第一章-距离空间课件.ppt
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- 第一章 距离 空间 课件
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1、第第1章章距离空间与拓扑空间距离空间与拓扑空间1.11.2 1.3 1.4 1.5 定义和举例定义和举例收敛概念收敛概念稠密性与完备性稠密性与完备性可分性与列紧性可分性与列紧性连续映射连续映射在数学分析中在数学分析中 研究对象研究对象函数函数 基本工具基本工具极限,是分析理论的基础极限,是分析理论的基础 定义极限的基础定义极限的基础距离距离 在泛函分析中将上述内容推广在泛函分析中将上述内容推广 研究对象研究对象算子、泛函算子、泛函(空间到空间的映射)(空间到空间的映射)首先引入度量工具首先引入度量工具距离距离 然后在度量空间中然后在度量空间中定义极限,建立相应的理定义极限,建立相应的理论,进一
2、步对每一个具体空间引入相应的结论。论,进一步对每一个具体空间引入相应的结论。1.1 定义和举例定义和举例1)定义(距离空间)定义(距离空间)设设X是非空集合,若是非空集合,若?x,y?X?(x,y)?0 0,且满足(,且满足(距离公理距离公理)按一定按一定规则规则(1)非负性)非负性?(x,y)?0,0,当且仅当当且仅当x?y 时时,?(x,y)?0 0(2)对称性)对称性?(x,y)?(y,x)(3)三角不等式)三角不等式?x,y,z?X,有有?(x,y)?(x,z)?(z,y)则称实数则称实数?(x,y)为元素为元素x与与y之间的距离,称之间的距离,称X为距为距离空间或度量空间,离空间或度
3、量空间,记作记作(X,?)或或 X。距离空间中的元。距离空间中的元素也称为素也称为“点点”,用,用“”表示。表示。距离距离?(?,?)是集合是集合 XX(称为乘积空间或笛卡尔(称为乘积空间或笛卡尔积空间)到实数集合积空间)到实数集合 R 上的二元泛函(或称函数)上的二元泛函(或称函数)。2)举例)举例 例例 1 设设 R 是非空实数集合,是非空实数集合,?x,y?R,111 若定义若定义?(x,y)?x?y,验证知三条距离公理成立,则验证知三条距离公理成立,则 R 按定义按定义?为距为距1离空间,即通常意义下的距离空间,常称欧氏空间。离空间,即通常意义下的距离空间,常称欧氏空间。?(x,y)?
4、1 若定义若定义1x?y验证知三条距离公理验证知三条距离公理1?x?y,成立,所以,成立,所以,R 按定义按定义?1也是距离空间也是距离空间 2 若定义若定义?2(x,y)?x?y?,验证不满足第三条公理,所以验证不满足第三条公理,所以R 按定义按定义?2不是不是 1距离空间距离空间 可见,可见,同一空间可以定义不同的距离,同一空间可以定义不同的距离,从而形成不从而形成不同的距离空间。同的距离空间。例例 2 设设 R 是是 n 维向量全体构成的空间,维向量全体构成的空间,n?x?(x1,x2,L,xn),y?(y1,y2,L,yn)?R?(x,y)?定义定义n n?(x?y)iii?1n2 证
5、明:证明:R 在在?下为距离空间,下为距离空间,即通常意义下的欧氏空间。即通常意义下的欧氏空间。Rn,?x?(x1,x2,L,xn),y?(y1,y2,L?3(x,y)max1?i?nxi?yi,?4(x,y)min1?i?nxi?yi?4(x,y)能否定义能否定义Rn上的距离?上的距离?yn)?Rn,思考:思考:特别的,当特别的,当 n=1 时,时,?(x,y)?x?y,当当 n=2 时,时,?(x,y)?(x1?y1)?(x2?y2)22如果在如果在 R 中,定义中,定义d(x,y)?x1?y1?x2?y2,2验证得知验证得知 R 按按d也是距离空间,但与欧氏空间是不同也是距离空间,但与欧
6、氏空间是不同2的度量空间。的度量空间。例例3 设设Ca,b表示定义在表示定义在a,b上的所有连续函数的上的所有连续函数的全体。全体。?x(t),y(t)?Ca,b,定义,定义?(x,y)?max x(t)?y(t)t?a,b则则Ca,b是距离空间。是距离空间。例例4 设设L a,b(p?1)表示表示a,b上上p方可积的所有函数的方可积的所有函数的?p全体,即全体,即L a,b?x(t)?pp?ba?x(t)dt?。?p?x(t),y(t)?L,定义定义?(x,y)?bax(t)?y(t)dtp?1/p 则则L a,b是距离空间,常称为是距离空间,常称为2pp方可积的空间。方可积的空间。特别的,
7、当特别的,当p=2 时,时,L a,b称为平方可积的空间。称为平方可积的空间。例例 5 设设l(P?1)是所有是所有p方可和的数列所成的集合,方可和的数列所成的集合,p即即?x?xi 满足满足?xi?,i?1?p?pxi?yi?对于对于?x?xi,y?yi?l,定义定义?(x,y)?i?1?p1/p?,则则l是距离空间,常称为是距离空间,常称为p方可和的空间。方可和的空间。p特别的,当特别的,当p=2,l称为平方可和距离空间。称为平方可和距离空间。2Remarks:对对不同的对象(集合)不同的对象(集合),应根据对象的性质定义适当,应根据对象的性质定义适当的、有意义的距离。的、有意义的距离。对
8、对同一个集合定义不同的距离,构成不同的距离空同一个集合定义不同的距离,构成不同的距离空间。间。1.2 收敛概念收敛概念1)定义定义(收敛点列)(收敛点列)设设X是一个距离空间,是一个距离空间,中点列,中点列,x?X。若。若?0,?N,当当n?N时时,?(xn,x)?(即(即n?时时,?(xn,x)?0)则称点列则称点列x n在在X中按距离中按距离?收敛于收敛于x,记作,记作limn?xn?x或或xn?x(n?)此时,称此时,称x n为收敛点列,为收敛点列,x为为x n的极限点。的极限点。x n是是X 定理定理 1(极限唯一性)(极限唯一性)在距离空间在距离空间X中,收敛点列中,收敛点列 x n
9、的极限是唯一的。的极限是唯一的。定理定理 2(极限存在的有界性)(极限存在的有界性)在距离空间在距离空间X中的收敛中的收敛点列点列x n必有界。必有界。即即?x0?X,及实数及实数r?0,使得使得?xn,都有都有?(xn,x0)?r 定理定理 3(距离的连续性)(距离的连续性)在距离空间在距离空间X中,中,距离距离?(x,y)是两个变元是两个变元x,y的连续泛函。即当的连续泛函。即当xn?x0,yn?y0时时?(xn,yn)?(x0,y0)(n?)2)柯西点列(柯西点列(Cauchy)定义定义 设设x n是距离空间是距离空间X中的一个点列,若中的一个点列,若?0,?N,当当n,m?N时时,?(
10、xn,xm)?(即(即n,m?时,时,?(xn,xm)?0)则称则称x n为为基本点列基本点列或或Cauchy点列点列。11例如在例如在 R 中,点列中,点列xn?n,是,是 Cauchy 列,也是收敛列,也是收敛点列。点列。注:注:R 中有结论中有结论:x n是收敛数列是收敛数列?x n是是 Cauchy 数列数列。1但在一般的距离空间中,该结论不成立但在一般的距离空间中,该结论不成立。(X,?)定理定理 若若x n是是中的收敛点列,则中的收敛点列,则x n一定是一定是Cauchy 点列;反之,点列;反之,Cauchy 点列不一定是收敛点列点列不一定是收敛点列证明:设证明:设n?时时,?(x
11、n,x)?0,Q?(xn,xm)?(xn,x)?(xm,x)则则n,m?时时,?(xn,xm)?0。例例 1 在有理数空间在有理数空间 Q 中,点列中,点列 1,1.4,1.41,1.414,1.4142,?2?Q 是是 Q 中的中的 Cauchy 点列,但不是收敛点列;点列,但不是收敛点列;同理,点列同理,点列x(1?1nn?n)是是 Q Q 中的中的 Cauchy 点列,但点列,但不是收敛点列。不是收敛点列。例例 2,设空间,设空间X=(0,1),则点列,则点列x1n?n?1?X按定义按定义?(x,y)?x?y是是X中的中的 Cauchy 列,但在列,但在X中不收中不收敛(极限值敛(极限值
12、0?(0,1))。3)距离空间中的开集与闭集)距离空间中的开集与闭集(将实数集中概念推广)(将实数集中概念推广)邻域:邻域:设设A A是一个距离空间,是一个距离空间,x?A,?0,则子集,则子集 O(x,?)?y?(x,y)?,y?A 称称为为x的的?邻邻域域 内点、开集内点、开集:设:设x?A,若存在,若存在O(x,?)?A,称,称x是是A A的的内点。若内点。若A A中所有的点都是内点,则称中所有的点都是内点,则称 A A 是开集。是开集。闭集闭集:设设E E是一个集合,是一个集合,A?E,若若A A的补集的补集A?E?A 为开集,则称为开集,则称A A为为E E中的闭集。中的闭集。CE极
13、限点极限点(聚点)(聚点)、导集导集:设设E E是一个集合,是一个集合,A?E,x0?E,若在若在?O(x0,?)内都含有属于内都含有属于A A而异于而异于x0的点,则称的点,则称x0为为A A的一个的一个 极限点极限点(或聚点(或聚点)。A A的极限点的全体称的极限点的全体称为为A A的的导集导集。记作。记作A?。闭包闭包:A A的导集与的导集与A A的并集称为的并集称为A A的闭包,的闭包,记作记作A?A?U A。结论结论:闭包一定是闭集。:闭包一定是闭集。A A是闭集是闭集?A?A?A?A 1.3 距离空间的稠密性与完备性距离空间的稠密性与完备性1)完备性)完备性 定义(完备性)定义(完
14、备性)在距离空间在距离空间X中,若中,若X中的任一中的任一Cauchy 点列都在点列都在X中有极限,则称中有极限,则称X是完备的距离是完备的距离空间。空间。结论:结论:在完备的距离空间中,在完备的距离空间中,收敛点列与收敛点列与 Cauchy 是是等价的。等价的。例例 1 R 按欧氏距离是完备的距离空间。按欧氏距离是完备的距离空间。证:证:见参考书见参考书 例例2 有理数空间有理数空间 Q 按欧氏距离是不完备的距离空间。按欧氏距离是不完备的距离空间。n2L例例 3 距离空间距离空间l和和a,b按通常意义下的距离是完备的。按通常意义下的距离是完备的。2x(t)?y(t)是完备的距离空间;是完备的
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