北京市大兴区2022-2023高二上学期期末数学试卷+答案.pdf

1、 2023 北京大兴高二（上）期末 数 学 202301 202220224 4 第一部分第一部分 （选择题 共 40 分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）空间向量OAOBAC+=（A）AB（B）CB（C）OC（D）BC（2）圆22230 xyy+=的半径是（A）1（B）2（C）3（D）4（3）抛物线28xy=的焦点到准线的距离为（A）1（B）2（C）4（D）8（4）已知数列na的前n项和2nSn=，则2a=（A）1（B）2（C）3 （

2、D）4（5）若等差数列na满足31a=，41a=，则其前n项和的最小值为（A）9（B）8（C）7（D）6（6）设na是各项不为0的无穷数列，“n N，212nnnaa a+=”是“na为等比数列”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）设12FF，是椭圆22:194xyC+=的两个焦点，点P在椭圆C上，1|4PF=，则2|PF=（A）1（B）2（C）3（D）4（8）如图，在三棱柱111ABCA B C中，1CC 平面ABC，5ABBC=，12ACAA=DE F，分别为1111AAACBB，的中点，则直线EF与平面BCD的位置关系是1.

3、本试卷共4页，共两部分，21 道小题满分 150 分。考试时间 120 分钟。2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号。3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4.在答题卡上，选择题用 2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。（A）平行 （B）垂直 （C）直线在平面内 （D）相交且不垂直 （9）记nS为等比数列na的前n项和已知14a=，412a=，则数列nS （A）无最大项，有最小项 （B）有最大项，无最小项（C）无最大项，无最小项 （D）有最大项，有最小项（10）已知M是圆22(1)1xy+=上的动点，则M到直线1()ykxk=+R距离的最大值为（A）

4、2 （B）21+（C）3 （D）2 21+第二部分第二部分 （非选择题 共 110 分）二二、填空题填空题共共 5 小题，每小题，每小小题题 5 分分，共，共 25 分分。（11）3与7的等差中项为_（12）直线1yx=+关于y轴对称的直线的方程为_（13）已知双曲线2221(0)xyaa=的一条渐近线方程为20 xy+=，则a=_（14）能说明“若等比数列na满足12aa，则等比数列na是递增数列”是假命题的一个等比数列na的通项公式可以是_（15）平面内，动点M与点(1 0)F，的距离和M到直线1x=的距离的乘积等于2，动点M的轨迹为曲线C给出下列四个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于x轴

5、对称；曲线C与x轴有 2 个交点；点M与点(1 0)F，的距离都不小于31 其中所有正确结论的序号为_ 三、解答题共三、解答题共 6 小小题，共题，共 85 分分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 14 分）已知点(0 1)A，和点(2 3)B，是圆C直径的两个端点.（）求线段AB的中点坐标和圆C的方程；（）过点A作圆C的切线l，求切线l的方程.（17）（本小题 14 分）已知等差数列na满足11a=，235aa=+.（）求na的通项公式；（）设nb是等比数列，12b=，322bb=，求数列nnab+的前n项和nT.（18）（本小题

6、 14 分）已知抛物线2:4C yx=的焦点为F.（）求F的坐标和抛物线C的准线方程；（）过点F的直线l与抛物线C交于两个不同点A B，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求|AB的长.条件：直线l的斜率为1；条件：线段AB的中点为(3 2)M，.注：如果选择条件和条件分别作答，按第一个解答计分.（19）（本小题 14 分）如图，在长方体1111ABCDABC D中，1ABAD=，12AA=，E分别是棱1DD的中点.（）求证：1/C D平面1AB E；（）求平面1AB E与平面1111A BC D夹角的余弦值；（）求点1C到平面1AB E的距离.（20）（本小题 15 分）已知椭圆22

7、22:1(00)xyCabab+=，过点(2 1)P，且2ab=.（）求椭圆C的方程和离心率；（）设O为原点，直线OP与直线l平行，直线l与椭圆C交于不同的两点MN，直线 PMPN，分别与x轴交于点E F，.当E F，都在y轴右侧时，求证：|OEOF+为定值.（21）（本小题14分）已知na为无穷递增数列，且对于给定的正整数k，总存在ij，使得iak，jak，其中ij令kb为满足iak的所有i中的最大值，kc为满足jak的所有j中的最小值（）若无穷递增数列na的前四项是1 2 3 5，求4b和4c的值；（）若na是无穷等比数列，11a=，公比q为大于1的整数，34534bbbcc=，求q的值；

8、（）若na是无穷等差数列，11a=，公差为1m，其中m为常数，且1mmN，求证：12kbbb，和12kccc，都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式.参考答案 一、选择题一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B C C A C B D D B 二、填空题二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（11）5 （12）10 xy+=（13）2 （14）1(1)nna+=（答案不唯一）（15）注：第（15）题只写一个且正确给 3 分，只写两个且正确给 4 分。三、解答题三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）（

9、共 14 分）解：（）由题意知，线段AB的中点为圆心C 设圆C()xy，0212x+=，1 分 1322y+=，1 分 所以圆心C(1 2)，故线段AB中点的坐标为(1 2)，1 分 直径22|(20)(3 1)AB=+1 分 2 2=1 分 所以圆C的半径为21 分 所以圆C的方程为22(1)(2)2xy+=1 分 （）设切线l的斜率为k，由题意知，lCA1 分 所以1ACkk=2 分 因为21110ACk=，1 分 所以1k=1 分 又因为点(0 1)A，在直线上，所以直线l的方程为1yx=+2 分（17）（共 14 分）解：（）设等差数列na的公差为d 因为235aa+=，所以1235a

10、d+=2 分 因为11a=，所以1d=2 分 所以nan=2 分（）设等比数列nb的公比为q 因为322bb=，所以2q=2 分 所以2nnb=2 分 所以1122nnnTababab=+1212()()nnaaabbb=+(1)2(12)212nnn+=+21222nnn+=+.4 分（18）（共 14 分）解：（）由题设知，焦点F的坐标为(1 0)，.3 分 准线方程为1x=.3 分（）选条件选条件 直线l的方程为1yx=2 分 由214yxyx=，得2610 xx+=1 分 设11(,)A x y，22(,)A xy，则 126xx+=1 分 由抛物线的定义知，12|ABxxp=+3 分

11、 所以|AB62=+8=故|AB的长为81 分 选条件选条件 设11(,)A x y，22(,)A xy，因为AB的中点为(3 2)M，由中点坐标公式知，126xx+=4 分 由抛物线的定义知，12|ABxxp=+，3 分 所以所以|AB62=+8=故|AB的长为81 分（19）（共 14 分）解：（）在长方体1111ABCDA BC D中，因为11/ADB C，且11=ADB C，所以四边形11ADC B为平行四边形1 分 所以11/ABDC1 分 又1DC 平面1AB E，1 分 1AB 平面1AB E，所以1/DC平面1AB E1 分（）如图建立空间直角坐标系Axyz，则(0,0,0)A

12、，1(1 0 2)B，(0 1 1)E，1(1 1 2)C，所以1(0 2)1AB=，(01)1AE=，11(0)1 0BC=，1(0)0 2AA=，设平面1AB E的法向量为(,)x y z=m，则 100ABAE =，mm 即200.xzyz+=+=，令1z=，则2x=，1y=于是(21 1)=，m2 分 又因为平面1111A BC D的法向量为1(0)0 2AA=，n，1 分 设平面1AB E与平面1111A BC D夹角为，所以cos|cos|=，m nm nm n2 分 20(1)01 2|62+=66=所以平面1AB E与平面1111A BC D夹角的余弦值为661 分（）因为11

13、(0)1 0BC=，所以1C到平面1AB E的距离为11|BC mm 2 分|0(2)1(1)0 1|6+=1 分 66=1 分（20）（共 15 分）解：（）由题设，得22222,211.abab=+=解得28a=，22b=2 分 所以椭圆C的方程为22182xy+=1 分 因为2 2a=，226cab=，1分 所以离心率6322 2e=1分 （）依题意，直线OP的斜率为121分 由直线OP与直线l平行知，直线l的斜率为12 设直线l的方程为12yxm=+1分 由2212182yxmxy=+=，得222240 xmxm+=1 分 由24(4)0m=得22m 设11(,)M x y，22(,)

14、N xy，则 122xxm+=，21224x xm=1分 直线PM的方程为111(2)12yyxx=+1分 令0y=，得点E的横坐标11221Exxy=+1分 同理可得点F的横坐标22221Fxxy=+因为点E，F都在原点的右侧，所以0Ex，0Fx，|EFEFOEOFxxxx+=+=+1212224()11xxyy=+122112(2)(1)(2)(1)4(1)(1)xyxyyy+=12211211(2)(1)(2)(1)224(1)(1)xxmxxmyy+=1分 121212(2)()4(1)4(1)(1)x xmxxmyy+=1分 因为21212(2)()4(1)24(2)(2)4(1)x

15、 xmxxmmmmm+=+222424440mmmm=+=1分 所以|4OEOF+=1分 所以|OEOF+为定值 （21）（共 14 分）解：（）由题意知，na是无穷递增数列且12341235aaaa=，所以123454 4aaaaa，由题意知，4434bc=，4 分 （）由题意知，na是无穷递增等比数列，11a=，公比q是大于1的整数 方法一方法一 当2q=时，12345124816aaaaa=，故12343 3aaaa，所以32b=，33c=1234544 4aaaaa=，所以43b=，43c=123455 5aaaaa，所以53b=所以当2q=时，345bbb=，34cc=成立2 分 当

16、3q=时，123451392781aaaaa=，故12343 3aaaa，所以32b=故12344 4aaaa，所以42b=则342bb=，所以3q=不满足题意1 分 当4q=时，1234141664aaaa=，故1233 3aaa，所以31b=，32c=123444 4aaaa=，所以42b=，42c=12345 5aaaa，所以52b=所以当4q=时，345bbb=，34cc=成立2 分 当5q时，21231525aaqaq=，故1233 3aaa，且1234 4aaa，则341bb=，所以当5q时，不满足题意1 分 综上，当2q=，或4q=时，满足，345bbb=，34cc=成立.方法二

17、方法二 由题意知，31b=，或2 当34512bbb=，时，由题意知，24a=若24a=，即1234141664aaaa=，此时4q=，3412bb=，且52b=，342cc=所以当4q=时满足题意2 分 当当34523bbb=，时，由题意知，22a=若22a=，即12341248aaaa=，此时2q=，34523bbb=，343cc=所以当2q=时满足题意2 分 以下说明当3q=，5q时，不成立 当3q=时，即123139aaa=，故342bb=不满足题意1 分 当5q时，21231525aaqaq=，故1233 3aaa，且1234 4aaa，则341bb=，所以当5q时，不满足题意1 分

18、 （）方法一方法一 由na是无穷递增等差数列，11a=，公差为1m知，所以11(1)nanm=+1分 因为1mmN，所以(1)1kmak+=，kN 由kb，kc分别为满足iak，jak的所有i，j中的最大值和最小值，且123aaa知，(1)1kkbckm=+1 分 所以111(1)1kkkkbbcckmkmm+=+=1 分 因为m为常数，所以12kbbb，和12kccc，都是首项1，公差为m等差数列 所以1kbkmm=+，1kckmm=+1 分 方法二方法二 因为11a=，所以111bc=令kbi=，即iak且1iak+所以11(1)ikm+，且1ikm+所以11(1)1ikm+1 所以11(1)1imkm+即1i mak+因为111()111i miaimkmm+=+=+即11i mak+所以1kbim+=+2 分 所以1()kkbbimim+=+=1 分 同理1()kkccimim+=+=所以12kbbb，和12kccc，都是首项1，公差为m等差数列 所以1kbkmm=+，1kckmm=+1 分