2020届高考强基3套卷全国卷（二）数学（文科）试题（2020.4） PDF版含答案.pdf

1、数学全国卷（二）第 1 页（共 4 页）数学全国卷（二）第 2 页（共 4 页） 2020 届高考强基届高考强基3 套卷套卷 全国卷（全国卷（二二） 数学（文科）数学（文科） 【满分：150分】 一、选择题：一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合1 2 3 4 5A ， |3Bx x，则()AB R C（） A.4 5 ，B.3 4 5 ，C.1 2 3 ，D.1 2 ， 2.已知复数z为纯虚数，且|1 1 i z ，则z （） A.2iB.2iC.2iD.i 3.某校有文科教师120名，理科教师150名，其性别比例如

2、图所示，则该校女教师的人数为（） A.96B.126C.144D.174 4.已知 1 5 3a ， 2 3 1 log 7 b ， 2 3 log 4 c ，则（） A.cabB.abcC.cbaD.bca 5.函数 ln | ( ) | xx f x x 的大致图象为（） AB CD 6.设实数x y ，满足 220 320 340 xy xy xy ，则xy的最大值是（） A.4B.2C.0D.2 7.已知AB CD， 是圆锥SO底面圆的两条相互垂直的直径，SAAC，四棱锥SADBC的侧面积为4 3，则圆锥的体积为 （） A. 2 2 3 B. 2 3 3 C. 4 3 D. 4 2 3

3、 8.已知ABC中，点D E， 分别在边AB BC， 上，且2ADDB，2BEEC.记aAB ，bCA ，则DE （） A. 12 33 abB. 12 33 abC. 4 3 ab D. 4 3 ab 9.已知函数( )cos(2)f xx，将函数( )f x的图象向右平移 3 个单位后与函数 ( )sin(2) 3 g xx的图象重合，则的值可以是 （） A. 6 B. 4 C. 3 D. 12 10.已知抛物线 2 2(0)Cypx p：的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作AAl ，垂足为 A . 若四边形AAPF的面积为14，且 3 cos 5 FAA，

4、则抛物线C的方程为 （） A. 2 yxB. 2 2yxC. 2 4yxD. 2 8yx 11.如图，平面四边形ABCD中，E F， 是AD BD， 的中点，2ABADCD，2 2BD ，90BDC，将ABD沿对角 线BD折起至A BD，使平面ABD平面BCD，则四面体A BCD中，下列结论不正确的是（） A.EF平面A BC B.异面直线CD与A B所成的角为90 C.异面直线EF与AC所成的角为60 D.直线AC与平面BCD所成的角为30 12.已知函数( )yf x是定义域为R的偶函数，当0x 时， 2 21 01 ( ) 261 x x f x xxx ， ， .若关于x的方程 2 (

5、 )( )0f xaf xb ()a b，R 有且仅有8个不同的实数根，则实数a的取值范围为（） A.(4 9) ，B.()94 ，C.4 9 ，D.94 ， 二、填空题：二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.命题“ 2 210xxax R ，”是假命题，则实数a的取值范围是. 14.已知数列 n a的通项公式为2n n a ，记数列 n n a b的前n项和为 n S.若 1 2 1 2 n n S n ，则数列 n b的通项公式为 n b . 15.已知直线3yx为曲线( ) x f xae的一条切线，则实数a的值为. 16.已知双曲线 22 22 1()00 xy Ea

6、b ab ： ，的左、右焦点分别为 12 FF ，过点 1 F的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A B，两 点.若 2 ABF的内切圆与边 22 AB BFAF ，分别相切于点MN P ， ，且AP的长为4，则a的值为. 三三、解答题解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选 考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（一）必考题：共60分. 17.（12分）已知ABC中，角A B C， ， 的对边分别是a b c， ，向量3co(ss)inacACm， ，si()nbBn， 满足mn. （1）求角A； （2）若A

7、BC的面积为4 3，5a ，求ABC的周长. 18.（12分） 随着国家二胎政策的全面开放， 为了了解一线城市与非一线城市的育龄女性对于二胎的生育意愿， 某机构从不同地区调查 了200位育龄女性，所得数据如下表： 非一线城市一线城市总计 有生育意愿7545120 无生育意愿255580 总计100100200 （1）能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”？ （2）利用分层抽样的方法从非一线城市的育龄女性中任选4人进行座谈，现从参加座谈的女性中任选2人，求选出的2人中恰有 1人愿意生育二胎的概率. 学校：学校：班级班级：姓名姓名：考号考号： _装装_订订_线线_

8、数学全国卷（二）第 3 页（共 4 页）数学全国卷（二）第 4 页（共 4 页） 附： 2 2 ()()()() ()n adbc K ab cdac bd ，nabcd. 2 0 ()P Kk 0.0500.0100.001 0 k3.8416.63510.828 19.（12分）如图，已知三棱柱 111 ABCA BC中， 1 4ACAA，2BC ，90ACB， 11 ABAC. （1）求证：平面 11 A ACC 平面ABC； （2）若 1 60A ACP ，为线段AB的中点，求三棱锥 11 BPAC的体积. 20.（12分）已知函数 1 ( )ln x f xx a . （1）当1a

9、时，求( )f x的最大值； （2）若( )f x在区间(2)e ，上存在零点，求实数a的取值范围. 21.（12分）已知中心在原点O，左、右焦点分别为 12 FF，的椭圆的离心率为 6 3 ，焦距为2 2，A B， 是椭圆上两点. （1）若直线AB与以原点为圆心的圆相切，且OAOB，求此圆的方程； （2）动点P满足：3OPOAOB ，直线OA与OB的斜率的乘积为 1 3 ，求动点P的轨迹方程. （二）选考题：（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4 4：坐标系与参数方程（10分） 在极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos4，

10、曲线C 的极坐标方程为2cos2sin，以极点为坐标原点O，极轴为 x轴的正半轴建立直角坐标系，射线0()01lykx xk： ，与曲线C交于O M， 两点. （1）写出直线l的直角坐标方程以及曲线C的参数方程； （2）若射线 l 与直线l交于点N，求| | | OM ON 的取值范围. 23.选修4 5：不等式选讲（10分） 已知函数()( )|32 | 22|f xxaxa R. （1）当 1 2 a 时，解不等式( )6f x ； （2）若对任意 0 Rx ，不等式 000 ()34 | 22|f xxx 恒成立，求a的取值范围. 学校：学校：班级班级：姓名姓名：考号考号： _装装_订订

11、_线线_ 参考答案 1 2020 届高考强基届高考强基 3 套卷套卷 全国卷（全国卷（二二） 数学（文科）答案及解析数学（文科）答案及解析 一、选择题一、选择题 1. 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 |3Bx x R C，故()3 4 5AB R ，C.故选 B. 2. 【答案】【答案】B 【解析】【解析】解法一：|1 1i z ，|1i|2z，又复数 z 为纯虚数，2iz .故选 B. 解法二：设izb， bR，|1 1i z ，即 | 1 2 b ，|2b， 2b .故选 B. 3. 【答案】【答案】C 【解析【解析】该校文科女教师的人数为120 0.784，理科女教师 的人数为15

12、0 0.460，所以该校女教师的人数为144.故选C. 4. 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 1 0 5 0331a ， 22 33 12 loglog1 73 b ， 22 3 loglog 10 4 c ，cab .故选 A. 5. 【答案】【答案】A 【解析】【解析】 ln0ln| ( ) ln()0| x xxx f x xxx ， ， 是奇函数，且 当1x 时， 0fx .故选 A. 6. 【答案】【答案】B 【解析】【解析】作出不等式组 220 320 340 xy xy xy 表示的平面区域，如 图中阴影部分(含边界).令zxy，则yxz.作出直线 0 lyx：， 并平移该

13、直线.由图可知， 当直线yxz经过点 M 时，其在 y 轴上的截距最小， 此时zxy取得最大值. 由 320 220 xy xy ，得 0 2 x y ， max 0( 2)2z .故选 B. 7. 【答案】【答案】A 【解析【解析】 设圆锥的底面半径为 r， 则2SAACr， 2 3 4( 2 )4 3 4 r ，解得2r ， 圆锥的母线2SA，高2SO ，则圆锥体积 1 3 V 2 2 2 ( 2)2 3 .故选 A. 8. 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由题意可得， 21 33 abDEDAACCECB 21 () 33 CAAB ab 21 () 33 abba 12 33 ab

14、 .故 选 A. 9. 【答案】【答案】A 【解析】【解析】依题意， 2 ( )cos(2)cos(2) 36 g xxx 2 sin(2) 6 x，故 2 ) 63 (Zkk，则 6 (2)kkZ.故选 A. 10.【答案】【答案】C 【解析】【解析】作出图形如下所示，过点F 作FFAA，垂足为 F . 设|3AFx ， 3 cos 5 FAA ，故|5AFx，|4FFx ， 由抛物线定义可知，|5AFAAx，则|2AFxp ， 故 2 p x .四边形AAPF 的面积 (|) | 2 PFAAPA S 5 () 2 2 14 2 ppp ，解得2p ，故抛物线 C 的方程为 2 4yx.故

15、选 C. 11.【答案】【答案】C 【解析】【解析】 E F ，分别为AD和BD的中点， EFA B，则 EF平面ABC，故 A 中结论正确；平面ABD平面 BCD，交线为BD，且CDBD，CD平面ABD，则 CDAB，故B中结论正确；取CD中点M，连接EMFM ，则 EMA C，FEM为异面直线EF与AC所成的角，又 由1EF ，2EM ，3FM ，可知90FEM，故 C 中 结论错误；连接AF，可得AFBD，由面面垂直的性质 定理可得，AF平面BCD，连接CF，可得ACF为直线 AC与平面BCD所成的角，由 21 sin 22 2 AF ACF AC ， 得直线AC与平面BCD所成的角为

16、30，故 D 中结论正确.故 选 C. 12.【答案】【答案】B 【解析【解析】作出函数( )f x的大致图象，如图.由图可知，( )f x在 1() ，和(0 1) ，上单调递增，在()1 0 ，和(1) ， 上单调 递减.当1x 时，函数( )f x有极大值(1)( 1)3ff，当 0x 时，函数( )f x有极小值(0)2f.要使关于x的方程 2 ( )f x ( )0af xb有且仅有8个不同的实数根，设( )tf x，则关于 t的方程 2 0tatb有两个不同的实数根 12 tt， ，满足 1 2 3()t ， ， 2 3()2t ， 12 ()4 9att ，)94(a ，.故选

17、B. 二、填空题二、填空题 13.【答案】【答案】 (11)， + + 【解析】【解析】命题“ 2 210xxax R ，”是假命题，原 命题的否定“ 2 210xxax ，R ”为真命题， 2 440a ，解得1a或1a .实数 a 的取值范围为 (11)U ，. 14.【答案】【答案】n 【解析】【解析】 1 2 1 2 n n S n ， 1 (1) 22 n n Sn .当2n 时， 1 (2) 22 n n Sn ，两式相减，得2n nn a bn ， n bn； 当1n 时， 1 1 2ab ， 1 1b .综上所述， n bn. 15.【答案】【答案】 2 e 【解析】【解析】设

18、曲线( ) x f xae在点 0 0 () x xae， 处的切线为直线y 3x .由题意，得( ) x fxae， 0 0 () x fxae，则曲线( )f x 在点 0 0 () x xae ，处的切线方程为 00 0 () xx yaeaexx.曲线 ( )f x在点 0 0 () x xae ，处的切线为直线3yx， 0 1 x ae， 0 1 1 ()yxx ，即 0 1yxx， 0 13x ，解得 0 2x . 0 2 1 x aeae，解得 2 ae. 16.【答案】【答案】2 【解析】【解析】由题意知|BMBN， 22 |F PF N， |AMAP. 根据双曲线的定义，知

19、1212 |BFBFMFNF， 21 |2AFAFa，则 12 | 2AFAFa， 12 |BFBF 12 |MAAFNF 22 | 2|MAAPPFaNF 822aa ，所以2a . 三、解答题三、解答题 参考答案 2 17.【解析【解析】 （1）由mn得()sin( 3cossin)acBbAC， .2 分 结合正弦定理得(sinsin)sinsinsin3sincosACBBCBA .4 分 0 ()B ，sin0B，tan3A. 0 ()A ， 3 A.6 分 （2）ABC的面积为4 3， 1 sin4 3 2 bcA. 由（1）知 3 A ，16bc8 分 由余弦定理得 222 2c

20、osabcbcA 22 bcbc 2 ()3bcbc 2 ()4825bc.10 分 73bc .ABC 的周长为57312 分 18.【解析【解析】 （1）由题意得 2 2 200 (75 5525 45) 18.75 120 80 100 100 K 10.828，.3 分 所以能在犯错误的概率不超过 0.1的前提下，认为“生育意 愿与城市级别有关”6 分 （2）由题意知，非一线城市中有生育意愿的育龄女性与无生 育意愿的育龄女性的人数之比为3 1，所以选取的 4 人中， 有生育意愿的有 3 人，分别记为a b c ，无生育意愿的有 1 人，记为 d. 从 4 人中任选 2 人的选法有()

21、() ()a ba ca d， ， ， ， ， ， ()b c， ， () ()b dc d， ， ， ，共 6 种. 其中选出的 2 人中恰有 1 人愿意生育二胎的选法为()a d， ， () ()b dc d， ， ， ，共 3 种.10 分 选出的 2 人中恰有 1 人愿意生育二胎的概率 31 62 p . .12 分 19.【解析【解析】 （1）证明：连接 1 AC， 1111 ACACAACC， 四边形 11 AACC是菱形， 11 ACAC.2 分 又 11 ABAC， 111 ABACA， 1 AC平面 1 ABC， 1 BCAC. 90ACB，ACBC.4 分 又 1 ACAC

22、A，BC平面 11 AACC， BC 平面ABC，平面 11 A ACC 平面ABC6 分 （2）过 1 A作 1 ADAC，交AC于点 D， 可得 111 sin2 3A DAAA AC. 11 1 8 3 ACC A SACAD 菱菱形形 ， 则 1111 1 4 3 2 菱菱形形AA CACC A SS 8 分 1111 B PA CAPBC VV 11 1 2 AABC V 1111 111 223 BAA CAA C VSBC 4 3 3 .10 分 故三棱锥 11 BPAC的体积为 4 3 3 12 分 20.【解析【解析】（1） 当1a 时，( )ln1f xxx， 定义域为(0

23、) ， ， 则( )1 1 x fx 2 分 令( )0fx，得1x . 当1()0x ，时，( )0fx ，( )f x单调递增； 当)1 (x ， 时，( )0fx，( )f x单调递减4 分 max ( )(1)0f xf.5 分 （2）由题意知，方程 1 ( )ln0 x f xx a 在(2) e ，上有实根. .6 分 ln0x ，方程可转化为 1 ln x a x . 设 1 ( ) ln x g x x ，则 2 1 ln(1) ( ) (ln ) xx x g x x 2 1 ln1 (ln ) x x x . .8 分 设 1 ( )ln1h xx x ，则 2 11 (

24、)h x xx . 当2xe时，( )0h x，( )h x在(2)e ，上单调递增. 1 ( )(2)ln20 2 h xh，于是( )0g x ， ( )g x在(2) e ，上单调递增.10 分 (2)( )( )gg xg e，即 1 ( )1 ln2 g xe. 综上所述，实数 a 的取值范围是 1 1 ln2 ()e ，12 分 21.【解析【解析】 （1）设椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 由已知得 222 6 3 22 2 c a c bac ， 3 1 2 a b c ， 椭圆方程为 2 2 1 3 x y.2 分 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方

25、程为ykxm. 11 ()xyA ， 22 ()B xy ， 代入椭圆方程得 222 1363(1)0(kkmxxm， 12 2 6 13 km xx k ， 2 1 2 2 3(1) 13 m x x k .4 分 OAOB，0OA OB ， 即 1 2 2 1 2121 2121 ()()(1)(x xy yx xkxm kx xxmkkm x 2 2) xm 2 2 2 2 2 ( 3(1)6 0 131 1 3 ) mkm kmm kk k ， 化简得 22 4330mk.5 分 直线AB与以原点为圆心的圆相切， 圆半径 2 | 1 m r k ，则 2 2 2 3 14 m r k

26、， 圆的方程为 22 3 4 xy.6 分 当直线AB的斜率不存在时，易知直线AB的方程为 3 2 x ，此时，圆的方程为 22 3 4 xy. 综上，所求圆的方程为 22 3 4 xy.8 分 （2）设()P x y ，由3OPOAOB 得 12 12 3 3 xxx yyy ， 又直线OA与OB的斜率之积为 1 3 ， 12 12 1 3 y y x x ，即 1 212 30x xy y. A B ，两点在椭圆上， 2 2 1 1 1 3 x y， 2 2 2 2 1 3 x y， 联立得 12 12 1212 22 11 22 22 3 3 30 33 33 xxx yyy x xy

27、y xy xy ，消去 1122 xyxy ， ， ， 得 22 330xy10 分 当OA斜率不存在时， 1 0x ，得 1 1y ， 2 0y ， 2 3x ， 此时3 3x ，同理，OB斜率不存在时，3 3x ， P点的轨迹方程为 22 3303)3(xyx 12 分 参考答案 3 22.【解析【解析】 （1）依题意，直线l的直角坐标方程为4x . .2 分 曲线 2 2 cos2 sinC：，故 22 220xyxy， 故 22 (1)(1)2xy， 故曲线 C 的参数方程为 12cos 12sin x y ，（为参数）. .5 分 （2）设 1 ()M ， 2 ()N ，则 1 2c

28、os2sin， 2 4 cos . 1 2 |(2cos2sin)cos |4 OM ON 2 sincoscos 2 11 (sin 2cos2 ) 44 21 sin(2) 444 ，.7 分 01k，故 0 4 ， 3 2 444 ， 2 sin(2)1 24 .9 分 12112 sin(2) 24444 ， 故 | | OM ON 的取值范围是( 1 12 24 ， .10 分 23.【解析【解析】 （1）当 1 2 a 时，不等式( )6f x 可化为 |31|22|6xx，.1 分 当 1 3 x 时，不等式即为1 3226xx， 3 5 x ； 当 1 1 3 x时，不等式即为31 226xx ，无解； 当1x 时，不等式即为31 226xx ， 9 5 x. 综上所述，不等式的解集为 39 | 5 5 x xx 或.5 分 （2）不等式 000 ()34 |22|f xxx 恒成立可化为 00 |32 | 34xax恒成立，.6 分 令( )|32 | 3g xxax 2 62 3 2 2 3 a xa x a a x ， ， ， 函数( )g x的最小值为2a，.9 分 根据题意可得24a ，即2a ， a的取值范围为(2) ， 10 分