十年(2010-2019) 高考数学真题分类汇编（ Word解析版）：解三角形.docx

1、1 十年高考真题分类汇编十年高考真题分类汇编（2010201020192019）数学数学 专题专题 0 07 7 解三解三角形角形 一、选择题 1.(2019全国 1 文 T11)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 asin A-bsin B=4csin C,cos A=-1 4,则 b c=( ) A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】A 【解析】由已知及正弦定理,得 a 2-b2=4c2, 由余弦定理的推论,得-1 4=cos A= b2+c2-a2 2bc , c 2-4c2 2bc =-1 4,- 3c 2b=- 1 4, b c = 3 24=6,故选 A.

2、 2.(2018全国 2理 T6 文 T7)在ABC 中,cos C 2 = 5 5 ,BC=1,AC=5,则 AB=( ) A.4 2 B. 30 C. 29 D.2 5 【答案】A 【解析】cos C=2cos 2C 2-1=- 3 5,AB 2=BC2+AC2-2BCACcos C=1+25+2153 5=32. AB=4 2. 3.(2018全国 3理 T 9 文 T 11)ABC 的内角 A,B,C 的对 边分别为 a,b,c.若ABC 的面积为a 2+b2-c2 4 ,则 C=( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】由 S=a 2+b2-c2 4 = 1

3、 2absin C,得 c 2=a2+b2-2absin C.又由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C, sin C=cos C,即 C= 4. 4.(2017山东理 T9)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若ABC 为锐角三角形,且满足 sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( ) 2 A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 【答案】A 【解析】sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C, sin B+2sin Bcos C=(sin Acos C+cos

4、 Asin C)+sin Acos C, sin B+2sin Bcos C=sin B+sin Acos C, 2sin Bcos C=sin Acos C, 又ABC 为锐角三角形,2sin B=sin A, 由正弦定理,得 a=2b.故选 A. 5.(2017全国 1文 T11)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,则 C=( ) A. 12 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】由题意结合三角形的内角和,可得 sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得 sin

5、 Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,则 sin C(sin A+cos A)=0,因为 sin C0,所以 sin A+cos A=0,即 tan A=-1, 因为 A(0,),所以 A=3 4 .由正弦定理 a sinA = c sinC,得 2 sin3 4 = 2 sinC,即 sin C= 1 2,所以 C= 6,故选 B. 6.(2016全国 3理 T8)在ABC 中,B= 4,BC 边上的高等于 1 3BC,则 cos A=( ) A.310 10 B.10 10 C.-10 10 D.-310 10 【答案】C 【解析】设 BC

6、边上的高为 AD,则 BC=3AD. 结合题意知 BD=AD,DC=2AD, 所以 AC=AD2+ DC2= 5AD,AB= 2AD. 由余弦定理,得 cos A=AB 2+AC2-BC2 2ABAC =2AD 2+5AD2-9AD2 22AD5AD =-10 10 ,故选 C. 7.(2016全国 3文 T9)在ABC 中,B= 4,BC 边上的高等于 1 3BC,则 sin A=( ) A. 3 10 B.10 10 C.5 5 D.310 10 【答案】D 3 【解析】记角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 则由题意,得 SABC=1 2a a 3 = 1 2acsin B, c=

7、2 3 a.b 2=a2+(2 3 a) 2 -2a2a 3 2 2 = 5a2 9 ,即 b=5a 3 .由正弦定理 a sinA = b sinB,得 sin A= asinB b = a 2 2 5a 3 = 310 10 . 故选 D. 8.(2016全国 1文 T4)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a=5,c=2,cos A=2 3,则 b= ( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 【答案】D 【解析】由余弦定理得 a 2=b2+c2-2bccos A, 即 5=b 2+4-4b2 3,即 3b 2-8b-3=0, 又 b0,解得 b=3,故选 D.

8、9.(2016天津理 T3)在ABC 中,若 AB=13,BC=3,C=120,则 AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】由余弦定理得 13=9+AC 2+3AC,AC=1.故选 A. 10.(2016山东文 T8)ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.已知 b=c,a 2=2b2(1-sin A),则 A=( ) A.3 4 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】由余弦定理可得 a 2=b2+c2-2bccos A, 又因为 b=c, 所以 a 2=b2+b2-2bbcos A=2b2(1-cos A). 由已知 a 2=2b2(1-s

9、in A),所以 sin A=cos A. 因为 A(0,),所以 A= 4. 11.(2015广东 文T5)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=23,cos A=3 2 且b 2,0 1 2 + 3 2 3=2,即c a2. 6.(2018全国 1文 T16)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 bsin C+csin B=4asin Bsin C,b 2+c2-a2=8,则ABC 的 面积为 . 【答案】23 3 【解析】bsin C+csin B=4asin Bsin C, sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin B

10、sin C. 又 sin Bsin C0,sin A=1 2. 由余弦定理得 cos A=b 2+c2-a2 2bc = 8 2bc = 4 bc0, cos A=3 2 ,bc= 4 cosA = 83 3 , SABC=1 2bcsin A= 1 2 83 3 1 2 = 23 3 . 7.(2017浙江T14)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点 D 为 AB 延长线上一点,BD=2,连接 CD,则BDC 的面积 是 ,cosBDC= . 【解析】依题意作出图形,如图所示,则 sin DBC=sin ABC. 由题意知 AB=AC=4,BC=BD=2, 则 sin ABC=15 4

11、,cos ABC=1 4. 所以 SBDC=1 2BCBDsin DBC= 1 222 15 4 = 15 2 . 8 因为 cos DBC=-cos ABC=-1 4 = BD2+BC2-CD2 2BDBC = 8-CD2 8 ,所以 CD=10.由余弦定理,得 cos BDC= 4+10-4 2210 = 10 4 . 8.(2017全国 3文 T15)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 C=60,b=6,c=3,则 A= . 【答案】75 【解析】由正弦定理得 b sinB = c sinC, 即 sin B=bsinC c = 6 3 2 3 = 2 2 . 因

12、为 b0, 从而 cos B=25 5 .因此 sin(B + 2)=cos B= 25 5 . 5.(2018全国 1理 T17)在平面四边形 ABCD 中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5. (1)求 cosADB; (2)若 DC=22 ,求 BC. 【解析】(1)在ABD 中,由正弦定理得 BD sinA = AB sinADB. 由题设知, 5 sin45 = 2 sinADB,所以 sinADB= 2 5 . 由题设知,ADBb, 故由 sin B=3 5,可得 cos B= 4 5. 由已知及余弦定理,有 b 2=a2+c2-2accos B=13, 所以 b=13.由

13、正弦定理 a sinA = b sinB,得 sin A= asinB b = 313 13 . 所以,b 的值为13,sin A 的值为313 13 . (2)由(1)及 ac,所以 a=3,c=2. (2)在ABC 中,sin B=1-cos2B =1-(1 3) 2 = 22 3 ,由正弦定理,得 sin C=c bsin B= 2 3 22 3 = 42 9 . 因 a=bc,所以 C 为锐角, 因此 cos C=1-sin2C =1-(42 9 ) 2 = 7 9. 于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C =1 3 7 9 + 22 3 42 9 = 23

14、 27. 35.(2014天津文 T16)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a-c=6 6 b,sin B=6sin C. (1)求 cos A 的值; (2)求 cos(2A- 6)的值. 【解析】(1)在ABC 中,由 b sinB = c sinC, 及 sin B=6sin C,可得 b= 6c. 又由 a-c=6 6 b,有 a=2c. 所以,cos A=b 2+c2-a2 2bc = 6c2+c2-4c2 26c2 = 6 4 . (2)在ABC 中,由 cos A=6 4 ,可得 sin A=10 4 . 于是 cos 2A=2cos 2A-1=-

15、1 4, sin 2A=2sin Acos A=15 4 . 29 所以,cos(2A- 6)=cos 2Acos 6+sin 2Asin 6 = 15-3 8 . 36.(2014北京理 T15)如图,在ABC 中,B= 3,AB=8,点 D 在 BC 边上,且 CD=2,cos ADC= 1 7. (1)求 sin BAD; (2)求 BD,AC 的长. 【解析】(1)在ADC 中,因为 cosADC=1 7, 所以 sinADC=43 7 . 所以 sinBAD=sin(ADC-B) =sinADCcos B-cosADCsin B =43 7 1 2 1 7 3 2 = 33 14 .

16、 (2)在ABD 中,由正弦定理,得 BD=ABsinBAD sinADB = 83 3 14 43 7 =3. 在ABC 中,由余弦定理得 AC 2=AB2+BC2-2ABBCcos B=82+52-2851 2=49.所以 AC=7. 37.(2014湖南理 T18)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= 7. (1)求 cos CAD 的值; (2)若 cos BAD=-7 14,sin CBA= 21 6 ,求 BC 的长. 【解析】(1)如题图,在ADC 中,由余弦定理,得 cosCAD=AC 2+AD2-CD2 2ACAD . 故由题设知,cosCAD= 7+

17、1-4 27 = 27 7 . (2)如题图,设BAC=,则 =BAD-CAD. 因为 cosCAD=27 7 ,cosBAD=-7 14, 所以sinCAD=1-cos2CAD =1-(27 7 ) 2 = 21 7 ,sinBAD=1-cos2BAD =1-(-7 14) 2 = 321 14 .于是sin =sin(BAD-CAD) 30 =sinBADcosCAD-cosBADsinCAD =321 14 27 7 (- 7 14) 21 7 = 3 2 . 在ABC 中,由正弦定理, BC sin = AC sinCBA. 故 BC=ACsin sinCBA = 7 3 2 21 6

18、 =3. 38.(2014湖南文 T19)如图,在平面四边形 ABCD 中,DAAB,DE=1,EC=7,EA=2,ADC=2 3 ,BEC= 3. (1)求 sin CED 的值; (2)求 BE 的长. 【解析】如题图,设CED=. (1)在CDE 中,由余弦定理,得 EC 2=CD2+DE2-2CDDEcosEDC. 于是由题设知,7=CD 2+1+CD,即 CD2+CD-6=0. 解得 CD=2(CD=-3 舍去). 在CDE 中,由正弦定理,得 EC sinEDC = CD sin. 于是,sin =CDsin 2 3 EC = 23 2 7 = 21 7 , 即 sinCED=21

19、 7 . (2)由题设知,0 3,于是由(1)知, cos =1-sin2 = 1- 21 49 = 27 7 . 而AEB=2 3 -,所以 cosAEB=cos(2 3-)=cos 2 3 cos +sin2 3 sin =-1 2cos + 3 2 sin =-1 2 27 7 + 3 2 21 7 = 7 14.在 RtEAB 中,cosAEB= EA BE = 2 BE,故 BE= 2 cosAEB = 2 7 14 =4 7. 39.(2013全国 2理 T17)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若

20、b=2,求ABC 面积的最大值. 【解析】(1)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B. 31 又 A=-(B+C),故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. 由和 C(0,)得 sin B=cos B, 又 B(0,),所以 B= 4. (2)ABC 的面积 S=1 2acsin B= 2 4 ac. 由已知及余弦定理得 4=a 2+c2-2accos 4. 又 a 2+c22ac,故 ac 4 2-2,当且仅当 a=c 时,等号成立.因此ABC 面积的最大值为 2+1. 40.(2013全国 1理 T17)如图,在A

21、BC 中,ABC=90,AB=3,BC=1,P 为ABC 内一点,BPC=90. (1)若 PB=1 2,求 PA; (2)若APB=150,求 tanPBA. 【解析】(1)由已知得PBC=60,所以PBA=30. 在PBA 中,由余弦定理得 PA 2=3+1 4-23 1 2cos 30= 7 4.故 PA= 7 2 . (2)设PBA=,由已知得 PB=sin.在PBA 中,由正弦定理得 3 sin150 = sin sin(30-),化简得 3cos =4sin .所以 tan =3 4 ,即 tanPBA=3 4 . 41.(2012全国文 T 7)已知 a,b,c 分别为ABC 三

22、个内角 A,B,C 的对边,c=3asin C-ccos A. (1)求 A; (2)若 a=2,ABC 的面积为3,求 b,c. 【解析】(1)由 c=3asin C-ccos A 及正弦定理得 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. 由于 sin C0,所以 sin(A- 6) = 1 2. 又 0A,故 A= 3. (2)ABC 的面积 S=1 2bcsin A=3,故 bc=4. 而由余弦定理得 a 2=b2+c2-2bccos A,故 b2+c2=8. 32 解得 b=c=2. 42.(2012全国理 T17)已知 a,b,c 分别为ABC 三个内角 A,B,

23、C 的对边,acos C+3 asin C-b-c=0. (1)求 A; (2)若 a=2,ABC 的面积为3,求 b,c. 【解析】(1)由 acos C+3asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+3sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为 B=-A-C, 所以3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. 由于 sin C0,所以 sin(A- 6) = 1 2. 又 0A0,所以 sin A+cos A=0,即 tan A=-1, 因为 A(0,),所以 A=3 4 .由正弦定理 a sinA = c sinC,得 2 sin3 4

24、= 2 sinC,即 sin C= 1 2,所以 C= 6,故选 B. 43.(2010陕西理 T17)如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+3)海里的两个观测点.现位于 A 点北 偏东 45,B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60且与 B 点相距 20 3海里 的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/时,该救援船到达 D 点需要多长时间? 【解析】由题意知 AB=5(3+3)海里, DBA=90-60=30,DAB=90-45=45, ADB=180-(45+30)=105. 在DAB 中,由正弦定理得 DB sinDAB = AB sinADB, DB=ABsinDAB sinADB = 5(3+3)sin45 sin105 33 = 5(3+3)sin45 sin45cos60+cos45sin60 = 53(3+1) 3+1 2 =103(海里). 又DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60,BC=203海里,在DBC 中,由余弦定理,得 CD 2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC =300+1 200-2103203 1 2=900, CD=30(海里),则需要的时间 t=30 30=1(小时). 答:救援船到达 D 点需要 1 小时.