键 【达标训练】 1 （ （2019 河北中考真题）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（河北中考真题）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ） A B C D 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 【分析】 根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选

38、项进行判断 【详解】 三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到 C 选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成 功找到三角形外心 故选 C 【点睛】 本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已 知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线） 也考查了三角形的外心 2 （ （2019 江苏中考真题）已知江苏中考真题）已知 n 正整数，若一个三角形的三边长分别是正整数，若一个三角形的三边长分别是 n+2、 、n+8、3n，则满足条件的，则满足条件的 n 的值有的值有( ) A4 个个 B5 个个 C6 个个 D7 个 个 【

39、答案】【答案】D 【解析】【解析】 【分析】 分 n+8 与 3n 最大两种情况，根据三角形三边关系列出不等式组，解不等式组后求出正整数解即可得答案. 【详解】 n+2n+8， 分 n+8 最大与 3n 最大两种情况， 当 n+8 最大时， 238 832 83 nnn nnn nn ， 解得 ：2n4， 又n 为正整数， n=3，4； 当 3n 最大时， 28 3 382 38 nnn nnn nn 解得：4n10， 又n 为正整数， n=4，5，6，7，8，9， 综上：n 的值可以为 3、4、5、6、7、8、9，共 7 种可能， 故选 D. 【点睛】 本题考查了一元一次不等式组的应用，三角

40、形三边关系，熟练掌握相关内容并正确分类讨论是解题的关键. 3 （ （2019 浙江中考真题）如图，已知在四边形浙江中考真题）如图，已知在四边形ABCD中， 中，90BCD，BD平分平分ABC，6AB， 9BC ，4CD，则四边形，则四边形ABCD的面积是（的面积是（ ） A24 B30 C36 D42 【答案【答案】B 【解析】【解析】 【分析】 过 D 作 DEAB 交 BA 的延长线于 E，根据角平分线的性质得到 DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得 到结论 【详解】 如图，过 D 作 DEAB 交 BA 的延长线于 E， BD 平分ABC，BCD=90 ， DE=CD=4， 四边形

41、ABCD的面积 11 22 ABDBCD SSAB DEBC CD 11 649430 22 故选：B. 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键 4 （ （2019 湖北中考真题）通过如下尺规作图，能确定点湖北中考真题）通过如下尺规作图，能确定点D是 是BC边中点的是（边中点的是（ ） A B C D 【答案【答案】A 【解析】【解析】 【分析】 作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点 【详解】 作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点 由此可知：选项 A 符合条件， 故选 A 【点睛】 本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图 5

42、 （ （2019 广东中考真题）如图，矩形广东中考真题）如图，矩形 ABCD 中，对角线 中，对角线 AC 的垂直平分线的垂直平分线 EF 分别交分别交 BC，AD 于点于点 E，F， 若若 BE=3，AF=5，则，则 AC 的长为（的长为（ ） A4 5 B4 3 C10 D8 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 【分析】 连接 AE，由线段垂直平分线的性质得出 OA=OC，AE=CE，证明AOFCOE 得出 AF=CE=5，得出 AE=CE=5，BC=BE+CE=8，由勾股定理求出 AB=4，再由勾股定理求出 AC 即可 【详解】 解：如图，连结 AE， 设 AC 交 EF 于 O， 依

43、题意，有 AOOC，AOFCOE，OAFOCE， 所以，OAFOCE（ASA） ， 所以，ECAF5， 因为 EF 为线段 AC 的中垂线， 所以，EAEC5， 又 BE3，由勾股定理，得：AB4， 所以，AC 22 16ABBC 2 （3+5） 4 5 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定、勾股定理，熟练掌握是解题的关键. 6 （ （2019 湖湖南中考真题）已南中考真题）已知知 M、N 是线段是线段 AB 上的两点， 上的两点，AMMN2，NB1，以点，以点 A 为圆心，为圆心，AN 长为半径画弧； 再以点长为半径画弧； 再以点 B 为圆心，为圆心， BM 长为半径画弧， 两弧交于点长为半径画弧， 两弧交于点 C， 连接， 连接 AC， BC， 则， 则 ABC 一定是一定是( ) A锐角三角形锐角三角形 B直角三角形直角三角形 C钝角三角形钝角三角形 D等腰三角形等腰三角形 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 【分析】 依据作图即可得到 ACAN4，BCBM3， AB2+2+15，进而得到 AC2+BC2AB2，即可得出ABC 是直角三角形 【详解】 如图所示，ACAN4，BCBM3，AB2+2+15， AC2+BC2AB2， ABC 是直角三角形，且ACB90 ， 故选 B 【点睛】 本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2