十年(2010-2019) 数学高考真题分类汇编(试卷版+解析版):导数与定积分.docx
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1、1 十年(20102019)数学高考真题分类汇编 导数与定积分 1.(2019全国 2T 文 T10)曲线 y=2sin x+cos x 在点(,-1)处的切线方程为( ) A.x-y-1=0 B.2x-y-2-1=0 C.2x+y-2+1=0 D.x+y-+1=0 2.(2019全国 3T 理 T6 文 T7)已知曲线 y=ae x+xln x 在点(1,ae)处的切线方程为 y=2x+b,则 ( ) A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 C.a=e -1,b=1 D.a=e-1,b=-1 3.(2018全国 1理 T5 文 T6)设函数 f(x)=x 3+(a-1)x2+ax,若 f(
2、x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的 切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 4.(2017全国 2理 T11)若 x=-2 是函数 f(x)=(x 2+ax-1)ex-1的极值点,则 f(x)的极小值为( ) A.-1 B.-2e -3 C.5e-3 D.1 5.(2017浙江T7)函数 y=f(x)的导函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是 ( ) 6.(2016山东理 T10)若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则 称 y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性
3、质的是( ) A.y=sin xB.y=ln x C.y=e x D.y=x3 7.(2016全国 1文 T12)若函数 f(x)=x-1 3sin 2x+asin x 在(-,+)单调递增,则 a 的取值范围是( ) A.-1,1 B.*-1, 1 3+ C.*- 1 3, 1 3+ D.*-1,- 1 3+ 8.(2016四川理T9)设直线l1,l2分别是函数f(x)=-lnx,0 0 时,xf(x)-f(x)0 成立的 x 的取值范围是( ) A.(-,-1)(0,1) B.(-1,0)(1,+) C.(-,-1)(-1,0) D.(0,1)(1,+) 10.(2015全国 1理 T12
4、)设函数 f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中 a0.若曲线 y=x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a 2,则 a=. 46.(2019全国 3文 T20)已知函数 f(x)=2x 3-ax2+2. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 02. 56.(2018全国 2理 T21)已知函数 f(x)=e x-ax2. (1)若 a=1,证明:当 x0 时,f(x)1; (2)若 f(x)在(0,+)只有一个零点,求 a. 57.(2018全国 2文 T21 度)已知函数 f(x)=1 3x 3-a(x2+x+1). (1)若 a=3,求 f(x)的单调区间; (2)
5、证明:f(x)只有一个零点. 58.(2018天津理 T20)已知函数 f(x)=a x,g(x)=log ax,其中 a1. (1)求函数 h(x)=f(x)-xln a 的单调区间; (2)若曲线 y=f(x)在点(x1,f(x1)处的切线与曲线 y=g(x)在点(x2,g(x2) 处的切线平行,证明 x1+g(x2)=-2lnlna lna ; (3)证明当 ae 1 e时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线,也是曲线 y=g(x)的切线. 59.(2018天津文 T20)设函数 f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中 t1,t2,t3R,且 t1,t2,t3
6、是公差为 d 的等差 数列. (1)若 t2=0,d=1,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程; (2)若 d=3,求 f(x)的极值; 7 (3)若曲线 y=f(x)与直线 y=-(x-t2)-6 3有三个互异的公共点,求 d 的取值范围. 60.(2018北京理 T18 文 T19)设函数 f(x)=ax 2-(4a+1)x+4a+3ex. (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与 x 轴平行,求 a; (2)若 f(x)在 x=2 处取得极小值,求 a 的取值范围. 61.(2018江苏T19)记 f(x),g(x)分别为函数 f(x),g(x)的导函数.若存
7、在 x0R,满足 f(x0)=g(x0),且 f(x0)=g(x0),则称 x0为函数 f(x)与 g(x)的一个“S 点”. (1)证明:函数 f(x)=x 与 g(x)=x 2+2x-2 不存在“S 点”; (2)若函数 f(x)=ax 2-1 与 g(x)=ln x 存在“S 点”,求实数 a 的值; (3)已知函数f(x)=-x 2+a,g(x)=bex x .对任意a0,判断是否存在b0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+)内存在 “S 点”,并说明理由. 62.(2018全国 1理 T21)已知函数 f(x)=1 x-x+aln x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若
8、f(x)存在两个极值点 x1,x2,证明:f(x1)-f(x2) x1-x2 0; (2)若 x=0 是 f(x)的极大值点,求 a. 65.(2018全国 3,文 21,12 分,难度)已知函数 f(x)=ax 2+x-1 ex . (1)求曲线 y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程; (2)证明:当 a1 时,f(x)+e0. 66.(2018浙江T22)已知函数 f(x)=-ln x. (1)若 f(x)在 x=x1,x2(x1x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)8-8ln 2; (2)若 a3-4ln 2,证明:对于任意 k0,直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯
9、一公共点. 67.(2018江苏T17)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN(P 为此圆弧的中点)和 线段 MN 构成.已知圆 O 的半径为 40 米,点 P 到 MN 的距离为 50 米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大 棚内的地块形状为矩形 ABCD,大棚内的地块形状为CDP,要求 A,B 均在线段 MN 上,C,D 均在圆弧上.设 OC 与 MN 所成的角为. 8 (1)用分别表示矩形 ABCD 和CDP 的面积,并确定 sin的取值范围; (2)若大棚内种植甲种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43.求 当为何值时,能使甲
10、、乙两种蔬菜的年总产值最大. 68.(2017全国 3理 T21)已知函数 f(x)=x-1-aln x. (1)若 f(x)0,求 a 的值; (2)设 m 为整数,且对于任意正整数 n,(1 + 1 2)(1 + 1 22)(1 + 1 2n)3a; (3)若 f(x),f(x)这两个函数的所有极值之和不小于-7 2,求 a 的取值范围. 78.(2017北京理 T19)已知函数 f(x)=e xcos x-x. (1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程; (2)求函数 f(x)在区间*0, 2+上的最大值和最小值. 79.(2017浙江T20)已知函数 f(x)=(x-2
11、x-1)e -x(x 1 2). (1)求 f(x)的导函数; (2)求 f(x)在区间*1 2, + )上的取值范围. 80.(2016全国 2理 T21)(1)讨论函数 f(x)=x-2 x+2e x的单调性,并证明当 x0 时,(x-2)ex+x+20; (2)证明:当 a0,1)时,函数 g(x)=e x-ax-a x2 (x0)有最小值.设 g(x)的最小值为 h(a),求函数 h(a)的值域. 81.(2016天津,理 20,12 分,难度)设函数 f(x)=(x-1) 3-ax-b,xR,其中 a,bR. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)存在极值点 x0,且 f
12、(x1)=f(x0),其中 x1x0,求证:x1+2x0=3; (3)设 a0,函数 g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间0,2上的最大值不小于 1 4. 10 82.(2016全国 2文 T20)已知函数 f(x)=(x+1)ln x-a(x-1). (1)当 a=4 时,求曲线 y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程; (2)若当 x(1,+)时,f(x)0,求 a 的取值范围. 83.(2016四川文 T21)设函数 f(x)=ax 2-a-ln x,g(x)=1 x e ex其中 aR,e=2.718为自然对数的底数. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)证明:当 x1 时
13、,g(x)0; (3)确定 a 的所有可能取值,使得 f(x)g(x)在区间(1,+)内恒成立. 84.(2016全国 3理 T21)设函数 f(x)=cos 2x+(-1)(cos x+1),其中 0,记|f(x)|的最大值为 A. (1)求 f(x); (2)求 A; (3)证明|f(x)|2A. 85.(2016全国 3文 T21)设函数 f(x)=ln x-x+1. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)证明当 x(1,+)时,1c x. 86.(2016全国 1,理 21,12 分,难度)已知函数 f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2有两个零点. (1)求 a 的取值范围; (
14、2)设 x1,x2是 f(x)的两个零点,证明:x1+x20,f(x)0 成立,求 a 的取值范围. 91.(2015全国 2文 T21)已知函数 f(x)=ln x+a(1-x). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围. 92.(2015全国 2理 T21)设函数 f(x)=e mx+x2-mx. (1)证明:f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增; (2)若对于任意 x1,x2-1,1,都有|f(x1)-f(x2)|e-1,求 m 的取值范围. 93.(2015全国 1文 T21)设函数 f(x)=e 2x-
15、aln x. (1)讨论 f(x)的导函数 f(x)零点的个数; (2)证明:当 a0 时,f(x)2a+aln 2 a. 94.(2015天津理 T20)已知函数 f(x)=nx-x n,xR,其中 nN*,且 n2. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y=g(x),求证:对于任意的正实数 x, 都有 f(x)g(x); (3)若关于 x 的方程 f(x)=a(a 为实数)有两个正实数根 x1,x2,求证:|x2-x1|0),讨论 h(x)零点的个数. 96.(2015江苏理 T19)已知函数 f(x)=x
16、3+ax2+b(a,bR). (1)试讨论 f(x)的单调性; (2)若 b=c-a(实数 c 是与 a 无关的常数),当函数 f(x)有三个不同的零 点时,a 的取值范围恰好是(-,-3)(1, 3 2) ( 3 2, + ),求 c 的值. 97.(2015北京文 T19)设函数 f(x)= 2 2 -kln x,k0. (1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)证明:若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1,上仅有一个零点. 98.(2015浙江文 T20)设函数 f(x)=x 2+ax+b(a,bR). (1)当 b= 2 4 +1 时,求函数 f(x)在-1,1上的最小值 g(
17、a)的表达式; (2)已知函数 f(x)在-1,1上存在零点,0b-2a1.求 b 的取值范围. 12 99.(2014全国 2文 T21)已知函数 f(x)=x 3-3x2+ax+2,曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐 标为-2. (1)求 a; (2)证明:当 k0 时,g(x)0,求 b 的最大值; (3)已知 1.414 20. 104.(2013全国 2文 T21)已知函数 f(x)=x 2e-x. (1)求 f(x)的极小值和极大值; (2)当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围. 105.(2013重庆文 T2
18、0)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为 100 元/平方米,底面的建 造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000 元( 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. 106.(2013全国1 理T21)设函数f(x)=x 2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2), 且在点 P 处
19、有相同的切线 y=4x+2. 13 (1)求 a,b,c,d 的值; (2)若 x-2 时,f(x)kg(x),求 k 的取值范围. 107.(2013全国 1文 T20)已知函数 f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线 y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值. 108.(2012全国理 T21)已知函数 f(x)满足 f(x)=f(1)e x-1-f(0)x+1 2x 2. (1)求 f(x)的解析式及单调区间; (2)若 f(x)1 2x 2+ax+b,求(a+1)b 的最大值.
20、109.(2012全国文 T21)设函数 f(x)=e x-ax-2. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 a=1,k 为整数,且当 x0 时,(x-k)f(x)+x+10,求 k 的最大值. 110.(2012全国文 T21)设函数 f(x)=e x-ax-2. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 a=1,k 为整数,且当 x0 时,(x-k)f(x)+x+10,求 k 的最大值. 111.(2011山东理 T21)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱 形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为80 3 立方米,且 l2r.假设该容器的
21、建造费用仅与其表 面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c3)千元.设该容 器的建造费用为 y 千元. (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r. 112.(2011全国理 T21)已知函数 f(x)=alnx x+1 + b x,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 x+2y-3=0. (1)求 a,b 的值; (2)如果当 x0,且 x1 时,f(x)lnx x-1 + k x,求 k 的取值范围. 14 113.(2011全国文 T21)已知函数 f(x)=alnx x+1
22、 + b x,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 x+2y-3=0. (1)求 a,b 的值; (2)证明:当 x0,且 x1 时,f(x)lnx x-1. 114.(2010全国理 T21)设函数 f(x)=e x-1-x-ax2. (1)若 a=0,求 f(x)的单调区间; (2)若当 x0 时 f(x)0,求 a 的取值范围. 115.(2010全国文 T21)设函数 f(x)=x(e x-1)-ax2. (1)若 a=1 2,求 f(x)的单调区间; (2)若当 x0 时 f(x)0,求 a 的取值范围. 15 十年(20102019)数学高考真题分类汇编 导数与定积分
23、 1.(2019全国 2T 文 T10)曲线 y=2sin x+cos x 在点(,-1)处的切线方程为( ) A.x-y-1=0 B.2x-y-2-1=0 C.2x+y-2+1=0 D.x+y-+1=0 【答案】C 【解析】当 x= 时,y=2sin +cos =-1,即点(,-1)在曲线 y=2sin x+cos x 上. y=2cos x-sin x, y|x=2cos -sin =-2. 曲线 y=2sin x+cos x 在点(,-1)处的切线方程为 y-(-1)=-2(x-),即 2x+y-2+1=0.故选 C. 2.(2019全国 3T 理 T6 文 T7)已知曲线 y=ae x
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