2020中考数学压轴题专题04 不等式与不等式组.doc

1、 专题专题 0 04 4 不等式与不等式组不等式与不等式组 【考点【考点 1】不等式的基本性质不等式的基本性质 【例【例 1 1】（2019广安）若mn，下列不等式不一定成立的是( ) A33mn B33mn C 33 mn D 22 mn 【答案】D 【解析】A、不等式的两边都加 3，不等号的方向不变，故A错误； B、不等式的两边都乘以3，不等号的方向改变，故B错误； C、不等式的两边都除以 3，不等号的方向不变，故C错误； D、如2m ，3n ，mn， 22 mn；故D正确； 故选：D 点睛：主要考查了不等式的基本性质， “0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注 “0”

2、存在与否，以防掉进“0”的陷阱 【变式【变式 1 1- -1 1】（2019舟山）已知四个实数a，b，c，d，若ab，cd，则( ) Aacbd Bacbd Cacbd D ab cd 【答案】A 【解析】ab，cd， acbd 故选：A 点睛：此题主要考查了等式的性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键 【变式【变式 1 1- -2 2】（2019玉林）设01 b a ，则 22 2 4 2 ab m aab ，则m的取值范围是 【答案】11m 【解析】 22 2 4(2 )(2 )22 1 2(2 ) abab ababb m aaba abaa ， 01 b a ， 2 20 b a ，

3、2 1 11 b a ， 即11m 故答案为：11m 点睛：本题主要考查了分式的约分以及不等式的基本性质，熟练掌握分解因式的方法是解答本题的关键 【考点【考点 2】解一元一次不等式（组）解一元一次不等式（组） 【例【例 2 2】（2019呼和浩特）若不等式 25 1 2 3 x x 的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式 3(1)552()xxmx成立，则m的取值范围是( ) A 3 5 m B 1 5 m C 3 5 m D 1 5 m 【答案】C 【解析】解不等式 25 1 2 3 x x 得： 4 5 x， 不等式 25 1 2 3 x x 的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式

4、3(1)552()xxmx成立， 1 2 m x ， 14 25 m ， 解得： 3 5 m ， 故选：C 点睛：本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的 不等式是解此题的关键 【变式【变式 2 2- -1 1】（2019宁波）不等式 3 2 x x 的解为( ) A1x B1x C1x D1x 【答案】A 【解析】 3 2 x x ， 32xx， 33x， 1x ， 故选：A 点睛：本题考查了解一元一次不等式，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并 同类项、系数化成 1 【变式【变式 2 2- -2 2】（2019广西）解不等

5、式组： 351 3421 63 xx xx ，并利用数轴确定不等式组的解集 【答案】23x 【解析】 351 3421 63 xx xx 解得3x ， 解得2x ， 所以不等式组的解集为23x 用数轴表示为： 点睛：本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出 这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集解集的规律：同大取大；同小取小；大 小小大中间找；大大小小找不到 【考点【考点 3】不等式的含参及特殊解问题不等式的含参及特殊解问题 【例【例 3 3】（2019南充）关于x的不等式21xa 只有 2 个正整数解，则a的取值范围为( ) A

6、53a B53a C53a D53a剟 【答案】C 【解析】解不等式21xa 得： 1 2 a x ， 不等式有两个正整数解，一定是 1 和 2， 根据题意得： 1 23 2 a ， 解得：53a 故选：C 点睛：本题考查了不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键解不等式应根据不等式 的基本性质 【变式【变式 3 3- -1 1】（2019云南）若关于x的不等式组 2(1)2, 0 x ax 的解集是xa，则a的取值范围是( ) A2a B2a C2a D2a 【答案】D 【解析】解关于x的不等式组 2(1)2, 0 x ax 得 2x xa 2a 故选：D 点睛：本题考查不等式

7、的解集，解题的关键是正确理解不等式的解集，本题属于基础题型 【变式变式 3 3- -2 2】（2019丹东）关于x的不等式组 240 1 x ax 的解集是24x，则a的值为 【答案】3 【解析】解不等式240x ，得：2x ， 解不等式1ax ，得：1xa， 不等式组的解集为24x， 14a ，即3a ， 故答案为：3 点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取 小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 【考点【考点 4】一元一次不等式的应用问题一元一次不等式的应用问题 【例【例 4 4】（2019抚顺）为响应“绿色生活，美

8、丽家园”号召，某社区计划种植甲、乙两种花卉来美化小区 环境若种植甲种花卉 2 2m，乙种花卉 2 3m，共需 430 元；种植甲种花卉 2 1m，乙种花卉 2 2m，共需 260 元 （1）求：该社区种植甲种花卉 2 1m和种植乙种花卉 2 1m各需多少元？ （2）该社区准备种植两种花卉共 2 75m且费用不超过 6300 元，那么社区最多能种植乙种花卉多少平方米？ 【解析】 （1）设该社区种植甲种花卉 2 1m需x元，种植乙种花卉 2 1m需y元， 依题意，得： 23430 2260 xy xy ， 解得： 80 90 x y 答：该社区种植甲种花卉 2 1m需 80 元，种植乙种花卉 2

9、1m需 90 元 （2）设该社区种植乙种花卉 2 mm，则种植甲种花卉 2 (75)m m， 依题意，得：80(70)906300mm， 解得：30m 答：该社区最多能种植乙种花卉 2 30m 点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系， 正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式 【变式【变式 4 4- -1 1】（2019锦州）某市政部门为了保护生态环境，计划购买A，B两种型号的环保设备已知购 买一套A型设备和三套B型设备共需 230 万元，购买三套A型设备和两套B型设备共需 340 万元 （1）求A型

10、设备和B型设备的单价各是多少万元； （2）根据需要市政部门采购A型和B型设备共 50 套，预算资金不超过 3000 万元，问最多可购买A型设备 多少套？ 【解析】 （1）设A型设备的单价是x万元，B型设备的单价是y万元， 依题意，得： 3230 32340 xy xy ， 解得： 80 50 x y 答：A型设备的单价是 80 万元，B型设备的单价是 50 万元 （2）设购进A型设备m套，则购进B型设备(50)m套， 依题意，得：8050(50) 3000mm， 解得： 50 3 m m为整数， m的最大值为 16 答：最多可购买A型设备 16 套 点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元

11、一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系， 正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式 【变式【变式 4 4- -2 2】（2019辽阳）为了进一步丰富校园活动，学校准备购买一批足球和篮球，已知购买 7 个足球 和 5 个篮球的费用相同；购买 40 个足球和 20 个篮球共需 3400 元 （1）求每个足球和篮球各多少元？ （2）如果学校计划购买足球和篮球共 80 个，总费用不超过 4800 元，那么最多能买多少个篮球？ 【解析】 （1）设每个足球为x元，每个篮球为y元， 根据题意得： 75 40203400 xy xy ， 解得： 50 70 x

12、 y 答：每个足球为 50 元，每个篮球为 70 元； （2）设买篮球m个，则买足球(80)m个，根据题意得： 7050(80) 4800mm， 解得：40m m为整数， m最大取 40， 答：最多能买 40 个篮球 点睛：本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题 时找到建立方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键 【考点【考点 5】不等式组的应用问题不等式组的应用问题 【例例 5 5】（2019青海）某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共 30 辆调拨不超过 190 吨蔬菜 和 162 吨肉制品补充当地市场已知一辆大型车可运

13、蔬菜 8 吨和肉制品 5 吨；一辆中型车可运蔬菜 3 吨和 肉制品 6 吨 （1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来； （2）若一辆大型车的运费是 900 元，一辆中型车的运费为 600 元，试说明（1）中哪种运输方案费用最低？ 最低费用是多少元？ 【解析】 （1）设安排x辆大型车，则安排(30)x辆中型车， 依题意，得： 83(30) 190 56(30) 162 xx xx ， 解得：1820x剟 x为整数， 18x，19，20 符合题意的运输方案有 3 种，方案 1：安排 18 辆大型车，12 辆中型车；方案 2：安排 19 辆大型车， 11 辆中型车；方案 3：安排 20 辆大

14、型车，10 辆中型车 （2）方案 1 所需费用为：900 18600 1223400（元)， 方案 2 所需费用为：900 19600 1123700（元)， 方案 3 所需费用为：90020600 1024000（元) 234002370024000， 方案 1 安排 18 辆大型车，12 辆中型车所需费用最低，最低费用是 23400 元 点睛：本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是 解题的关键 【变式【变式 5 5- -1 1】（2019莱芜区）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造， 根据预算，改造 2 个甲种型号大

15、棚比 1 个乙种型号大棚多需资金 6 万元，改造 1 个甲种型号大棚和 2 个乙 种型号大棚共需资金 48 万元 （1）改造 1 个甲种型号和 1 个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？ （2）已知改造 1 个甲种型号大棚的时间是 5 天，改造 1 个乙种型号大概的时间是 3 天，该基地计划改造甲、 乙两种蔬菜大棚共 8 个， 改造资金最多能投入 128 万元， 要求改造时间不超过 35 天， 请问有几种改造方案？ 哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？ 【解析】 （1）设改造 1 个甲种型号大棚需要x万元，改造 1 个乙种型号大棚需要y万元， 依题意，得： 26 248 xy xy ， 解得

16、： 12 18 x y 答：改造 1 个甲种型号大棚需要 12 万元，改造 1 个乙种型号大棚需要 18 万元 （2）设改造m个甲种型号大棚，则改造(8)m个乙种型号大棚， 依题意，得： 53(8) 35 1218(8) 128 mm mm ， 解得： 811 32 m剟 m为整数， 3m，4，5， 共有 3 种改造方案，方案 1：改造 3 个甲种型号大棚，5 个乙种型号大棚；方案 2：改造 4 个甲种型号大 棚，4 个乙种型号大棚；方案 3：改造 5 个甲种型号大棚，3 个乙种型号大棚 方案 1 所需费用12318 5126 （万元） ； 方案 2 所需费用124184120（万元） ； 方

17、案 3 所需费用12518 3114（万元） 114120126， 方案 3 改造 5 个甲种型号大棚，3 个乙种型号大棚基地投入资金最少，最少资金是 114 万元 点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是： （1）找准等 量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组 【变式【变式 5 5- -2 2】（2019遵义）某校计划组织 240 名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动旅游公司有 A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量 45 人，B型客车每辆载客量 30 人若租用 4 辆A型客车 和 3 辆B型客车共需

18、费用 10700 元；若租用 3 辆A型客车和 4 辆B型客车共需费用 10300 元 （1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元； （2）为使 240 名师生有车坐，且租车总费用不超过 1 万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？ 【解析】 （1）设租用A，B两型客车，每辆费用分别是x元、y元， 4310700 3410300 xy xy ， 解得， 1700 1300 x y ， 答：租用A，B两型客车，每辆费用分别是 1700 元、1300 元； （2）设租用A型客车a辆，租用B型客车b辆， 4530240 1700130010000 ab ab ， 解得， 2 5 a b ，

19、4 2 a b ， 5 1 a b ， 共有三种租车方案， 方案一：租用A型客车 2 辆，B型客车 5 辆，费用为 9900 元， 方案二：租用A型客车 4 辆，B型客车 2 辆，费用为 9400 元， 方案三：租用A型客车 5 辆，B型客车 1 辆，费用为 9800 元， 由上可得，方案二：租用A型客车 4 辆，B型客车 2 辆最省钱 点睛：本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用不等 式的性质和方程的知识解答 1 （2019上海）如果mn，那么下列结论错误的是( ) A22mn B22mn C22mn D22mn 【答案】D 【解析】mn， 22m

20、n ， 故选：D 点睛：本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型 2 （2019桂林）如果ab，0c ，那么下列不等式成立的是( ) Aacb Bacbc C11acbc D(1)(1)a cb c 【答案】D 【解析】0c ， 11c ， ab， (1)(1)a cb c， 故选：D 点睛：本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于中等题型 3 （2019长春）不等式2 0x 的解集为( ) A2x B2x C2x D2x 【答案】D 【解析】移项得：2x 系数化为 1 得：2x 故选：D 点睛：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学

21、生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出 错 解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； 在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负 数不等号的方向改变 4 （2019宿迁）不等式1 2x 的非负整数解有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】D 【解析】1 2x ， 解得：3x， 则不等式1 2x 的非负整数解有：0，1，2，3 共 4 个 故选：D 点睛：此题主要考查了一元一次不等式的整数解，正确把握非负整数的定义是解题关键 5（2019无锡） 某工厂为了要在规定期限内完

22、成 2160 个零件的任务， 于是安排 15 名工人每人每天加工a个 零件(a为整数） ，开工若干天后，其中 3 人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工 2 个零件，则不能按期 完成这次任务，由此可知a的值至少为( ) A10 B9 C8 D7 【答案】B 【解析】设原计划n天完成，开工x天后 3 人外出培训， 则152160an ， 得到144an 所以1512(2)()2160axanx 整理，得4488720xannx 144an 将其代入化简，得88144axnx，即88axnxan， 整理，得8()()nxa nx nx， 0nx ， 8a a至少为 9 故选：B 点睛：考查了一元一

23、次不等式的应用，解题的技巧性在于设而不求，难度较大 6 （2019重庆）某次知识竞赛共有 20 题，答对一题得 10 分，答错或不答扣 5 分，小华得分要超过 120 分， 他至少要答对的题的个数为( ) A13 B14 C15 D16 【答案】C 【解析】设要答对x道 10( 5)(20)120xx ， 101005120xx， 15220x ， 解得： 44 3 x ， 根据x必须为整数，故x取最小整数 15，即小华参加本次竞赛得分要超过 120 分，他至少要答对 15 道题 故选：C 点睛：此题主要考查了一元一次不等式的应用，得到得分的关系式是解决本题的关键 7 （2019常德）不等式3

24、12(4)xx 的解为 【答案】7x 【解析】312(4)xx ， 3128xx ， 7x 故答案为：7x 点睛：本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意 不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变 8 （2019鄂州） 若关于x、y的二元一次方程组 343 55 xym xy 的解满足0xy ， 则m的取值范围是 【答案】2m 【解析】 343 55 xym xy ， 得2248xym， 则24xym， 根据题意得24 0m ， 解得2m 故答案是：2m 点睛：本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表

25、示出 xy的值，再得到关于m的不等式 9 （2019大庆）已知4x 是不等式310axa 的解，2x 不是不等式310axa 的解，则实数a的 取值范围是 【答案】1a 【解析】4x 是不等式310axa 的解， 4310aa ， 解得：1a ， 2x 不是这个不等式的解， 231 0aa ， 解得：1a， 1a， 故答案为：1a 点睛：本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集 10 （2019株洲）若a为有理数，且2a的值大于 1，则a的取值范围为 【答案】1a 【解析】根据题意知21a， 解得1a ， 故答案为：1a 且a为有理数 点睛：本题主要考查解一元一次不等式的基本能力

26、，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意 不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变 11 （2019朝阳）不等式组 620 240 x x 的解集是 【答案】23x 【解析】 620 240 x x ， 由不等式，得3x， 由不等式，得2x ， 故原不等式组的解集是23x ， 故答案为：23x 点睛：本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法 12 （2019盘锦）不等式组 3410 25 14 3 xx x x 的解集是 【答案】 1 3 5 x 【解析】 3410 25 14 3 xx x x ， 由得，3x， 由得， 1 5 x ， 原不等式

27、组的解集为 1 3 5 x ， 故答案为 1 3 5 x 点睛：此题考查了不等式组的解法，求不等式组的解集要根据以下原则：同大取较大，同小取较小，小大 大小中间找，大大小小解不了 13 （2019莱芜区）定义： x表示不大于x的最大整数，例如：2.32，11 有以下结论： 1.22 ；1 1aa；2 2 1aa；存在唯一非零实数a，使得 2 2 aa 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】 1.22 ，故正确； 1 1aa，故正确； 2 2 1aa，故正确； 当0a 时， 2 2 0aa；当2a 时， 2 2 2aa；原题说法是错误的 故答案为： 点睛：本题考查新定义，解

28、答本题的关键是明确题目中的新定义，可以判断出各个小题中的结论是否正确 14 （2019铜仁市）如果不等式组 32 4 xa xa 的解集是4xa，则a的取值范围是 【答案】3a 【解析】解这个不等式组为4xa， 则324aa， 解这个不等式得3a 故答案3a 点睛：此题实质是解一元一次不等式组解答时要遵循以下原则：同大取教大，同小取较小，小大大小中 间找，大大小小解不了 15 （2019包头）已知不等式组 2961 1 xx xk 的解集为1x ，则k的取值范围是 【答案】2k 【解析】 2961 1 xx xk 由得1x ； 由得1xk 不等式组 2961 1 xx xk 的解集为1x ，

29、11k ， 解得2k 故答案为2k 点睛： 本题考查了解一元一次不等式组的应用， 解此题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于k的不 等式，难度适中 16 （2019鸡西）若关于x的一元一次不等式组 0 213 xm x 的解集为1x ，则m的取值范围是 【答案】1m 【解析】解不等式0xm，得：xm， 解不等式213x ，得：1x ， 不等式组的解集为1x ， 1m ， 故答案为：1m 点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取 小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 17 （2019宁夏）解不等式组： 1 1 23 3

30、 2 2 xx x x 【解析】解不等式 1 1 23 xx ，得：4x， 解不等式 3 2 2 x x ，得：7x ， 则不等式组的解集为74x 点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取 小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 18 （2019贺州）解不等式组： 564, 841 x xx 【答案】32x 【解析】解得2x ， 解得3x ， 所以不等式组的解集为32x 点睛：本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出 这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集解集

31、的规律：同大取大；同小取小；大 小小大中间找；大大小小找不到 19.（2019宁夏）学校在“我和我的祖国”快闪拍摄活动中，为学生化妆其中 5 名男生和 3 名女生共需化 妆费 190 元；3 名男生的化妆费用与 2 名女生的化妆费用相同 （1）求每位男生和女生的化妆费分别为多少元； （2）如果学校提供的化妆总费用为 2000 元，根据活动需要至少应有 42 名女生化妆，那么男生最多有多少 人化妆 【解析】 （1）设每位男生的化妆费是x元，每位女生的化妆费是y元， 依题意得： 53190 32 xy xy 解得： 20 30 x y 答：每位男生的化妆费是 20 元，每位女生的化妆费是 30 元

32、； （2）设男生有a人化妆， 依题意得： 200020 42 30 a 解得37a 即a的最大值是 37 答：男生最多有 37 人化妆 点睛：考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用解决问题的关键是读懂题意，找到关键描 述语，找到所求的量的数量关系 20 （2019福建）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m 吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成 当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理已知该车间处理废水， 每天需固定成本 30 元，并且每处理一吨废水还需其他费用

33、 8 元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付 12 元根据记录，5 月 21 日，该厂产生工业废水 35 吨，共花费废水处理费 370 元 （1）求该车间的日废水处理量m； （2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超 过 10 元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围 【答案】该厂一天产生的工业废水量的范围为1520x剟 【解析】 （1）35 830310 （元)，310350， 35m 依题意，得：30812(35)370mm， 解得：20m 答：该车间的日废水处理量为 20 吨 （2）设一天产生工业废水x吨， 当020x 时，830

34、 10xx， 解得：1520x剟； 当20x 时，12(20)8 2030 10xx ， 解得：2025x 综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为1520x剟 点睛：本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系， 正确列出一元一次方程； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式 21 （2019贵阳）某文具店最近有A，B两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一周A款销 售数量是 15 本，B款销售数量是 10 本，销售总价是 230 元；第二周A款销售数量是 20 本，B款销售数量 是 10 本，销售总价是 280 元 （1）求

35、A，B两款毕业纪念册的销售单价； （2）若某班准备用不超过 529 元购买这两种款式的毕业纪念册共 60 本，求最多能够买多少本A款毕业纪 念册 【解析】 （1）设A款毕业纪念册的销售为x元，B款毕业纪念册的销售为y元，根据题意可得： 1510230 2010280 xy xy ， 解得： 10 8 x y ， 答：A款毕业纪念册的销售为 10 元，B款毕业纪念册的销售为 8 元； （2）设能够买a本A款毕业纪念册，则购买B款毕业纪念册(60)a本，根据题意可得： 108(60) 529aa， 解得：24.5a， 则最多能够买 24 本A款毕业纪念册 点睛：此题主要考查了一元一次不等式的应用以

36、及二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键 22 （2019荆州）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体 学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动在此次活动中，若每位老师带队 14 名学生，则还剩 10 名学生 没老师带；若每位老师带队 15 名学生，就有一位老师少带 6 名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载 客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次研学活动的租金总费用不超过 3000 元，为安全起见，每辆客车上至少要有 2 名老师 （1）参加此次研学活动的老师和学生各有多

37、少人？ （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有 2 名老师，可知租车总辆数为 8 辆； （3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 【解析】 （1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人， 依题意，得： 1410 156 xy xy ， 解得： 16 234 x y 答：参加此次研学活动的老师有 16 人，学生有 234 人 （2）(23416)357（辆)5（人)，1628（辆)， 租车总辆数为 8 辆 故答案为：8 （3）设租 35 座客车m辆，则需租 30 座的客车(8)m辆， 依题意，得： 3530(8) 23416 400320(8) 3000 mm mm ， 解得： 1 25 2 m剟 m为正整数， 2m，3，4，5， 共有 4 种租车方案 设租车总费用为w元，则400320(8)802560wmmm， 800， w的值随m值的增大而增大， 当2m 时，w取得最小值，最小值为 2720 学校共有 4 种租车方案，最少租车费用是 2720 元 点睛：本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据师生人数，确定租车辆数； （3）根据各数量之间 的关系，正确列出一元一次不等式组