北京市朝阳区2023届高三上学期期末数学试卷+答案.pdf

1、高三数学 参考答案 第 1 页（共 8 页）北京市朝阳区 2022 2023 学年度第一学期期末质量检测 高三数学 参考答案 2023.1 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）（1）B（2）A（3）C（4）D （5）D（6）A（7）B（8）C（9）C （10）B 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（11）24 （12）5n 10（13）34（14）14y=4 （15）三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）（本小题 13 分）解：（）因为sin3 coscBbC=，所以sinsin3sincosCBBC=又因为(0,)B，所以sin0B 所以

2、tan3C=又因为(0,)C，所以3C=（）因为6ab+=，3C=，由余弦定理2222coscababC=+，得 22()22cos3633cabababab=+=因为2()92abab+=，当且仅当3ab=时等号成立，所以29c，解得3c 所以c的最小值为3 高三数学 参考答案 第 2 页（共 8 页）（17）（本小题 13 分）解解：（）设事件1A为“高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”根据题中数据，高三（1）班共训练10次，跳绳个数超过120个的共5次 所以1()P A估计为51102=（）设事件kA为“高三（k）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”，1,2,3,4k=根据题中数据，2

3、()P A估计为2142=，3()P A估计为2142=，4()P A估计为4263=根据题意，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4，且 12341234(0)()()()()()P XP A A A AP A P A P A P A=；1234123412341234(1)()()()()P XP A A A AP A A A AP A A A AP A A A A=+12341234()()()()()()()()P A P A P A P AP A P A P A P A=+12341234()()()()()()()()P A P A P A P AP A P A P A P

4、A+；1234123412341234(3)()()()()P XP A A A AP A A A AP A A A AP A A A A=+12341234()()()()()()()()P A P A P A P AP A P A P A P A=+12341234()()()()()()()()P A P A P A P AP A P A P A P A+；12341234(4)()()()()()P XP A A A AP A P A P A P A=；(2)1(0)(1)(3)(4)P XP XP XP XP X=所以，(0)P X=估计为124；(1)P X=估计为524；(3)P

5、 X=估计为724；(4)P X=估计为112；(2)P X=估计为38 所以EX估计为153715182181301234242482412246+=（）在此次跳长绳比赛中，高三（3）班获得冠军的概率估计值最大 高三数学 参考答案 第 3 页（共 8 页）（18）（本小题 14 分）解：（）取PA的中点K,连接KF,KB.因为K,F分别是PA,PD的中点,所以/KF AD且12KFAD=.又/BE AD且12BEAD=，所以/KF BE且KFBE=.故四边形BEFK为平行四边形.所以/EF BK.又因为EF 平面PAB，BK 平面PAB，所以/EF平面PAB.（）取AD中点O，连接OP,OE

6、.在PAD中，因为PAPD=，所以POAD.又因为平面PAD 平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD=，所以PO 平面ABCD.故OPOA,OPOE.又在正方形ABCD中，OEOA,所以OA,OE,OP两两垂直.如图建立空间直角坐标Oxyz，设(0,0,2)(0)Ptt，则(0,0,0)O,(2,4,0)B,(2,0,0)D,(0,4,0)E,(1,0,)Ft.所以(2,0,0)EB=，(1,4,)EFt=，(2,0,2)DPt=.设平面BEF的法向量为000(,)xyz=n，则 0,0,EBEF=nn即000020,40.xxytz=+=令0yt=，则00 x=,04z=于是(0,4)t

7、=n 又因为平面ABE的一个法向量为(0,0,1)=m，高三数学 参考答案 第 4 页（共 8 页）所以24cos,|16t=+m nm nmn 选择条件：PDEF 则0EF DP=，即2220t+=又0t，所以1t=此时4 17cos,17=m n 由题知二面角FBEA为锐角，所以其余弦值为4 1717 选择条件：23PDEF=则222223 22214tt+=+（）（）（），得21t=此时4 17cos,17=m n 由题知二面角FBEA为锐角，所以其余弦值为4 1717（19）（本小题 15 分）解：解：（）因为AOP面积的最大值为12ab，所以112ab=又因为2a=，222cab=，

8、所以1b=，3c=所以椭圆C的方程为2214xy+=，离心率为32（）当直线PH的斜率不存在时，直线PH的方程为1x=显然APQAEF 因为|3PQ=，所以22 3|233EFPQ=不合题意 当直线PH的斜率存在时，设直线PH的方程为(1)yk x=+由22(1),44yk xxy=+=得2222(14)8(44)0kxk xk+=显然0 高三数学 参考答案 第 5 页（共 8 页）设11(,)P x y，22(,)Q xy，且12x ，则2122814kxxk+=+，21224414kx xk=+直线AP的方程为11(2)2yyxx=令0 x=，得点E的纵坐标1122Eyyx=，则112(0

9、,)2yEx 直线AQ的方程为22(2)2yyxx=同理可得222(0,)2yFx 所以122112121222(2)(2)|2|22(2)(2)yyyxy xEFxxxx=211212(1)(2)(1)(2)2|(2)(2)k xxk xxxx+=1212126|22()4xxkx xxx=+所以1212123|2()4|kxxx xxx=+即2121212123()42()4kxxx xx xxx+=+可得2222222228444483|()4|24|14141414kkkkkkkkk=+化简得22224 31363|1414kkkkk+=+解得66k=所以直线PH的方程为610 xy+

10、=或610 xy+=（20）（本小题 15 分）解：解：（）()f x的定义域为(0,)+由ln()xf xax=得21ln()xfxax=令()0fx=得ex=因为0a，所以当(0,e)x时，()0fx；当(e,)x+时，()0fx 所以()f x的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)+高三数学 参考答案 第 6 页（共 8 页）（）由0a，依题意，2ln0 xaxx+在(0,)x+上恒成立 设2()lng xxaxx=+，则2121()21axxg xaxxx+=+=令()0g x=，得111804axa+=（舍），211804axa+=当2(0,)xx时，()0g x，所以(

11、)g x在2(0,)x上单调递增；当2(,)xx+时，()0g x，所以()g x在2(,)x+上单调递减 故2max2222()()lng xg xxaxx=+又由2()0g x=得22212xax+=所以22222211()lnln22xxg xxxx+=+=+依题意需max()0g x，即221ln02xx+设1()ln2th tt=+，则易知()h t在(0,)+为增函数 又(1)0h=，所以对任意的(0,1t，有()0h t；对任意的(1,)t+，有()0h t 所以201x，即118014aa+，解得1a 所以a的取值范围为1,)+（）由211212lnln0()xxxxxx+=得

12、1212lnln0 xxxx+=，且11x,21x 由（）知，当1a=时，ln1xxx，当且仅当1x=时取等号 所以111ln1xxx，222ln1xxx 两式相加得122112lnln2xxxxxx+，即1220 xx+故122xx+高三数学 参考答案 第 7 页（共 8 页）（21）（本小题 15 分）解：解：（）55a=，66a=，77a=，88a=（）对任意4n，存在1,2,1in，使得nin iaaa=+若4i 或4ni，则ia或n ia又可以写成数列中某两项的和，如1212()iiiaaaiii=+=依此类推，存在12,1,2,3,4kjjj，使得12knjjjaaaa=+，其中1

13、2kjjjn+=所以存在1234,pppp N，使得1 1223344nap ap ap ap a=+，且1234234ppppn+=设44at=，则当4n时，nant 当4n 时，1 12233441234234nap ap ap ap ap tptptpt=+1234(234)pppptnt=+=所以，对任意nN，均有nant，即44naan（）令nnbnta=，其中44at=由（）知0nb，40b=.由4(1)44(1)44(1)(4)ikikikikbbiktaik ta+=+4(1)4444(1)4()0ikikikiktaaaaa+=+=+，得44(1)ikikbb+所以，当1,2

14、,3,4i=时，480iiibbb+.由（）知12341 1223344(234)()nbpppptp ap ap ap a=+11223344()(2)(3)(4)p taptaptapta=+1 1223 344p bp bp bp b=+.高三数学 参考答案 第 8 页（共 8 页）若12340bbbb=，则0nb=此时nant=，当4n 时，44nnaaa=+.若123,bbb不全为0，设123max,Mb bb=，m为123,bbb中最小的正数，则nbM 当某个0ib 时，必有iMpm否则iMpm，则niiMbpbmMm=.设不超过Mm的最大整数为0N，则1 1223 344p bp bp bp b+能表示的不同值的个数不超过40(1)N+所以，对每一个1,2,3,4i=，48,iiib bb+只能取有限多个值.所以存在0kN，当0,pkpN时，4ipb+为常数 令044Nk=+，则当nN时，4nnbb+=，即4(4)nnntanta+=故44nnaaa=+