2020年淄博市高三数学一模试题定稿含答案4.16.pdf

1、高三数学试题 第1页（共6页） 参照秘密级管理启用并使用完毕前 淄博市 20192020 学年度高三模拟考试试题 数数 学学 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写 在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 2 |20Ax xx=，|2Bxx=Z，

2、则AB = A1,2 B1, 2 C1,2 D1, 2 2复数()(2)aii的实部与虚部相等，其中i为虚数单位，则实数a= A3 B 1 3 C 1 2 D1 3设mR，命题“存在0m ，使方程 2 0xxm+=有实根”的否定是 A任意0m ，使方程 2 0xxm+=无实根 B任意0m，使方程 2 0xxm+=有实根 C存在0m ，使方程 2 0xxm+=无实根 D存在0m，使方程 2 0xxm+=有实根 4 2 5 1 ()mx x +的展开式中 5 x的系数是10，则实数m = A2 B1 C1 D2 5函数( )sin()f xx=+在0,上为增函数，则的值可以是 A0 B 2 C D

3、 3 2 高三数学试题 第2页（共6页） 6若圆锥轴截面面积为2 3，母线与底面所成角为60，则体积为 A 3 3 B 6 3 C 2 3 3 D 2 6 3 72019年10月17日是我国第6个“扶贫日” ，某医院开展扶贫日“送医下乡”医 疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医 院A，医生乙只能分配到医院A或医院B，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医 院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的 分配方案共有 A18种 B20种 C22种 D24种 8在ABC中，0OAOBOC+= ， 2AEEB= ， ABAC=， 若9AB

4、 ACAO EC=，则实数= A 3 3 B 3 2 C 6 3 D 6 2 二、多项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求中，有多项符合题目要求全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9 已知抛物线() 2 20ypx p=上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和2 2， 则p的值可以是 A2 B6 C4 D8 10在正方体 1111 ABCDABC D中，,P Q分别为棱BC和棱 1 CC的中点，则下列

5、说 法正确的是 A 1/ BC平面AQP B平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形 C 1 ADAQP平面 D异面直线QP与 11 AC所成的角为60 11居民消费价格指数（Consumer Price Index，简称CPI），是度量居民生活消费品 和服务价格水平随着时间变动的相对数， 综合反映居民购买的生活消费品和服务价格 水平的变动情况下图为国家统计局于2020年4月公布的2019年3月至2020年3 月CPI数据同比和环比涨跌幅折线图： 高三数学试题 第3页（共6页） （注：=, 本月CPI 同比 去年同月CPI =100% 本月CPI-去年同月CPI 同比涨跌幅 去年同月CPI ， =

6、, 本月CPI 环比 上月CPI =100% 本月CPI-上月CPI 环比涨跌幅 上月CPI ） 则下列说法正确的是 A2019年12月与2018年12月CPI相等 B2020年3月比2019年3月CPI上涨4.3% C2019年7月至2019年11月CPI持续增长 D2020年1月至2020年3月CPI持续下降 12已知函数( )yf x=是R上的奇函数，对于任意xR，都有 (4)( )(2)f xf xf+=+成立，当0,2)x时，( )21 x f x =， 给出下列结论，其中正确的是 A(2)0f= B点(4,0)是函数( )yf x=的图象的一个对称中心 C函数( )yf x=在 6

7、, 2上单调递增 D函数( )yf x=在 6,6上有3个零点 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13曲线 11 ( )+lnf x xx =在点( )()1,1f处的切线方程是_ 14记 n S为数列 n a的前n项和，若1 2 n n S a =，则 7 S =_ 高三数学试题 第4页（共6页） 15如图， 12 ,A A分别是双曲线 2 2 :1 y C x a =()0a 的 左、右顶点，以实轴为直径的半圆交其中一条渐近线于点 M，直线 2 MA交另一条渐近线于点N，若 1/ MANO，则 a =_，若 2 F为双曲线右焦

8、点，则 2 MF O的周长 为_（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 16 某校为了解家长对学校食堂的满意情况， 分别从高一、 高二年级随机抽取了20位 家长的满意度评分，其频数分布表如下： 满意度评分分组 )50,60 )60,70 )70,80 )80,90 )90,100 合计 高一 1 3 6 6 4 20 高二 2 6 5 5 2 20 根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 评分70分 70评分90 评分90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应 事件发生的概率现从高一、高二年级各随机

9、抽取1名家长，记事件A： “高一家长 的满意度等级高于高二家长的满意度等级” ，则事件A发生的概率为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）等差数列 n a(*)nN中， 321 ,aaa分别是下表第一、二、三行中的某 一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列 第一列 第二列 第三列 第一行 5 8 2 第二行 4 3 12 第三行 16 6 9 （1）请选择一个可能的, 321 aaa组合，并求数列 n a的通项公式； （2） 记 （1） 中您选择的 n a的前

10、n项和为 n S， 判断是否存在正整数k， 使得 12 , kk a a S + 成等比数列，若有，请求出k的值；若没有，请说明理由 高三数学试题 第5页（共6页） 18 （12 分） 如图，在直角ACB中， 2 ACB=， 3 CAB=,2AC =，点M在线段AB上 （1）若 3 sin 3 CMA=，求CM的长； （2） 点N是线段CB上一点，7MN =， 且 1 2 BMNACB SS =， 求BMBN+的值 19 （12 分） 如图所示，在四棱锥-P ABCD中，底面ABCD为正方 形，PAAB，=6PA，=8AB，=10PD，N为PC 的中点，F为棱BC上的一点 （1）证明：面PAF

11、 面ABCD； （2） 当F为BC中点时， 求二面角ANFC余弦值 20 （12 分） 根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万 亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升 将年份1978,1988,1998,2008,2018分别用1,2,3,4,5代替，并表示为t；y表示全国 GDP总量，表中ln(1,2,3,4,5) ii zy i=， 5 1 1 5 i i zz = = t y z () 5 2 1 i i tt = ()() 5 1 ii i ttyy = ()() 5 1 ii i ttzz = 3 26.474 1.903 10 2

12、09.76 14.05 高三数学试题 第6页（共6页） （1）根据数据及统计图表，判断 y bta=+与 dt yce=（其中2.718e=为自然对 数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量y关于t的回归方程类型？（给出判断 即可，不必说明理由） ，并求出y关于t的回归方程； （2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量 线性回归方程ybxa=+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ()() () 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx = = = ， a ybx= 参考数据： n 4 5 6 7 8 n e的近似值 55 148 403 1097 2981 21

13、（12 分） 已知椭圆C: 22 22 1(0) xy ab ab +=的短轴长为2 3， 左右焦点分别为 1 F， 2 F， 点B 是椭圆上位于第一象限的任一点，且当 212 0BFFF=时， 2 3 2 BF = （1）求椭圆C的标准方程； （2） 若椭圆C上点A与点B关于原点O对称， 过点B作BD垂直于x轴， 垂足为D， 连接AD并延长交C于另一点M，交y轴于点N （i）求ODN面积最大值； （ii）证明：直线AB与BM斜率之积为定值 22 （12 分） 已知函数 1 ( )ln()()f xxx x =+R （1）当1x 时，不等式( )0f x 恒成立，求的最小值； （2）设数列 1

14、 (*) n an n =N，其前n项和为 n S，证明： 2 ln2 4 n nn a SS+ 高三数学试题 第 1 页（共 7 页） 淄博市 2019-2020 学年度高三模拟考试 数学试题参考答案及评分标准 一、单项选择题：1-8 CBAC DDBD 二、多项选择题：9AC 10ABD 11BC 12AB 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13230xy ；14254；153、3+ 7；160.42 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 解： （1）由题意可知：有两种组合满足条件： 16,12, 8

15、 321 aaa，此时等差数列 n a，4, 8 1 da，2 分 所以其通项公式为 44 nan 4 分 6, 4, 2 321 aaa，此时等差数列 n a，2, 2 1 da，2 分 所以其通项公式为 nan2 4 分 （2）若选择， 2 26 n Snn 5 分 则 22 2 2(2)6(2)21420 k Skkkk 6 分 若 12 , kk a a S 成等比数列，则 2 12kk aa S ， 7 分 即 22 (44)8(21420)kkk， 整理， 得 22 21710kkkk ， 即59k ， 9 分 此方程无正整数解，故不存在正整数k，使 12 , kk a a S 成

16、等比数列 10 分 若选择， 2 n Snn， 5 分 则 22 2 (2)(2)56 k Skkkk ， 6 分 若 12 , kk a a S 成等比数列，则 2 12kk aa S ， 7 分 即 22 (2 )2(56)kkk，整理得 2 560kk，因为k为正整数，所以6k 9 分 高三数学试题 第 2 页（共 7 页） 故存在正整数6k ，使 12 , kk a a S 成等比数列 10 分 18 （12 分） 解： （1）在CAM中，已知 3 CAM ， 3 sin 3 CMA，2AC ，由正弦定 理，得 sinsin CM CAM AC CMA ， 2 分 于是，解得 sin

17、3 3 si 23 3 2 3 n AC CM CMA . 4 分 （2）因为 1 2 BMNACB SS ，所以 111 sin2 2 3 2622 BM BN ， 解得 4 3BM BN 6 分 在BMN中，由余弦定理得， 2222 3 2cos()2(1) 62 MNBMBNBM BNBMBNBM BN ， 9 分 即 2 2 3 7()2 4 3 (1) 2 BMBN ， 22 ()198 3(43)BMBN， 11 分 故43BMBN. 12 分 19 （12 分） 证明： （1）因为底面ABCD为正方形，所以8ADAB 又因为=6PA，=10PD，满足 222 PAADPD， 所以

18、PAAD 2 分 又PAAB，AD面ABCD，AB 面ABCD， 高三数学试题 第 3 页（共 7 页） ABADA， 所以PAABCD面 4 分 又因为PA面PAF，所以，面PAF 面ABCD5 分 （2） 由 （1） 知,AB AD AP两两垂直， 以A为坐标原点， 以,AB AD AP分别为, ,x y z 轴建系如图所示， 则(0,0,0)A，(0,0,6)P，(8,0,0)B，(8,8,0)C，(0,8,0)D则(4,4,3)N，(8,4,0)F， 所以(8,4,0)AF ，(4,4,3)AN ，(0,8,0)BC ，(8,8, 6)PC ，7 分 设面ANF法向量为 1111 (

19、,)nx y z，则由 1 1 0 0 nAF nAN 得 11 111 840 4430 xy xyz ， 令 1=1 z得 11 33 = 42 xy ，即 1 33 ( ,1) 42 n ；9 分 同理可得，面PBC的法向量为 2 (3,0,4)n ，10 分 所以 12 12 22222 12 3 30 1 4 5 61 4 cos,= 6133 ( )()134 42 n n n n n n ， 所以二面角ANFC余弦值为 5 61 61 12 分 20 （12 分） 解： （1）根据数据及图表可以判断， 高三数学试题 第 4 页（共 7 页） dt yce更适宜作为全国GDP总量y

20、关于t的回归方程 2 分 对 dt yce两边取自然对数得lnlnycdt， 令lnzy，lnac，bd， 得zabt 3 分 因为 5 1 5 2 1 14.05 1.405 10 ii i i i ttzz b tt ， 5 分 所以1.903 1.405 32.312azbt ， 7 分 所以z关于t的线性回归方程为1.4052.312zt， 所以y关于t的回归方程为 1.405t 2.3122.3121.405t ()yeee 8 分 （2）将5.2t 代入 1.4052.312 t ye ，其中1.405 5.22.3124.994， 10 分 于是2020年的全国GDP总量约为：

21、4.9945 148yee万亿元12 分 21 （12 分） 解： （1）设 2( ,0) F c，由 212 0BFFF，得 212 BFFF 将xc 代入 22 22 1 xy ab ，得 2 b y a ，即 2 2 3 2 b BF a ， 2 分 由3b ， 解得2a ， 3 分 所以椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy 4 分 （2）设 11 ( ,)B x y， 22 (,)M xy，则 11 (,)Axy， 1 ( ,0)D x （i）易知ON为ABD的中位线，所以 1 (0,) 2 y N， 所以 1 11111 111 2244 ODN y Sxxyx y ， 5 分

22、高三数学试题 第 5 页（共 7 页） 又 11 ( ,)B x y满足 22 1 43 xy ，所以 22 111111 12 43233 xyxyx y ，得 11 3x y ， 6 分 故 11 13 44 ODN Sx y ，当且仅当 11 23 xy ，即 1 2x ， 1 6 2 y 时取等号， 所以ODN面积最大值为 3 4 7 分 （ii）记直线AB斜率为 1 1 (0) y kk x ，则直线AD斜率为 11 11 = 222 yyk xx ， 所以直线AD方程为 1 () 2 k yxx 8 分 由 1 22 () 2 1 43 k yxx xy ，得 22222 11 (

23、3)2120kxk x xk x，9 分 由韦达定理得 2 1 12 2 2 () 3 k x xx k ，所以 22 11 21 22 2(3+3) + = 33 k xkx xx kk ， 代入直线AD方程，得 3 1 2 2 3 k x y k ，11 分 于是，直线BM斜率 3 1 1 2 21 2 121 1 2 3 3 = (3+3)2 3 BM k x kx yy k k kxxxk x k ， 所以直线AB与BM斜率之积为定值 3 2 12 分 22 （12 分） 高三数学试题 第 6 页（共 7 页） 解： （1）由 1 ( )ln()()f xxx x R，得 2 2 (

24、) xx fx x 2 分 当 1 2 时，方程 2 0xx的 2 1 40 ，因式 2 xx在区 间(1,)上恒为负数所以1x 时，( )0fx，函数( )f x在区间(1,)上单调 递减又(1)0f，所以函数( )0f x 在区间(1,)上恒成立； 3 分 当 1 0 2 时，方程 2 0xx有两个不等实根，且满足 22 12 11 411 4 1 22 xx ， 所以函数( )f x的导函数( )fx在区间 2 11 4 (1,) 2 上大于零，函数( )f x在区间 2 11 4 (1,) 2 上单增，又(1)0f，所以函数( )f x在区间 2 11 4 (1,) 2 上恒 大于零，

25、不满足题意； 4 分 当0时，在区间(1,)上 1 ( )ln()lnf xxxx x ，函数lnyx在区 间(1,)上恒为正数，所以在区间(1,)上( )f x恒为正数，不满足题意；5 分 综上可知：若1x 时，不等式( )0f x 恒成立，的最小值为 1 2 6 分 （2）由第（1）知：若1x 时， 1 1(1)(1) ln() 22 xx xx xx 7 分 若*nN，则 11 (1) 1) (1) 1 121 ln(1) 1 2 (1) 2(1) n nn nn n n ，即 11 ln(1)ln 22(1) nn nn 成立 8 分 将n换成1n，得 11 ln(1) 1ln(1) 2(1)2(1) 1 nn nn 成立，即 高三数学试题 第 7 页（共 7 页） 11 ln(2)ln(1) 2(1)2(2) nn nn ， 以此类推，得 11 ln(3)ln(2) 2(2)2(3) nn nn ， 11 ln2ln(21) 2(21)4 nn nn ， 上述各式相加，得 11111 ln2lnln2 212214 nn nnnnn ， 10 分 又 2nn SS 1111 12212nnnn ， 11 分 所以 2 ln2 4 n nn a SS 12 分