十年(2010-2019) 数学高考真题分类汇编(试卷版+解析版):立体几何.docx
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1、1 十年(20102019)高考数学真题分类汇编 立体几何 1.(2019浙江T4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原 理,利用该原理可以得到柱体的体积公式 V柱体=Sh,其中 S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图 如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm 3)是( ) A.158 B.162 C.182 D.324 2.(2019全国 1理 T12)已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上,PA=PB=PC,ABC 是边长为 2 的正 三角形,E,F 分别是 PA,AB 的中点,CEF=90,则球 O 的体积为(
2、 ) A.86 B.46 C.26 D.6 3.(2019全国 2理 T7 文 T7)设 , 为两个平面,则 的充要条件是( ) A. 内有无数条直线与 平行 B. 内有两条相交直线与 平行 C., 平行于同一条直线 D., 垂直于同一平面 4.(2019全国 3理 T8 文 T8)如图,点 N 为正方形 ABCD 的中心,ECD 为正三角形,平面 ECD平面 ABCD,M 是线段 ED 的中点,则( ) A.BM=EN,且直线 BM,EN 是相交直线 B.BMEN,且直线 BM,EN 是相交直线 C.BM=EN,且直线 BM,EN 是异面直线 D.BMEN,且直线 BM,EN 是异面直线 5
3、.(2019浙江T8)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线 2 PB 与直线 AC 所成的角为 ,直线 PB 与平面 ABC 所成的角为 ,二面角 P-AC-B 的平面角为 ,则( ) A. =tan , 所以 .故选 B. 37 6.(2018全国 3理 T10 文 T12)设 A,B,C,D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点,ABC 为等边三角形且其 面积为 93,则三棱锥 D-ABC 体积的最大值为( ) A.123 B.183 C.243 D.543 【答案】B 【解析】由ABC 为等边三角形且面积为 93,设ABC 边长为 a,则
4、 S=1 2a 3 2 a=93.a=6,则ABC 的外接 圆半径 r=3 2 2 3a=234. 设 球 的 半 径 为R, 如 图 ,OO1=2-2=42-(23)2=2. 当D在O的 正 上 方 时,VD-ABC=1 3SABC(R+|OO1|)= 1 3936=183,最大.故选 B. 7.(2018全国 1理 T7 文 T9)某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如图.圆柱表面上的点 M 在正视图 上的对应点为 A,圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面上,从 M 到 N 的路径中,最短路 径的长度为( ) A.217 B.25 C.3 D.2 【答案】B
5、 【解析】如图所示,易知 N 为CD 的中点,将圆柱的侧面沿母线 MC 剪开,展平为矩形 MCCM,易知 CN=1 4CC=4,MC=2,从 M 到 N 的路程中最短路径为 MN. 38 在 RtMCN 中,MN=MC2+ NC2=25. 8.(2018全国 3理 T3 文 T3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫 卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬 合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 【答案】A 【解析】由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示,由直观图可知其俯视图应为 A 中图形. 9.(20
6、18北京理 T5 文 T6)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为 ( ) 39 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】由该四棱锥的三视图,得其直观图如图.由正视图和侧视图都是等腰直角三角形,知 PD平面 ABCD, 所以侧面PAD和PDC都是直角三角形.由俯视图为直角梯形,易知DC平面PAD.又ABDC,所以AB平面PAD, 所以 ABPA,所以侧面 PAB 也是直角三角形. 易知 PC=22,BC=5,PB=3,从而PBC 不是直角三角形.故选 C. 10.(2018上海T15)九章算术中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设 AA1是
7、正六 棱柱的一条侧棱,如图.若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以 AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数 是( ) A.4 B.8 C.12 D.16 【答案】D 【解析】设正六棱柱为 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1, 以侧面 AA1B1B,AA1F1F 为底面矩形的阳马有 40 E-AA1B1B,E1-AA1B1B,D-AA1B1B,D1-AA1B1B,C-AA1F1F,C1-AA1F1F,D-AA1F1F,D1-AA1F1F,共 8 个,以对角面 AA1C1C,AA1E1E 为底面矩形的阳马有 F-AA1C1C,F1-AA1C1C,D-AA1C1C,D1-AA1C1C,B-AA1
8、E1E,B1-AA1E1E,D-AA1E1E,D1-AA1E1E,共 8 个,所以共有 8+8=16(个), 故选 D. 11.(2018全国 1文 T10)在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面 BB1C1C 所成的角为 30,则该长方 体的体积为( ) A.8 B.62 C.82 D.83 【答案】C 【解析】在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB平面 BCC1B1,连接 BC1,则AC1B 为 AC1与平面 BB1C1C 所成的角, AC1B=30,所以在 RtABC1中,BC1= 1=23,又 BC=2,所以在 RtBCC1中,CC1=(23) 2-
9、22=22, 所以 该长方体体积 V=BCCC1AB=82. 12.(2018全国2理T9)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值 为( ) A.1 5 B.5 6 C.5 5 D.2 2 【答案】C 【解析】以 DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图, 则 D1(0,0,3),A(1,0,0),D(0,0,0),B1(1,1,3). 1 =(-1,0,3),1 =(1,1,3).设异面直线 AD1与 DB1所成的角为 . cos =| 1 1 |1 |1 | = | 2 25| = 5 5 . 异面直线 AD
10、1与 DB1所成角的余弦值为5 5 . 13.(2018全国 2文 T9)在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 为棱CC1的中点,则异面直线 AE 与CD 所成角的正切值 为( ) A.2 2 B.3 2 C.5 2 D.7 2 【答案】C 41 【解析】如图,因为 ABCD,所以 AE 与 CD 所成的角为EAB. 在 RtABE 中,设 AB=2, 则 BE=5,则 tanEAB= = 5 2 , 所以异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为5 2 . 14.(2018全国 1文 T5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1,O2,过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截 面是面积为
11、 8 的正方形,则该圆柱的表面积为( ) A.122 B.12 C.82 D.10 【答案】B 【解析】 过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为 r,母线长为 l,因为轴截面是 面积为 8 的正方形,所以 2r=l=22,r=2,所以圆柱的表面积为 2rl+2r 2=8+4=12. 15.(2018浙江T3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】C 【解析】由三视图可知该几何体为直四棱柱. S底=1 2(1+2)2=3,h=2,V=Sh=32=6. 16.(2017全国 2理 T
12、4 文 T6)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该 几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( ) 42 A.90 B.63 C.42 D.36 【答案】B 【解析】由三视图知,该几何体是一个圆柱截去一部分所得,如图所示.其体积等于下部分圆柱的体积加上上 部分圆柱体积的1 2,所以该几何体的体积 V=3 24+3261 2=63. 17.(2017全国 1理 T7)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形 组成,正方形的边长为 2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积 之和为(
13、 ) A.10 B.12 C.14 D.16 【答案】B 【解析】由三视图可还原出几何体的直观图如图所示.该五面体中有两个侧面是全等的直角梯形,且该直角 梯形的上底长为 2,下底长为 4,高为 2,则 S梯=(2+4)22=6,所以这些梯形的面积之和为 12. 43 18.(2017全国 2理 T10)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线 AB1与 BC1 所成角的余弦值为( ) A.3 2 B.15 5 C.10 5 D.3 3 【答案】C 【解析】 方法一:把三棱柱 ABC-A1B1C1补成四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,如图,
14、连接 C1D,BD,则 AB1与 BC1所成的角为BC1D. 由题意可知 BC1=2, BD=22+ 12-2 2 1 60 = 3,C1D=AB1=5. 可知 B1 2+BD2=C1D2, 所以 cosBC1D=2 5 = 10 5 ,故选 C. 方法二:以 B1为坐标原点,B1C1所在的直线为 x 轴,垂直于 B1C1的直线为 y 轴,BB1所在的直线为 z 轴建立空间 直角坐标系,如图所示. 由已知条件知B1(0,0,0),B(0,0,1),C1(1,0,0),A(-1, 3 ,1),则 1 =(1,0,-1),1 =(1,-3,-1). 所以 cos= 1 1 |1 |1 | = 2
15、52 = 10 5 . 所以异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为10 5 . 19.(2017北京理 T7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为( ) 44 A.32 B.23 C.22 D.2 【答案】B 【 解 析 】 由 题 意 可 知 , 直 观 图 为 四 棱 锥 A-BCDE( 如 图 所 示 ), 最 长 的 棱 为 正 方 体 的 体 对 角 线 AE=22+ 22+ 22=23.故选 B. 20.(2017全国 3理 T8 文 T9)已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为( ) A. B.3 4 C.
16、2 D. 4 【答案】B 【解析】由题意可知球心即为圆柱体的中心,画出圆柱的轴截面如图所示, 则 AC=1,AB=1 2,底面圆的半径 r=BC= 3 2 ,所以圆柱的体积是 V=r 2h=(3 2 ) 2 1=3 4 ,故选 B. 21.(2017全国 1文 T6)如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q 为所在棱的中点,则 在这四个正方体中,直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( ) 【答案】A 【解析】易知选项 B 中,ABMQ,且 MQ平面 MNQ,AB平面 MNQ,则 AB平面 MNQ;选项 C 中,ABMQ,且 MQ平 面 MNQ,AB平面 MNQ,则 A
17、B平面 MNQ;选项 D 中,ABNQ,且 NQ平面 MNQ,AB平面 MNQ,则 AB平面 MNQ,故 排除选项 B,C,D;故选 A. 4.(2016浙江理T2文T2)已知互相垂直的平面,交于直线l,若直线m,n满足m,n,则( ) 45 A.ml B.mn C.nl D.mn 【答案】C 【解析】对于选项 A,=l,l,m,m 与 l 可能平行,也可能异面,故选项 A 不正确; 对于选项 B,D,m,n,m 与 n 可能平行,可能相交,也可能异面,故选项 B,D 不正确. 对于选项 C,=l,l. n,nl.故选 C. 22.(2016天津文 T3)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一
18、个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视 图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( ) 【答案】B 【解析】由题意得该长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,如下图所示. 易知其左视图为 B 项中图.故选 B. 23.(2016全国 3理 T10 文 T11)在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1内有一个体积为 V 的球.若 AB BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则 V 的最大值是( ) A.4 B.9 2 C.6 D.32 3 【答案】B 【解析】先计算球与直三棱柱三个侧面相切的球的半径,再和与直三棱柱两底面相切的球的半径相比较,半 径较小的球即为所求.设球的半径为 R,ABBC,AB=6,
19、BC=8,AC=10.当球与直三棱柱的三个侧面相切时, 有1 2(6+8+10)R= 1 268,此时 R=2; 46 当球与直三棱柱两底面相切时,有 2R=3,此时 R=3 2.所以在封闭的直三棱柱中,球的最大半径只能为 3 2,故最大 体积 V=4 3( 3 2) 3 = 9 2 . 24.(2016全国 1文 T4)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A.12 B. C.8 D.4 【答案】A 【解析】设正方体的棱长为 a,由 a 3=8,得 a=2. 由题意可知,正方体的体对角线为球的直径, 故 2r=32,则 r=3. 所以该球的表面积为 4(3) 2=
20、12,故选 A. 25.(2016全国 1理 T11 文 T11)平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A,平面 CB1D1,平面 ABCD=m,平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为( ) A.3 2 B.2 2 C.3 3 D.1 3 【答案】A 【解析】平面 CB1D1,平面 ABCD平面 A1B1C1D1,平面 ABCD=m,平面 CB1D1平面 A1B1C1D1=B1D1,m B1D1. 平面 CB1D1,平面 ABB1A1平面 DCC1D1,平面 ABB1A1=n,平面 CB1D1平面 DCC1D1=CD1, nCD1. B1D1,CD1所成的角等于 m,
21、n 所成的角, 即B1D1C 等于 m,n 所成的角. B1D1C 为正三角形,B1D1C=60, m,n 所成的角的正弦值为3 2 . 26.(2016全国 1理 T6 文 T7)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半 径.若该几何体的体积是28 3 ,则它的表面积是( ) 47 A.17 B.18 C.20 D.28 【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体是球截去1 8后所得几何体,则 7 8 4 3 R 3=28 3 ,解得 R=2,故其表面积为 7 84R 2+3 4R 2=14+3=17. 27.(2016全国 2理 T6 文 T7)下图是由圆柱与圆锥组
22、合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ( ) A.20 B.24 C.28 D.32 【答案】C 【解析】因为原几何体由同底面的一个圆柱和一个圆锥构成, 所以其表面积为 S=(4 2) 2+44+1 24(23) 2 + 22=28,故选 C. 28.(2016全国 3理 T9 文 T10)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的表面积为( ) A.18+365 B.54+185 C.90 D.81 【答案】B 【解析】由题意知该几何体为四棱柱,且四棱柱的底面是边长为 3 的正方形,侧棱长为 35,所以所求表面积 为(33+36+335)2=5
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