十年(2010-2019) 数学高考真题分类汇编（试卷版+解析版）：不等式选讲.docx

1、1 十年（20102019）数学高考真题分类汇编 不等式选讲 1.(2019全国 1理 T23 文 T23)选修 45:不等式选讲 已知 a,b,c 为正数,且满足 abc=1.证明:(1)1 a + 1 b + 1 ca 2+b2+c2; (2)(a+b) 3+(b+c)3+(c+a)324. 2.(2019全国 2理 T23 文 T23)选修 45:不等式选讲 已知 f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)x 成立,求 a 的取值范围. 5.(2018全国 2文理 23)选修 45:不等式选讲设函数 f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (

2、1)当 a=1 时,求不等式 f(x)0 的解集; (2)若 f(x)1,求 a 的取值范围. 6.(2018全国 3文理 23)选修 45:不等式选讲设函数 f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)画出 y=f(x)的图像; (2)当 x0,+)时,f(x)ax+b,求 a+b 的最小值. 7.(2017全国 1理 T23 文 T23)已知函数 f(x)=-x 2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. 2 (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)g(x)的解集; (2)若不等式 f(x)g(x)的解集包含-1,1,求 a 的取值范围. 8.(2017全国 3理 T23 文 T23

3、)已知函数 f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式 f(x)1 的解集; (2)若不等式 f(x)x 2-x+m 的解集非空,求 m 的取值范围. 9.(2017全国 2理 T23 文 T23)已知 a0,b0,a 3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a 5+b5)4; (2)a+b2. 10.(2016全国 1理 T24 文 T24)已知函数 f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)在题图中画出 y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|1 的解集. 11.(2016全国 3理 T24 文 T24)已知函数 f(x)=|2x-a|+a. (1)当 a=2 时,求不等

4、式 f(x)6 的解集; (2)设函数 g(x)=|2x-1|.当 xR 时,f(x)+g(x)3,求 a 的取值范围. 12.(2016全国 2理 T24 文 T24)已知函数 f(x)=|x- 1 2| + |x + 1 2|,M 为不等式 f(x)1 的解集; (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围. 14.(2015全国 2理 T24 文 T24)设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,证明: (1)若 abcd,则a + b c + d; (2)a + b c + d是|a-b|0,b0,且 a+b=1 a + 1 b, 证明: 3

5、(1)a+b2; (2)a 2+a0,且1 a + 1 b = ab. (1)求 a 3+b3的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由. 17.(2014全国 2理 T24 文 T24)设函数 f(x)=|x + 1 a|+|x- a|(a0). (1)证明:f(x)2; (2)若 f(3)0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)3x+2 的解集; (2)若不等式 f(x)0 的解集为x|x-1,求 a 的值. 23.(2010全国理 T24 文 T24)设函数 f(x)=|2x-4|+1. (1)画出函数 y=f(x)的图象; (2)若不等式 f(x)ax

6、的解集非空,求 a 的取值范围. 4 十年（20102019）数学高考真题分类汇编 不等式选讲 1.(2019全国 1理 T23 文 T23)选修 45:不等式选讲 已知 a,b,c 为正数,且满足 abc=1.证明: (1)1 a + 1 b + 1 ca 2+b2+c2; (2)(a+b) 3+(b+c)3+(c+a)324. 【解析】 (1)因为a 2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,又abc=1,故有a2+b2+c2ab+bc+ca=ab+bc+ca abc = 1 a + 1 b + 1 c. 所以1 a + 1 b + 1 ca 2+b2+c2. (2)因为 a,b

7、,c 为正数且 abc=1, 故有(a+b) 3+(b+c)3+(c+a)3 3(a + b)3(b + c)3(a + c)3 3 =3(a+b)(b+c)(a+c) 3(2ab)(2bc)(2ac)=24. 所以(a+b) 3+(b+c)3+(c+a)324. 2.(2019全国 2理 T23 文 T23)选修 45:不等式选讲 已知 f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)x 成立,求 a 的取值范围. 【解析】(1)当 a=1 时,f(x)=|x+1|-|x-1|, 即 f(x)= -2,x -1, 2x,-1 1 2-. (2)当 x(

8、0,1)时|x+1|-|ax-1|x 成立等价于当 x(0,1)时|ax-1|0,|ax-1|2.所以 f(x)1 的解集为x|x1. (2)由 f(x)x 2-x+m 得 m|x+1|-|x-2|-x2+x. 而|x+1|-|x-2|-x 2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x| =-(|x|- 3 2) 2 + 5 4 5 4, 且当 x=3 2时,|x+1|-|x-2|-x 2+x=5 4.故 m 的取值范围为(-, 5 4+. 9.(2017全国 2理 T23 文 T23)已知 a0,b0,a 3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a 5+b5)4; (2)a+b2. 【解析】(1

9、)(a+b)(a 5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a 3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) 8 =4+ab(a 2-b2)24. (2)因为(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3 =2+3ab(a+b)2+3(a+b) 2 4 (a+b) =2+3(a+b) 3 4 , 所以(a+b) 38,因此 a+b2. 10.(2016全国 1理 T24 文 T24)已知函数 f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)在题图中画出 y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|1 的解集. 【解析】(1)f(x)= x-4,x -1, 3x-2,-1 3 2, y=f(x

10、)的图象如图所示. (2)由 f(x)的表达式及图象,当 f(x)=1 时, 可得 x=1 或 x=3; 当 f(x)=-1 时,可得 x=1 3或 x=5, 故 f(x)1 的解集为x|11 的解集为 ,x|x 1 3或 1 1 时,等价于 a-1+a3,解得 a2. 所以 a 的取值范围是2,+). 12.(2016全国 2理 T24 文 T24)已知函数 f(x)=|x- 1 2| + |x + 1 2|,M 为不等式 f(x)1 的解集; (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围. 【解析】(1)当 a=1 时,f(x)1 化为|x+1|-2|x-

11、1|-10. 当 x-1 时,不等式化为 x-40,无解; 10 当-16,故 a2.所以 a 的取值范围为(2,+). 14.(2015全国 2理 T24 文 T24)设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,证明: (1)若 abcd,则a + b c + d; (2)a + b c + d是|a-b|cd 得(a + b) 2(c + d)2. 因此a + b c + d. (2)若|a-b| c + d. 若a + b c + d,则(a + b) 2(c + d)2, 即 a+b+2abc+d+2cd. 因为 a+b=c+d,所以 abcd. 于是(a-b) 2=(a+b)2

12、-4ab0,且 a+b=1 a + 1 b, 证明: (1)a+b2; (2)a 2+a0,得 ab=1. (1)由基本不等式及 ab=1,有 a+b2ab=2, 11 即 a+b2. (2)假设 a 2+a0,且1 a + 1 b = ab. (1)求 a 3+b3的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由. 【解析】(1)由ab = 1 a + 1 b 2 ab,得 ab2,且当 a=b=2时等号成立. 故 a 3+b32a3b342,且当 a=b=2时等号成立. 所以 a 3+b3的最小值为 42. (2)由(1)知,2a+3b26ab43. 由于 436,从而

13、不存在 a,b,使得 2a+3b=6. 17.(2014全国 2理 T24 文 T24)设函数 f(x)=|x + 1 a|+|x- a|(a0). (1)证明:f(x)2; (2)若 f(3)0,有 f(x)=|x + 1 a|+|x-a|x + 1 a -(x-a)| = 1 a+a2. 所以 f(x)2. (2)解 f(3)=|3 + 1 a|+|3-a|. 当 a3 时,f(3)=a+1 a, 由 f(3)0,所以不等式组的解集为,x|x - a 2-. 由题设可得-a 2=-1,故 a=2. 23.(2010全国理 T24 文 T24)设函数 f(x)=|2x-4|+1. (1)画出函数 y=f(x)的图象; (2)若不等式 f(x)ax 的解集非空,求 a 的取值范围. 【解析】(1)由于 f(x)=-2x + 5,x 2, 2x-3,x 2, 则函数 y=f(x)的图象如图所示. 15 (2)(图象应用) 由函数 y=f(x)与函数 y=ax 的图象可知,当且仅当 a1 2或 a-2 时,函数 y=f(x)与函数 y=ax 的图象有交点. 故不等式 f(x)ax 的解集非空时,a 的取值范围为(-,-2)*1 2, + ).