2020中考数学压轴题专题03 一元二次方程及应用.doc

1、 专题专题 0303 一一元二次方程及应用元二次方程及应用 【考点【考点 1】一元二次方程的根的求值问题一元二次方程的根的求值问题 【例【例 1 1】（2019兰州）x1 是关于 x 的一元二次方程 x2+ax+2b0 的解，则 2a+4b（ ） A2 B3 C1 D6 【答案】A 【解析】把 x1 代入方程 x2+ax+2b0 得 1+a+2b0， 所以 a+2b1， 所以 2a+4b2（a+2b）2（1）2 故选：A 点睛:本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的 解 【变式【变式 1 1- -1 1】（2019遂宁）已知关于 x 的一元二次方程

2、（a1）x22x+a210 有一个根为 x0，则 a 的 值为（ ） A0 B1 C1 D1 【答案】D 【解析】关于 x 的一元二次方程（a1）x22x+a210 有一个根为 x0， a210，且 a10， 则 a 的值为：a1 故选：D 点睛:此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零 【变式【变式 1 1- -2 2】（2019甘肃）若一元二次方程 x22kx+k20 的一根为 x1，则 k 的值为（ ） A1 B0 C1 或1 D2 或 0 【答案】A 【解析】把 x1 代入方程得：1+2k+k20， 解得：k1， 故选：A 点睛:此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能

3、使方程左右两边相等的未知数的值 【考点【考点 2】配方法解一元二次方程配方法解一元二次方程 【例【例 2 2】（2019南通）用配方法解方程 x2+8x+90，变形后的结果正确的是（ ） A （x+4）29 B （x+4）27 C （x+4）225 D （x+4）27 【答案】D 【解析】方程 x2+8x+90，整理得：x2+8x9， 配方得：x2+8x+167，即（x+4）27， 故选：D 点睛:此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 【变式【变式 2 2- -1 1】（2019金华）用配方法解方程 x26x80 时，配方结果正确的是（ ） A （x3）217 B

4、 （x3）214 C （x6）244 D （x3）21 【答案】A 【解析】用配方法解方程 x26x80 时，配方结果为（x3）217， 故选：A 点睛:此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 【考点【考点 3】因式分解法解一元二次方程因式分解法解一元二次方程 【例【例 3 3】（2019桂林）一元二次方程（x3） （x2）0 的根是 【答案】x13，x22 【解析】x30 或 x20， 所以 x13，x22 故答案为 x13，x22 点睛:本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这 种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的

5、方法 【变式【变式 3 3- -1 1】（2019十堰）对于实数 a，b，定义运算“”如下：ab（a+b）2（ab）2若（m+2） （m3）24，则 m 【答案】3 或 4 【解析】根据题意得（m+2）+（m3）2（m+2）（m3）224， （2m1）2490， （2m1+7） （2m17）0， 2m1+70 或 2m170， 所以 m13，m24 故答案为3 或 4 点睛:本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这 种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法 【变式【变式 3 3- -2 2】（2019扬州）一元二次方程 x（x2）x2 的根是 【

6、答案】x12，x21 【解析】x（x2）x2， x（x2）（x2）0， （x2） （x1）0， x20，x10， x12，x21， 故答案为：x12，x21 点睛:本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键 【考点【考点 4】一元二次方程的判别式问题一元二次方程的判别式问题 【例【例 4 4】（2019铁岭）若关于 x 的一元二次方程 ax28x+40 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围 是 【答案】a4 且 a0 【解析】由题意可知：6416a0， a4， a0， a4 且 a0， 故答案为：a4 且 a0 点睛:本题考查根的判别式，解题的关键是熟

7、练运用根的判别式，本题属于基础题型 【变式【变式 4 4- -1 1】（2019宁夏）已知一元二次方程 3x2+4xk0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范 围 【答案】k 【解析】方程 3x2+4xk0 有两个不相等的实数根， 0，即 4243（k）0， 解得 k， 故答案为：k 点睛:本题考查根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个 不相等的实数根； （2）0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 【变式【变式 4 4- -2 2】（2019黄石）已知关于 x 的一元二次方程 x26x+（4m+1）0 有实数根 （1）求 m 的取值范围； （

8、2）若该方程的两个实数根为 x1、x2，且|x1x2|4，求 m 的值 【解析】 （1）关于 x 的一元二次方程 x26x+（4m+1）0 有实数根， （6）241（4m+1）0， 解得：m2 （2）方程 x26x+（4m+1）0 的两个实数根为 x1、x2， x1+x26，x1x24m+1， （x1x2）2（x1+x2）24x1x242，即 3216m16， 解得：m1 点睛:本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是： （1）牢记“当0 时，方程有实数 根” ； （2）利用根与系数的关系结合|x1x2|4，找出关于 m 的一元一次方程 【考点【考点 5】一元二次方程的根与系数的关

9、系问题一元二次方程的根与系数的关系问题 【例【例 5 5】（2019十堰）已知于 x 的元二次方程 x26x+2a+50 有两个不相等的实数根 x1，x2 （1）求 a 的取值范围； （2）若 x12+x22x1x230，且 a 为整数，求 a 的值 【答案】(1) a2；(2) 1，0，1 【解析】 （1）关于 x 的一元二次方程 x26x+2a+50 有两个不相等的实数根 x1，x2， 0，即（6）24（2a+5）0， 解得 a2； （2）由根与系数的关系知：x1+x26，x1x22a+5， x1，x2满足 x12+x22x1x230， （x1+x2）23x1x230， 363（2a+5）

10、30， a，a 为整数， a 的值为1，0，1 点睛:本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得 k 的取值范围是解题的关键，注 意方程根的定义的运用 【变式【变式 5 5- -1 1】（2019绥化）已知关于 x 的方程 kx23x+10 有实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，分别为 x1和 x2，当 x1+x2+x1x24 时，求 k 的值 【答案】(1) k 的取值范围为 k (2) k 的值为 1 【解析】 （1）当 k0 时，原方程为3x+10， 解得：x， k0 符合题意； 当 k0 时，原方程为一元二次方程， 该一元二次方程有实数根，

11、（3）24k10， 解得：k 综上所述，k 的取值范围为 k （2）x1和 x2是方程 kx23x+10 的两个根， x1+x2，x1x2 x1+x2+x1x24， 4， 解得：k1， 经检验，k1 是分式方程的解，且符合题意 k 的值为 1 点睛:本题考查了根的判别式、 根与系数的关系、 一元二次方程的定义、 解一元一次方程以及解分式方程， 解题的关键是：（1） 分 k0 及 k0 两种情况， 找出 k 的取值范围；（2） 利用根与系数的关系结合 x1+x2+x1x2 4，找出关于 k 的分式方程 【考点【考点 6】一元二次方程的增长率问题一元二次方程的增长率问题 【例【例 6 6】（201

12、9大连）某村 2016 年的人均收入为 20000 元，2018 年的人均收入为 24200 元 （1）求 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率； （2）假设 2019 年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测 2019 年村该村的人均 收入是多少元？ 【答案】(1) 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 10% (2) 预测 2019 年村该村的人均收入是 26620 元 【解析】 （1）设 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 x， 根据题意得：20000（1+x）224200， 解得：x10.110%，x22.1

13、（不合题意，舍去） 答：2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 10% （2）24200（1+10%）26620（元） 答：预测 2019 年村该村的人均收入是 26620 元 点睛:本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出一元二次方程； （2） 根据数量关系，列式计算 【变式【变式 6 6- -1 1】（2019贺州）2016 年，某贫困户的家庭年人均纯收入为 2500 元，通过政府产业扶持，发展 了养殖业后，到 2018 年，家庭年人均纯收入达到了 3600 元 （1）求该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率

14、； （2）若年平均增长率保持不变，2019 年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到 4200 元？ 【答案】(1) 该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为 20% (2) 2019 年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到 4200 元 【解析】 （1）设该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为 x， 依题意，得：2500（1+x）23600， 解得：x10.220%，x22.2（舍去） 答：该贫困户 2016 年到 2018 年家庭年人均纯收入的年平均增长率为 20% （2）3600（1+20%）4320（元） ， 43204200 答

15、：2019 年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到 4200 元 点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 【考点【考点 7】一元二次方程的面积问题】一元二次方程的面积问题 【例【例 7 7】（2019徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长 30cm，宽 20cm在其四角各剪去一个同样的正方形， 然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒 子的侧面积为 200cm2？ 【答案】当剪去正方形的边长为 cm 时，所得长方体盒子的侧面积为 200cm2 【解析】设剪去正方形的边长为 xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（

16、302x）cm，宽为（202x） cm，高为 xcm， 依题意，得：2（302x）+（202x）x200， 整理，得：2x225x+500， 解得：x1，x210 当 x10 时，202x0，不合题意，舍去 答：当剪去正方形的边长为 cm 时，所得长方体盒子的侧面积为 200cm2 点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 【变式【变式 7 7- -1 1】（2019襄阳）改善小区环境，争创文明家园如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m， 宽（AB）9m 的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其

17、 余部分种草要使草坪部分的总面积为 112m2，则小路的宽应为多少？ 【答案】小路的宽应为 1m 【解析】设小路的宽应为 xm， 根据题意得： （162x） （9x）112， 解得：x11，x216 169， x16 不符合题意，舍去， x1 答：小路的宽应为 1m 点睛:本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键 【考点【考点 8】一元二次方程的销售问题】一元二次方程的销售问题 【例【例 8 8】（2019东营）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产 品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单

18、价定为 200 元 时，每天可售出 300 个；若销售单价每降低 1 元，每天可多售出 5 个已知每个电子产品的固定成本为 100 元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利 32000 元？ 【答案】这种电子产品降价后的销售单价为 180 元时，公司每天可获利 32000 元 【解析】设降价后的销售单价为 x 元，则降价后每天可售出300+5（200x）个， 依题意，得： （x100）300+5（200x）32000， 整理，得：x2360x+324000， 解得：x1x2180 180200，符合题意 答：这种电子产品降价后的销售单价为 180 元时，公司每天可获利 32

19、000 元 点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 【变式【变式 8 8- -1 1】（2019安顺）安顺市某商贸公司以每千克 40 元的价格购进一种干果，计划以每千克 60 元的 价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 y（千克）与每千克降 价 x（元） （0x20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价 9 元 【解析】 （1）设一次函数解析

20、式为：ykx+b 当 x2，y120；当 x4，y140； ， 解得：， y 与 x 之间的函数关系式为 y10x+100； （2）由题意得： （6040x） （10 x+100）2090， 整理得：x210x+90， 解得：x11x29， 让顾客得到更大的实惠， x9， 答：商贸公司要想获利 2090 元，则这种干果每千克应降价 9 元 点睛:本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用；由题意列出方程组或方程是解题的关键 1 （2019滨州）用配方法解一元二次方程 x24x+10 时，下列变形正确的是（ ） A （x2）21 B （x2）25 C （x+2）23 D （x2）23 【答案】

21、D 【解析】x24x+10， x24x1， x24x+41+4， （x2）23， 故选：D 点睛:本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键 2 （2019营口）若关于 x 的方程 kx2x0 有实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） Ak0 Bk且 k0 Ck Dk 【答案】C 【解析】当 k0 时，1+4k1+3k0， k， k且 k0， 当 k0 时， 此时方程为x0，满足题意， 故选：C 点睛:本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解根的判别式，本题属于基础题型 3 （2019丹东）等腰三角形一边长为 2，它的另外两条边的长度是关于 x 的一元二次方程 x26x+k0 的 两

22、个实数根，则 k 的值是（ ） A8 B9 C8 或 9 D12 【答案】B 【解析】当等腰三角形的底边为 2 时， 此时关于 x 的一元二次方程 x26x+k0 的有两个相等实数根， 364k0， k9， 此时两腰长为 3， 2+33， k9 满足题意， 当等腰三角形的腰长为 2 时， 此时 x2 是方程 x26x+k0 的其中一根， 412+k0， k8， 此时另外一根为：x4， 2+24， 不能组成三角形， 综上所述，k9， 故选：B 点睛:本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，本题 属于中等题型 4 （2019包头）已知等腰三角形的三边长分别

23、为 a、b、4，且 a、b 是关于 x 的一元二次方程 x212x+m+2 0 的两根，则 m 的值是（ ） A34 B30 C30 或 34 D30 或 36 【答案】A 【解析】当 a4 时，b8， a、b 是关于 x 的一元二次方程 x212x+m+20 的两根， 4+b12， b8 不符合； 当 b4 时，a8， a、b 是关于 x 的一元二次方程 x212x+m+20 的两根， 4+a12， a8 不符合； 当 ab 时， a、b 是关于 x 的一元二次方程 x212x+m+20 的两根， 122a2b， ab6， m+236， m34； 故选：A 点睛:本题考查一元二次方程根与系数

24、的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三 角形三边关系进行解题是关键 5（2019荆州） 若一次函数ykx+b的图象不经过第二象限， 则关于x的方程x2+kx+b0的根的情况是 （ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法确定 【答案】A 【解析】一次函数 ykx+b 的图象不经过第二象限， k0，b0， k24b0， 方程有两个不相等的实数根 故选：A 点睛:本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当 0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数 根也

25、考查了一次函数的性质 6 （2019遵义）一元二次方程 x23x+10 的两个根为 x1，x2，则 x12+3x2+x1x22 的值是（ ） A10 B9 C8 D7 【答案】D 【解析】x1为一元二次方程 x23x+10 的根， x123x1+10， x123x11， x12+3x2+x1x223x11+3x2+x1x223（x1+x2）+x1x23， 根据题意得 x1+x23，x1x21， x12+3x2+x1x2233+137 故选：D 点睛:本题考查了根与系数的关系： 若 x1， x2是一元二次方程 ax2+bx+c0 （a0） 的两根时， x1+x2， x1x2 7 （2019鸡西）

26、某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每 个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 43，则这种植物每个支干长出的小分支 个数是（ ） A4 B5 C6 D7 【答案】C 【解析】设这种植物每个支干长出 x 个小分支， 依题意，得：1+x+x243， 解得：x17（舍去） ，x26 故选：C 点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 8 （2019朝阳）一元二次方程 x2x10 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法判断 【答案】A 【解析】（1）24

27、（1）50， 方程有两个不相等的两个实数根 故选：A 点睛:本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当 0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方 程无实数根 9 （2019湘潭）已知关于 x 的一元二次方程 x24x+c0 有两个相等的实数根，则 c（ ） A4 B2 C1 D4 【答案】A 【解析】方程 x24x+c0 有两个相等的实数根， （4）241c164c0， 解得：c4 故选：A 点睛:本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于 c 的一元

28、一次方程是解题的关键 10 （2019资阳）a 是方程 2x2x+4 的一个根，则代数式 4a22a 的值是 【答案】8 【解析】a 是方程 2x2x+4 的一个根， 2a2a4， 4a22a2（2a2a）248 故答案为：8 点睛:此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键 11.（2019济宁）已知 x1 是方程 x2+bx20 的一个根，则方程的另一个根是 【答案】2 【解析】x1 是方程 x2+bx20 的一个根， x1x22， 1x22， 则方程的另一个根是：2， 故答案为2 点睛:此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键 12

29、（2019抚顺）若关于 x 的一元二次方程 kx2+2x+10 有实数根，则 k 的取值范围是 【答案】k0 且 k1 【解析】由题意可知：44k0， k1， k0， k0 且 k1， 故答案为：k0 且 k1； 点睛:本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型 13 （2019青海） 某种药品原价每盒 60 元， 由于医疗政策改革， 价格经过两次下调后现在售价每盒 48.6 元， 则平均每次下调的百分率为 【答案】10% 【解析】设平均每次降价的百分比是 x，根据题意得： 60（1x）248.6， 解得：x10.110%，x21.9（不合题意，舍去） ， 答：平均每

30、次降价的百分比是 10%； 故答案为：10% 点睛:本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过 两次变化后的数量关系为 a（1x）2b 14某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入 5 亿元资金，并计划 投入资金逐年增长，明年将投入 7.2 亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率 为 【答案】20% 【解析】设这两年中投入资金的平均年增长率是 x，由题意得： 5（1+x）27.2， 解得：x10.220%，x22.2（不合题意舍去） 答：这两年中投入资金的平均年增长率约是 20% 故答案是：2

31、0% 点睛:本题考查了一元二次方程中增长率的知识增长前的量（1+年平均增长率） 年数增长后的量 15 （2019呼和浩特）用配方法求一元二次方程（2x+3） （x6）16 的实数根 【答案】x1，x2 【解析】原方程化为一般形式为 2x29x340， x2x17， x2x17， （x）2， x， 所以 x1，x2 点睛:本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法， 因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法 16 （2019孝感）已知关于 x 的一元二次方程 x22（a1）x+a2a20 有两个不相等的实数根 x1，x2 （1）若 a 为正整数，求

32、a 的值； （2）若 x1，x2满足 x12+x22x1x216，求 a 的值 【解析】 （1）关于 x 的一元二次方程 x22（a1）x+a2a20 有两个不相等的实数根， 2（a1）24（a2a2）0， 解得：a3， a 为正整数， a1，2； （2）x1+x22（a1） ，x1x2a2a2， x12+x22x1x216， （x1+x2）23x1x216， 2（a1）23（a2a2）16， 解得：a11，a26， a3， a1 点睛:本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出 a 的取值范围，再由根与系数 的关系得出方程组是解答此题的关键 17（2019贵港）为了满足师生

33、的阅读需求，某校图书馆的藏书从 2016 年底到 2018 年底两年内由 5 万册增 加到 7.2 万册 （1）求这两年藏书的年均增长率； （2） 经统计知： 中外古典名著的册数在 2016 年底仅占当时藏书总量的 5.6%， 在这两年新增加的图书中， 中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率， 那么到 2018 年底中外古典名著的册数占 藏书总量的百分之几？ 【解析】 （1）设这两年藏书的年均增长率是 x， 5（1+x）27.2， 解得，x10.2，x22.2（舍去） ， 答：这两年藏书的年均增长率是 20%； （2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.25）20%0.

34、44（万册） ， 到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：100%10%， 答：到 2018 年底中外古典名著的册数占藏书总量的 10% 点睛:本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解 答，这是一道典型的增长率问题 18 （2019南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造如图，原广场长 50m，宽 40m，要求扩充后的矩形 广场长与宽的比为 3：2扩充区域的扩建费用每平方米 30 元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖， 铺设地砖费用每平方米 100 元如果计划总费用 642000 元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？ 【解析】设扩

35、充后广场的长为 3xm，宽为 2xm， 依题意得：3x2x100+30（3x2x5040）642000 解得 x130，x230（舍去） 所以 3x90，2x60， 答：扩充后广场的长为 90m，宽为 60m 点睛:题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，总价单价数量的运用，解答时找准题目中的数量 关系是关键 19 （2019长沙）近日，长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见 ，鼓励教师参与志 愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课 受益学生 2 万人次，第三批公益课受益学生 2.42 万人次 （1）如果第二批，第三批公益课受益

36、学生人次的增长率相同，求这个增长率； （2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？ 【解析】 （1）设增长率为 x，根据题意，得 2（1+x）22.42， 解得 x12.1（舍去） ，x20.110% 答：增长率为 10% （2）2.42（1+0.1）2.662（万人） 答：第四批公益课受益学生将达到 2.662 万人次 点睛:本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适 的等量关系，列出方程，再求解 20 （2019衡阳）关于 x 的一元二次方程 x23x+k0 有实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）如果 k 是符合条件的最

37、大整数，且一元二次方程（m1）x2+x+m30 与方程 x23x+k0 有一 个相同的根，求此时 m 的值 【解析】 （1）根据题意得（3）24k0， 解得 k； （2）k 的最大整数为 2， 方程 x23x+k0 变形为 x23x+20，解得 x11，x22， 一元二次方程（m1）x2+x+m30 与方程 x23x+k0 有一个相同的根， 当 x1 时，m1+1+m30，解得 m； 当 x2 时，4（m1）+2+m30，解得 m1， 而 m10， m 的值为 点睛:本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当 0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数 根