第1讲线性规划及单纯形法课件.ppt

1、1第第1 1讲讲线性规划及单纯形法线性规划及单纯形法山东轻工业学院山东轻工业学院 数理学院数理学院 李彬李彬E-mail:telephone number:13698622129.2运运 筹筹 帷帷 幄幄 之之 中中决决 胜胜 千千 里里 之之 外外线线 性性 规规 划划Linear ProgrammingLinear Programming数学建模数学建模 课课 件件.3 1 1线性规划问题及模型线性规划问题及模型 2 2图解法图解法 3 3单纯形方法单纯形方法 4 4线性规划应用举例分析线性规划应用举例分析.41 1问题的提出问题的提出例例1.1.某工厂在计划期内要安排某工厂在计划期内要安

2、排、两种产品的生产，已知生产单位产两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及品所需的设备台时及A A、B B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：问题：工厂应分别生产多少单位、产品才能使工厂获利最多？线性规划模型：线性规划模型：目标函数：Max z=50 x1+100 x2 约束条件：s.t.x1+x2 300 2 x1+x2 400 x2 250 x1,x2 0.5线性规划的组成要素线性规划的组成要素：目标函数目标函数 Max F 或 Min F约束条件约束条件 s.t.(subject to)满足于决策变量决策变量 用符号来表示可控制的因素建模步骤

3、建模步骤1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；2.定义决策变量（x1，x2，xn），每一组值表示一个方案；3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最小化目标；4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题过程中必须遵循的约束条件。.6一一 般般 形形 式式目标函数目标函数约束条件约束条件.7 可以看出，线性规划的标准形式有如下四个特点：-目标最大化；目标最大化；-约束为等式；约束为等式；-决策变量均非负；决策变量均非负；-右端项非负。右端项非负。.8注注 释释.9规规 范范 形形 式式.10标标 准准 形形 式式.11概概 念念.12模模 型型 转转 换换令令自自由由变变量量

4、 jjjxxx，其其中中 jjxx,为为非非负负变变量量 求求最最大大可可以以等等价价成成求求负负的的最最小小 xcxc minmax v目标转换目标转换v变量转换变量转换.13约约 束束 转转 换换v不等式变等式不等式变等式v不等式变不等式不等式变不等式ininiibxaxaxa 2211 ininiibxaxaxa 2211 ininiibxaxaxa 2211 v等式变不等式等式变不等式.14不不 等等 式式 变变 等等 式式ininiibxaxaxa 2211 0,2211 iiininiisbsxaxaxa 或或 ininiibxaxaxa 2211 0,2211 iiininiis

5、bsxaxaxa 松弛变量松弛变量剩余变量剩余变量.15不等式变不等式不等式变不等式ininiibxaxaxa 2211 ininiibxaxaxa 2211 或或 ininiibxaxaxa 2211 ininiibxaxaxa 2211 .16 例例1 把问题转化为标准形式把问题转化为标准形式.17对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以在平面直角坐标系上作图表示线性规划问题的有关概念，并求解。下面通过例2详细讲解其方法。2 2图图 解解 法法例例2.2.目标函数：Max z=50 x1+100 x2 约束条件：s.t.x1+x2 300 (A)2 x1+x2 400 (B)x2 250

6、(C)x1 0 (D)x2 0 (E).18（1）画出线性规划问题的可行域，如图所示。x1x2x2=0 x1=0 x2=250 x1+x2=3002x1+x2=400图1.19（2）目标函数z=50 x1+100 x2，当z取某一固定值时得到一条直线，直线上的每一点都具有相同的目标函数值，称之为“等值线”。平行移动等值线，当移动到B点时，z在可行域内实现了最大化。得到最优解：x1=50，x2 =250，最优目标值 z =27500 x1x2z=20000=50 x1+100 x2图2z=27500=50 x1+100 x2z=0=50 x1+100 x2z=10000=50 x1+100 x2

7、CBADE.20图解法步骤图解法步骤v在平面上建立直角坐标系；在平面上建立直角坐标系；v图示约束条件；图示约束条件；v找出可行域；找出可行域；v图示目标函数和寻找最优解。图示目标函数和寻找最优解。.21 例例3 3 某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料需要2个小时，加工每吨B原料需要1小时，而公司总共有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为2万元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A，B两

8、种原料，使得购进成本最低？.22解：目标函数：Min f=2x1+3 x2 约束条件：s.t.x1+x2 350 x1 125 2 x1+x2 600 x1 ,x2 0 采用图解法。如下图：得Q点坐标（250，100）为最优解。100200300 400 500 600100200300400600500 x1=125x1+x2=3502x1+3x2=8002x1+3x2=9002x1+x2=6002x1+3x2=1200 x1 x2 Q.23 重要结论：重要结论：如果线性规划有最优解，则一定有一个可行域的顶点对应一个最优解；无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为max z=50 x1+50

9、 x2，则线段BC上的所有点都代表了最优解；无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约束条件4x1+3x21200，则可行域为空域，不存在满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。.243 单纯形方法单纯形方法 单纯形法的基本思路和原理 单纯形法的表格形式 求目标函数值最小的线性规划的问题的 单纯形表解法.25可行域的几何结构可行域的几何结构 基本假设基本假设 凸集凸集 可行域的凸性可行域的凸性.26基基 本本 假假 设设.27凸凸 集集.28问问 题题.29线性规划问题解的特

10、点线性规划问题解的特点 若线性规划问题存在唯一的最优解，那么它必定在顶点上（基本可行解）。若线性规划问题存在多个最优解，那么必有几个相邻的顶点是最优解，其它最优解可以表示成这几个顶点的凸组合。若一个顶点的目标函数值比它的相邻定点的目标函数值要好的话，它就是最优解。.301 1单纯形法的基本思路和原理单纯形法的基本思路和原理 单纯形法的基本思路：从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是最优解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代，再判断此点是否是最优解。直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止。例1在加上松弛变量之后我

11、们可得到标准型如下：目标函数：max 50 x1+100 x2 约束条件：x1+x2+s1=300，2x1+x2+s2=400，x2+s3=250.xj0（j=1，2）,sj0（j=1，2,3）.31它的系数矩阵 ,其中pj为系数矩阵A第j列的向量。A的秩为3,A的秩m小于此方程组的变量的个数n，为了找到一个初始基本可行解，先介绍以下几个线性规划的基本概念。基基：已知A是约束条件的mn系数矩阵，其秩为m。若B是A中mm阶非奇异子矩阵（即可逆矩阵），则称B是线性规划问题中的一个基。基向量基向量：基B中的一列即称为一个基向量。基B中共有m个基向量。非基向量非基向量：在A中除了基B之外的一列则称之为

12、基B的非基向量。基变量基变量：与基向量pi相应的变量xi叫基变量，基变量有m个。100100101200111),(54321pppppA.32非基变量非基变量：与非基向量pj相应的变量xj叫非基变量，非基变量有nm个。由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。在此例中我们不妨找到了 为A的一个基，令这个基的 非基变量x，s2为零。这时约束方程就变为基变量的约束方程：1010010113B.33 x2+s1300，x2=400，x2+s3=250.求解得到此线性规划的一个

13、基本解：x1=0，x2=400，s1=100，s2=0，s3=150 由于在这个基本解中s1=100，s3=150，不满足该线性规划s10，s30的约束条件，显然不是此线性规划的可行解，一个基本解可以是可行解，也可以是非可行解，它们之间的主要区别在于其所有变量的解是否满足非负的条件。我们把满足非负条件的一个基本解叫做基本可行解，并把这样的基叫做可行基。.34 一般来说判断一个基是否是可行基，只有在求出其基本解以后，当其基本解所有变量的解都是大于等于零，才能断定这个解是基本可行解，这个基是可行基。那么我们能否在求解之前，就找到一个可行基呢？也就是说我们找到的一个基能保证在求解之后得到的解一定是基

14、本可行解呢？由于在线性规划的标准型中要求bj都大于等于零，如果我们能找到一个基是单位矩阵，或者说一个基是由单位矩阵的各列向量所组成（至于各列向量的前后顺序是无关紧要的事）例如，那么显然所求得的基本解一定是基本可行解，这个单位矩阵或由单位矩阵各列向量组成的基一定是可行基。实际上这个基本可行解中的各个变量或等于某个bj或等于零。010001100.35 在本例题中我们就找到了一个基是单位矩阵。在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单位矩阵的各所找到的基或为单位矩阵或为由单位矩阵的各列向量所组成，称之为初始可行基列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基本可行其相应的基本可

15、行解叫初始基本可行解。解。如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作为初始可行基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细讲述。1000100012B.36基基 本本 可可 行行 解解 定定 义义.37.38二、二、最优性检验最优性检验 所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。1.最优性检验的依据检验数j 一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。现在我们要求只用非基变量来表示目标函数，这只要在约束等式中通过移项等处理就可以用非基变量来表示基变量，然后用非基变量的表示式代替目标函数中基变量，这样目标函数中只含有非基变量了，或者说目标函数中基变量的系或者说目标函数中基

16、变量的系数都为零了。此时目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数数都为零了。此时目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数，把变量xi的检验数记为i。显然所有基变量的检验数必为零。在本例题中目标函数为50 x1+100 x2。由于初始可行解中x1，x2为非基变量，所以此目标函数已经用非基变量表示了，不需要再代换出基变量了。这样我们可知1=50，2=100，3=0，4=0，5=0。.39 设线性规划模型为nixbAxxptscxxcziniiiniii,3,2,1,0)(.)(max11.40 令基为B，并作相应的矩阵分割，从约束条件得 代入目标函数 得NbNxbBxNbNxBbBx11NNB

17、BxCxCzNBNBNNNBxNBCCbBCxCNxBbBCz)()(1111典式典式.41 令 则目标函数可写成 所以可用 判断是否最优解，它叫做检验数。miiiBbcbBCz110miijijBjBjacPBCNBCz111)(jjjzc nmjjjxzz10j.42 其中：121 12212112,jmjjiijjjmmjmimjmjaazc ac ac ac ac ccac ccp.43 2.最优解判别定理 对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，如果所有检验数如果所有检验数 0，则这个基本可行解是最优解，则这个基本可行解是最优解

18、。下面我们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量表示的目标函数为如下形式 由于所有的xj的取值范围为大于等于零，当所有的 都小 于等于零时，可知 是一个小于等于零的数，要使z 的值最大，显然 只有为零。我们把这些xj取为非基 变量(即令这些xj的值为零)，所求得的基本可行解就使目标函数值最大为z0。*对于求目标函数最小值的情况，只需把 0改为 0j0jjj Jzzxjjjj Jxjjj Jxjj.44三、三、基变换基变换 通过检验，我们知道这个初始基本可行解不是最优解。下面介绍如何进行基变换找到一个新的可行基，具体的做法是从可行基中换一个列向量，得从可行基中换一个列向量，得到一个新的可

19、行基，使得求解得到的新的基本可行解，其目标函数值更优到一个新的可行基，使得求解得到的新的基本可行解，其目标函数值更优。为了换基就要确定换入变量与换出变量。1.入基变量的确定 从最优解判别定理知道，当某个j0时，非基变量xj变为基变量不取零值可以使目标函数值增大，故我们要选基检验数大于0的非基变量换到基变量中去（称之为入基变量）。若有两个以上的j0，则为了使目标函数增加得更大些，一般选其中的一般选其中的j j最大者的非基变量为入基变量最大者的非基变量为入基变量，在本例题中2=100是检验数中最大的正数，故选x2为入基变量。.452.出基变量的确定 在确定了x2为入基变量之后，我们要在原来的3个基

20、变量s1，s2，s3中确定一个出基变量，也就是确定哪一个基变量变成非基变量呢？如果把s3作为出基变量，则新的基变量为x2，s1，s2，因为非基变量x1=s3=0，我们也可以从下式：x2+s1=300，x2+s2=400，x2=250，求出基本解：x1=0，x2=250，s1=50，s2=150，s3=0。因为此解满足非负条件，是基本可行解，故s3可以确定为出基变量。能否在求出基本解以前来确定出基变量呢？以下就来看在找出了初始基本可行解和确定了入基变量之后，怎么样的怎么样的基变量可以确定为出基变量呢？或者说出基变量要具有什么条件呢？基变量可以确定为出基变量呢？或者说出基变量要具有什么条件呢？.4

21、6 我们把确定出基变量的方法概括如下：把已确定的入基变量在各约束方把已确定的入基变量在各约束方程中的右端向量正的系数除以其所在约束方程中的常数项的值，把其中最小比值程中的右端向量正的系数除以其所在约束方程中的常数项的值，把其中最小比值所所在的约束方程中的原基变量确定为出基变量在的约束方程中的原基变量确定为出基变量。这样在下一步迭代的矩阵变换中可以确保新得到的bj值都大于等于零。在本例题中约束方程为 在第二步中已经知道x2为入基变量，我们把各约束方程中x2的为正的系数除对应的常量，得12112223300,2400,250.xxsxxsxs312122232300400250300,400,25

22、0.111bbbaaa.47 其中 的值最小，所以可以知道在原基变量中系数向量为 的基变量s3为出基变量，这样可知x2，s1，s2为基变量，x1，s3为非基变量。令非基变量为零，得 x2+s1=300,x2+s2=400,x2=250.求解得到新的基本可行解x1=0,x2=250,s1=50,s2=150.这时目标函数值为 50 x1+100 x2=500+100250=25000。显然比初始基本可行解x1=0,x2=0,s1=300,s3=250时的目标函数值为0要好得多。下面我们再进行检验其最优性，如果不是最优解还要继续进行基变换，直至找到最优解，或者能够判断出线性规划无最优解为止。332

23、ba30,0,1Te.48 单纯形法的表格形式是把用单纯形法求出基本可行解、检验其最优性、迭代某步骤都用表格的方式来计算求出，其表格的形式有些像增广矩阵，而其计算的方法也大体上使用矩阵的行的初等变换。以下用单纯形表格来求解第二章的例1。max 50 x1+100 x2+0s1+0s2+0s3.x1+x2+s1=300，2x1+x2+s2=400，x2+s3=250，x1,x2,s1,s2,s30.把上面的数据填入如下的单纯形表格：.49按照线性规划模型在表中填入相对应的值，如上表所示；在上表中有一个m*m的单位矩阵，对应的基变量为s1,s2,s3；在zj行中填入第j列与cB列中对应的元素相乘相

24、加所得的值，如z2=0*1+0*1+0*1=0，所在zi行中的第2位数填入0；在 行中填入cj-zj所得的值，如 ；z表示把初始基本可行解代入目标函数求得的目标函数值，即b列*cB列；初始基本可行解为s1=300,s2=400,s3=250,x1=0,x2=0;由于250/1最小，因此确定s3为出基变量；由于 ，因此确定x2为入基变量。出基变量所在行，入基变量所在列的交汇处为主元，这里是a32=1，在表中画圈以示区别。jjjcz迭代次数基变量 cB x1 x2 s1 s2 s3 b比值Bi/ai2 50 100 0 0 00 s1 s2 s3 0 0 0 1 1 1 0 0 2 1 0 1 0

25、 0 1 0 0 1300400250300/1400/1250/1 50 100 0 0 0z=0jjjcz150050210.50以下进行第一次迭代，其变量为x2,s1,s2,通过矩阵行的初等变换，求出一个新的基本可行解，具体的做法用行的初等变换使得x2的系数向量p2变换成单位向量，由于主元在p2的第3 分量上，所以这个单位向量是 也就是主元素变成1。这样我们又得到的第1次迭代的单纯表如下所示。在上表中第3个基变量s1已被x2代替，故基变量列中的第3个基变量应变为x2。由于第0次迭代表中的主元a32已经为1，因此第3行不变。为了使第1行的a12为0，只需把第3行*(-1)加到第1行即可。同

26、样可以求得第2行。求得第1次迭代的基本可行解为s1=50,s2=150,x2=250,x1=0,s3=0,z=25000.30,0,1Te jjjcz迭代次数基变量 cB x1 x2 s1 s2 s3 b 比值 bi/aij 50 100 0 0 01 s1 s2 x2 0 0 100 1 0 1 0 -1 2 0 0 1 -1 0 1 0 0 1 50 150 250 50/1 150/2 50 0 0 0 -10025000.51从上表可以看出，第一次迭代的 ，因此不是最优解。设x1为入基变量，从此值可知b1/a11=50为最小正数，因此，s1为出基变量，a11为主元，继续迭代如下表所示。

27、从上表中可知第二次迭代得到的基本可行解为x1=50,x2=250,s1=0,s2=50,s3=0,这时z=27500。由于检验数都0，因此所求得的基本可行解为最优解，z=27500为最优目标函数值。实际上，我们可以连续地使用一个单纯形表，不必一次迭代重画一个表头。1500jjjcz迭代次数基变量 cB x1 x2 s1 s2 s3 b 比值 bi/aij 50 100 0 0 02 x1 s2 x2 50 0 100 1 0 1 0 -1 0 0 -2 1 1 0 1 0 0 1 50 50 250 0 0 -50 0 -5027500.52算算 法法 步步 骤骤.53单单 纯纯 形形 表表.

28、54特例特例.55.56.57.58v思路总结：思路总结：.59例1 模型与求解 2134maxxxz16002221 xx25005.2521xx1x02xs.t.,4001x数学模型.60标准化0,40025005.2516002200034max515142132154321xxxxxxxxxxxxxxxz.61单纯形表法求解430000001600250040025122.50100010001800500400043000jcBCBxbB11x2x3x4x5x3x4x5xjjjzc.62第一次换基迭代4300000480050040000122.50100010-2-51400200

29、160003000jcBCBxbB11x2x3x4x5x3x4x1xjjjzc.63第二次换基迭代43000034400200400001010100-0.80.402-212004002200000-1.22jcBCBxbB11x2x3x4x5x3x2x1xjjjzc.64第三次换基迭代：最优解430000342006002000010100.51-0.5-0.4-0.40.4100260000-1-0.40jcBCBxbB11x2x3x4x5x5x2x1xjjjzc.65例例2.66.67.68.69.70.71灵灵 敏敏 度度 分分 析析研究对象研究对象:.72 改变价值向量改变价值向量

30、 改变右端向量改变右端向量 改变矩阵改变矩阵 增加新变量增加新变量 增加新的不等式约束增加新的不等式约束 增加新的等式约束增加新的等式约束.73概概 况况 信息的不确定性信息的不确定性 信息的变化：信息的变化：价值向量价值向量市场变化市场变化 右端向量右端向量资源变化资源变化 系数矩阵系数矩阵技术进步技术进步 认知的误差认知的误差 分析方法分析方法 静态分析静态分析-比较静态分析比较静态分析-动态分析动态分析.74vC的变化只影响检验数（对偶问题的解），不影的变化只影响检验数（对偶问题的解），不影响原问题的基本解；响原问题的基本解；vb的变化只影响原问题的基本解，不影响检验数的变化只影响原问题

31、的基本解，不影响检验数（对偶问题的解）；（对偶问题的解）；v灵敏度分析时，要弄清楚：灵敏度分析时，要弄清楚：1）系数在什么范围）系数在什么范围内变化时，最优解（基）不变；内变化时，最优解（基）不变；2）若系数的变）若系数的变化使最优解发生变化，如何最简便地求得新最化使最优解发生变化，如何最简便地求得新最优解。优解。系数变化对解的结果的影响系数变化对解的结果的影响.75计计 算算 软软 件件 LinGo Matlab.76人力资源分配问题人力资源分配问题 某个中型百货商场对售货人员（周工资某个中型百货商场对售货人员（周工资200元）的需求经统计如下表元）的需求经统计如下表 为了保证销售人员充分休

32、息，销售人员为了保证销售人员充分休息，销售人员每周工作每周工作5天，休息天，休息2天。问应如何安排天。问应如何安排销售人员的工作时间，使得所配售货人销售人员的工作时间，使得所配售货人员的总费用最小？员的总费用最小？星期星期一一二二三三四四五五六六七七人数人数12151214161819.77模模 型型 假假 设设 每天工作每天工作8小时，不考虑夜班的情小时，不考虑夜班的情况；况；每个人的休息时间为连续的两天每个人的休息时间为连续的两天时间；时间；每天安排的人员数不得低于需求每天安排的人员数不得低于需求量，但可以超过需求量量，但可以超过需求量.78问问 题题 分分 析析因素因素：不可变因素：需求

33、量、休息时间、单位：不可变因素：需求量、休息时间、单位费用；可变因素：安排的人数、每人工作的费用；可变因素：安排的人数、每人工作的时间、总费用；时间、总费用；方案方案：确定每天工作的人数，由于连续休息：确定每天工作的人数，由于连续休息2天，天，当确定每个人开始休息的时间就等于知道工当确定每个人开始休息的时间就等于知道工作的时间，因而确定每天开始休息的人数就作的时间，因而确定每天开始休息的人数就知道每天开始工作的人数，从而求出每天工知道每天开始工作的人数，从而求出每天工作的人数。作的人数。变量变量：每天开始休息的人数：每天开始休息的人数 约束条件约束条件：1.每人休息时间每人休息时间2天，自然满

34、足。天，自然满足。2.每天工作人数不低于需求量，第每天工作人数不低于需求量，第i天工作天工作的人数就是从第的人数就是从第i-2天往前数天往前数5天内开始工作天内开始工作的人数，所以有约束：的人数，所以有约束：7,.,2,1,ixi.791265432xxxxx 1576543xxxxx 1217654xxxxx 1421765xxxxx 1632176xxxxx 1843217xxxxx 1954321xxxxx 3.变量非负约束：变量非负约束：7,.,2,1,0ixi.80目标函数目标函数：总费用最小，总费用与使总费用最小，总费用与使用的总人数成正比。由于每个人必然在用的总人数成正比。由于每

35、个人必然在且仅在某一天开始休息，所以总人数等且仅在某一天开始休息，所以总人数等于于 71iix.81模模 型型.82计计 算算.83运行结果运行结果.84Matlab计算及结果计算及结果.85配配 料料 问问 题题 某化工厂要用三中原料混合配置某化工厂要用三中原料混合配置三种不同规格的产品各产品的规格三种不同规格的产品各产品的规格单价如表单价如表1，产品产品规格规格单价（元单价（元/公斤）公斤）A原料原料不少于不少于50%原料原料不超过不超过25%50B原料原料不少于不少于25%原料原料不超过不超过50%35C不限不限25.86问如何安排生产使得生产利润最大？问如何安排生产使得生产利润最大？原

36、料原料日最大供应量日最大供应量 单价单价(元元/公斤公斤)10065100256035原料的单价与每天最大供应量如表原料的单价与每天最大供应量如表2.87配配 料料 问问 题题 案案 例例 问题问题 问题分析问题分析 模型模型 求解求解 结果分析结果分析.88问问 题题 分分 析析 变量变量 约束条件约束条件 目标函数目标函数.89变变 量量 生产计划就是要确定每天生产三种产生产计划就是要确定每天生产三种产品的数量以及每种产品中三种原料的品的数量以及每种产品中三种原料的数量。而由于每种产品的数量等于三数量。而由于每种产品的数量等于三种原料数量之和，所以只要确定每天种原料数量之和，所以只要确定每

37、天生产三种产品分别含有的原料数量即生产三种产品分别含有的原料数量即可。所以变量就是每天生产三种产品可。所以变量就是每天生产三种产品所用的原料数，设用于生产第所用的原料数，设用于生产第 i 种产种产品的第品的第 j 种原料数为种原料数为3,2,1,3,2,1,jiijx.90约约 束束 条条 件件 规格约束规格约束0,0303,0232221232221131211131211xxxxxxxxxxxx111211121311121321222122232122230.5,0.250.25,0.5xxxxxxxxxxxxxxxx.91 资源约束资源约束60100100332313322212312

38、111xxxxxxxxx约约 束束 条条 件件.92目标函数目标函数)(25)(35)(50333231232221131211xxxxxxxxx)(35)(25)(65332313322212312111xxxxxxxxx总产值总产值总成本总成本总利润总利润=总产值总产值-总成本总成本.933331222113121133231332221231211133323123222113121110401030152515)(35)(25)(65)(25)(35)(50 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx.94模模 型型3,2,1,3,2,1,060100100003030.10401030152515max33231332221231211123222123222113121113121133312221131211jixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxt sxxxxxxxij.95求求 解解.96.