基本不等式优秀课件2.ppt

1、(0,0)2a babab 今有一台天平，两臂长不等，其余均精确.有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次称量的结果的和的一半就是物体的真实重量，这种说法对吗？并说明你的结论.!ab应是不对学习目标:(1),;(2);,0;(3),0.(4),;(5)0,0(6)0.nnnnab bcacabacbcab cacbcab cacbcab cdacbdabcdacbdababab 复习不等式的有关性质复习不等式的有关性质(1):,0,0()()00.ab bcabbcabbcacac证明证明(2)0()()0()()ababacbcacbc 证证明明:(3):0,0()0

2、0ababcc abacbcacbc证明证明*(3):0,00,0()00ababccabc abacbcacbc 证证明明(4):,0.0()()0()()0ab cdabcdabcdacbdacbd 证证明明0,0(5):0,0abcacbcacbdcdbbcbd 证证明明223300(6):00000nnababababababab 证证明明*(6):,()().,.nnnnnnnnnnnnnnnnababababababababababab 证明 假设或证明 假设或当这与相矛盾当这与相矛盾当当同样与相矛盾同样与相矛盾所以 假设不成立 故所以 假设不成立 故22331.,_111lg()

3、0()()221lglg222.,_(,)(,0.)(,0)(,)22 2.ababExa bRabbababababABCDEFabGHaABCD 设且则正确的是设且则正确的是设-则-的范围是设-则-的范围是222223.23,43,.ababab ababba 设设求求的的范范围围111(3)4334111,2343111122bbabaabb (4)4334,23612126bbaabab 2222(5)43343()4381112332bbbbaaa 222222,_(1),;(2),;(3)0,;(4),;(5)0,;(6)0,;11(7),0,0.a b cRabacbcacbca

4、babaabbababababbaabcabcacbababab 例:若下列例题中正确的是例:若下列例题中正确的是若则若则若则若则若则若则若则若则若则若则若则若则若则若则 均值不等式及其重要变形20a 2()0ab222abab 222|abab2(0)ababba222abab 2()2abab 222()22abab(,0)2a baba b ,!注意：含 是 和积互化注意：含 是 和积互化含是 和和互化含是 和和互化222!1122abababab 注注意意：题题例例222.1.,a b cabcabbcca为实数，证明：222222222222222222222222()()()222

5、.abcabbcacabcabbcacabbcacabcabbcac 444222222:1.,:()Exa b cRabca bb ca cabc abc 已已知知求求证证444222222222222222()()()()()()().abcabca bb ca cabbcacab bcbc acab acabc abc222222222222222222222()2()2(),222(),()222()abababaabbabababbcbcacacabbcacabc同理同理2222222:0,0,0,:2()Exabcabbcacabc 已已知知求求证证3.,1.111:9Exa b

6、cRabcabc 已已知知,且且求求证证,1.11,11,11,a b cRabcabcbcaaaaabcacbabbabcbacccc,且且.,:1(1)2;(2)2.1.()(0).Exa bRababaaf xxxx 4 4 设证明下列不等式设证明下列不等式5 5 求函数的值域求函数的值域 1122(0).()1()2(0)()()(,22,.xxxxxf xxxxf x 二 略解二 略解的值域为的值域为190,0,1,_.xyxyxy 若若且且则则的的最最小小值值为为19()1()()9919102916()xyxyxyxyyxyxxyxyyxxy 当且仅当取当且仅当取P P9191例

7、例2 216()(2),2.f xxxx 已知函数已知函数求此函数的最小值求此函数的最小值2,20,1616(2)222162(2)262162.2xxxxxxxxxx 略解:由基本不等式略解:由基本不等式得得当且仅当时取号当且仅当时取号注意运用算术平均数与几何平均数的大小关系证明不等式，关键是揭示已知条件与目标不等式的运算结构特征，找出差异，并将其与基本不等式的运算结构进行类比，选择相应的基本不等式化异为同转化证明.题题例例12.01.ababab 1 1设设、，求求的的最最小小值值442.01,.ababab 设设、，求求的的最最小小值值212(1)01.121 2122 2(2 2)8a

8、babababa bab 、，、，442222222222442(2)01,()()()2221()224112().48abababababababab、，、，均值定理.,小值等时，两数的和取得最数相那么当且仅当这两个正定值如果两个正数的乘积是定理.2),(,0 PyxyxPxyyx有最小值时，和则当定值、若.,大值时，两数的乘积取得最相等么当且仅当这两个正数那值如果两个正数的和是定.41),(,0 2SxyyxSyxyx有最大值时，积当则定值、若知识结构 均值不等式 均值不等式及其变形 均值不等式等知识的综合应用应用极值定理及其应用均值不等式的互化功能1.“和与积”互化放缩功能2.“和与积

9、”一定一最功能注意：在运用均值不等式“和与积”互化、寻求极值的过程中常需“配凑因式”和“拆项、添项”，务必细心；注意：在运用均值不等式寻求最值过程中常需检查“一正、二定、三等、四同时”，尤其是“配定和放缩过程中所有等号都必须同时取得”的检查.考考思思2160.()abab ab 设设，求求的的最最小小值值22221616()2()()1616 ()1616 ()abbaab abab abaaba abaababa abab 法法：22222216161()()264 16(16)(22216)aababb abababaaab 法法：且且=8 8时时原原式式为为当当且且仅仅当当,时时，原原式

10、式取取最最小小值值两数都是正数；(1)均值定理均值定理应用应用条件条件注意注意事项事项.质求解可选用函数单调性等性寻求最值否则不能应用均值定理缺一不可查，四点要齐备，定理的应用条件进行检，应重视先对均值应用均值定理寻求最值的条件是：应用均值定理寻求最值两句话两句话一正二定三等四同时!和定积大，积定和小；和为定值或积为定值必须出现“定值”)(2)务必取到等号；(3).,(4)取得则每一个等号必须同时若多次应用先检查四点要齐备否则选用函数单调性和大小积!一正是基础!配定是关键配定配定常用方法常用方法:拆项、组合、添加系数及常值替换等拆项、组合、添加系数及常值替换等92P4a例例1 1.用用长长为为

11、的的铁铁丝丝围围成成一一个个矩矩形形，怎怎样样才才能能使使所所围围成成的的矩矩形形的的面面积积最最大大？(02),2,(2),0,20.xxaaxSxaxxax解：设矩形长为则宽为解：设矩形长为则宽为矩形面积为：且矩形面积为：且(2)(2).2xaxxaxa由基本不等式，得由基本不等式，得22,.,(2).xaxxaxaSxaxa上式当且仅当即时 取号上式当且仅当即时 取号由此可知,当时有最大值由此可知,当时有最大值26实际问题实际问题抽象概括抽象概括引入变量引入变量数学模型数学模型数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解还原还原说明说明推推 理理演演 算算建立目标函数建立目标函数均值

12、不等式均值不等式2 2、解应用题思路、解应用题思路反思研究反思研究27P P9292例例2.2.某工厂要建造一个长方体无盖某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为贮水池，其容积为4800m4800m3 3,深为深为3m3m，如果池底每如果池底每1m1m2 2的造价为的造价为150150元，池壁元，池壁每每1m1m2 2的造价为的造价为120120元，问怎样设计水元，问怎样设计水池才能使造价最低池才能使造价最低?最低造价是多少元？最低造价是多少元？282930问问 题题 与与 思思 考考P9510某种商品准备两次提价某种商品准备两次提价,有三种方案有三种方案:第一次提价第一次提价 m,第二次提

13、价第二次提价 n;第一次提价第一次提价 n,第二次提价第二次提价 m;两次均提价两次均提价 .A.试问哪种方案提价后的价格高试问哪种方案提价后的价格高?2nm31 设原价为设原价为M元元,令令a=m,b=n,则则按三种方案提价后的价格分别为按三种方案提价后的价格分别为:A.(1+a)(1+b)M=(1+a+b+ab)MC.(1+)2 M=1+a+b+M2ba2)2(ba只需比较只需比较 ab 与与 的大小的大小.2)2(ba042)2(222babaabba易知易知B.(1+b)(1+a)M=(1+a+b+ab)M32 所以所以 ,即即C方案提价幅度方案提价幅度最大最大.abba2)2(有些问

14、题需比较有些问题需比较 ab 与与 的大小的大小,利用不等式性质判断太繁锁利用不等式性质判断太繁锁,把它作为定理把它作为定理.2)2(ba为易记、好用为易记、好用,把它按如下方式叙述把它按如下方式叙述:)0,0(2baabba a2+b2 2ab93P4().Aab例 一份印刷品的排版面积 矩形 为，它的例 一份印刷品的排版面积 矩形 为，它的两边都留有宽 的空白，顶部和底部都留两边都留有宽 的空白，顶部和底部都留有宽为 的空白如何选用纸的尺寸，才能有宽为 的空白如何选用纸的尺寸，才能使纸的用量最小？使纸的用量最小？34例例5 5.如图，教室的墙壁上挂着一块黑如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它

15、的上、下边缘分别在学生的板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方水平视线上方a a米和米和b b米，问学生距米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？离墙壁多远时看黑板的视角最大？35APBHba例例3 3.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方边缘分别在学生的水平视线上方a a米和米和b b米，问学米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？:,PxPHAPHBPH 解解 设设学学生生 距距黑黑板板 米米黑黑板板上上下下边边缘缘与与学学生生的的水水平平视视线线的的夹夹角角分分别别为为其

16、其中中则则学学生生看看黑黑板板的的视视角角为为tan,tan,abxx 由由由由此此可可得得 2tantanan1tantatn1ababxxababxxx 22,tan,ababxxabxabxx 因因为为当当且且仅仅当当时时最最大大,由于为锐角由于为锐角,此此时时最最大大.ab即即学学生生距距墙墙壁壁时时看看黑黑板板的的视视角角最最大大 如图，为处理含有某杂质的污水，如图，为处理含有某杂质的污水，要制造一底宽为要制造一底宽为2米的无盖长方体沉米的无盖长方体沉淀箱，污水从淀箱，污水从A孔流入，处理后从孔流入，处理后从B孔流出，设箱长孔流出，设箱长 a 米，箱高米，箱高b米，流米，流出水中该杂

17、质的质量分数与出水中该杂质的质量分数与ab成反成反比，现有制箱材料比，现有制箱材料60平方米，问平方米，问a、b各为多少，可使流出水的质量分数各为多少，可使流出水的质量分数最小？最小？(A、B孔面积不计孔面积不计)题题例例ABab21(0),ykykab解法：设流出的水中杂质的质量分数为，解法：设流出的水中杂质的质量分数为，得得2 22260(0,0),babaab 又又2302kkyaaaba 2306434(2)18.22aaaaa 又又6426,3.2aaba 由得则由得则2(0),ykykab 解解法法：设设流流出出的的水水中中杂杂质质的的质质量量分分数数为为，得得.aby当最大时，最

18、小当最大时，最小222260(0,0),230(0,0),babaababbaab 由由得得22 2,abab 2 230,018.ababab 得得26,230,3.abaababb，由得由得课堂课堂小结小结算术平均数与几何平均数的关系及变形算术平均数与几何平均数的关系及变形重点重点：基本形式与均值定理：基本形式与均值定理涉及三种转化涉及三种转化(和和、和积、实际问题与数学问题和和、和积、实际问题与数学问题)关键关键：类比结构，配式转化：类比结构，配式转化应用数学思想应用数学思想思想思想：方程与函数思想：方程与函数思想 数形结合思想数形结合思想 等价转换思想等价转换思想 分类讨论思想等分类讨

19、论思想等1.1.互不相等的四个正数互不相等的四个正数 成等比数列，成等比数列，则则 的大小关系是的大小关系是 ,a b c d2adbc与2.2.已知实数已知实数 成等差数列，成等差数列，成等比数成等比数 列，则列，则 的取值范围是的取值范围是 12,x a ay12,x b by2121 2()aabb22113.,()()22x yxyyx若是正数，则的最小值为21 cos28sin4.0,()2sin2xxxf xx当时 函数的最小值为121212125.()0,()2()(),(),(),(),f xf xxf xf xxRf xa f xbf xxabab 已已知知且且满满足足且且则

20、则的的取取值值范范围围是是 452(1),1.(1)(2)(3)4,1117.8nnnnnmanSSanmaaa 已知数列的前 的和满足已知数列的前 的和满足写出数列的前三项；写出数列的前三项；求该数列的通项公式；求该数列的通项公式；证明：对任意的整数证明：对任意的整数 有有232112312(),1()()().(I)()23(II)(),()(1),;()(III),(),2nnnnnnnnnnf xxxxn nnNf xg ng nnnanNg nSaaaaSg nbTbbbTl lZl 设二次函数当时，的所有整数值的个数为求的表达式；设求设若求 的最小值.思考111111111 2,4

21、,().(I)21;(II)();(III)55.5(IV)|5|51.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnkkabxababbabab xnNbnxxxnNxxxxx 已知数列、满足当时，（填“、”）试用表示求证：与中一个比大，另一个比小并说明与中哪一个更接近于？求证：题题例例 ()0,pq某商品计划两次提价，有三种方案 见表，其中问提价后哪种方案的提价幅度最大？1()%2pq1()%2pq题题例例 一船航行时所耗时燃料费与其航速的平方成正比，已知航速为每小时a海里时，每小时所耗燃料费为b元，此外，该船航行时每小时的其它费用为c元(与航速无关)，若该船匀速航行d海里，求其航速为多少时,可

22、使航行的总费用最省？(若船的航行速度不超过v0)85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚

23、荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95

24、.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物

25、的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往

26、只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你

27、的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特

28、 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得

29、以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金