金融衍生工具-期权定价课件.ppt

1、Fundamentals of Futures and Options Markets,7th Ed,Ch 1,Copyright John C.Hull 2010期权定价1主要内容n期权价值的构成：内在价值与时间价值n期权价格的影响因素（影响方向）n期权价格的上限与下限n看涨期权与看跌期权的平价关系n二叉树模型nB-S期权定价模型n期权价格敏感性指标（影响程度）n作业假设与符号n假设n不存在交易成本。n所有交易盈利都适用同一税率。n投资者进行无风险借贷或者投资的利率是一样的。n符号nSt:当期t股票价格nK：施权价格nT：期权到期的时点nt：当期时点nST：时点T的股票价格nr：无风险利率n

2、：股票收益率波动的标准差nc,C：欧式及美式看涨期权价格np,P：欧式及美式看跌期权价格nD:期权期限内股息在t 时的贴现值期权价值的构成：内在价值与时间价值n期权价值PVt取决于以下两个方面PV=内在价值IV+时间价值TVn内在价值IV(只有实值期权的内在价值大于零)在履行期权合约时可获得的总利润，当处于虚值为0对于看涨期权，IV=Max(0,St-K)对于看跌期权，IV=Max(0,K-St)严格地讲，应该把收益折现到目前时刻tn时间价值TV为期权合约剩余有效期可能带来的期权增值而付的期权费，其与剩余有效期成正比，与未来价格波动成正比期权价格的影响因素（影响方向）n哪些因素会影响期权价格呢

3、？除期权的供求关系外，影响期权内在价值及时间价值的因素n影响期权价格的因素影响持有者现在的收益及未来可能增值水平的所有因素标的资产市场价格St、执行价格K、资产收益（分派股息）标的资产未来价格波动率、剩余有效期（T-t）、无风险利率r现货价格St与执行价格Kn期权内在价值：对于看涨期权，IV=Max(0,St-K)对于看跌期权，IV=Max(0,K-St)n现货价格对于看涨期权来说，现货价格越高，到期时盈利的可能数额也就越高，因而期权价格就越高。对于看跌期权来说，现货价格越高，到期时盈利的可能数额也就越低，因而期权价格越低。n执行价格对于看涨期权来说，施权价越高，到期时的盈利空间越低，从而期权

4、价格越低。对于看跌期权来说，施权价越高，到期时的盈利空间越高，从而期权价格越高。标的资产收益（如派发股息）n标的资产将支付股息将使资产价格如何变化？资产价格将下降n资产价格下降怎样影响期权的价格呢?对于看涨期权来说，期权获利能力变弱，期权价格降低。对于看跌期权来说，期权获利能力变强，期权价格提升。标的资产未来价格波动率与剩余有效期（T-t）n标的资产未来价格波动率期权的特点在于以较低的价格规避了不利风险，同时保留了有利风险。不管是对于哪一种期权来说，价格波动性越剧烈，盈利的可能性就越高，期权价格也越高。n剩余有效期（T-t）对于欧式期权来说，由于施行期权的时点是唯一，对于欧式期权来说，由于施行

5、期权的时点是唯一，因此期限越长对期权的拥有者来说不一定越好。因此期限越长对期权的拥有者来说不一定越好。比如在T1之后（S，(C S)如何套利呢卖出一个看涨期权，收入c（C），买入一个现货，支出S到时至少还收获K看跌期权价格的上限（欧式、美式都适用）n看跌期权的价值PV（施权价）PV（股票价格）p Ke-r(T-t),(P K)n如何理解上限Ke-r(T-t)（K）近似理解为多头（需求方）的最大效用n当 p Ke-r(T-t)，(PK)如何套利呢卖出一个看跌期权，收入p（P）到时最多支出K分析思路n在无套利情况下，两个投资组合的收益收益与成本应该保持一致。收益高的组合，理应成本高成本高的组合，理

6、应收益高成本相等，理应收益相等收益相等，理应成本相等n否则，以上均存在套利空间套利策略：借入效率低的组合后卖掉，买入效率高的组合获得收益后，还借入的低效率组合 或直接卖掉已拥有的效率低的组合，买入效率高的组合欧式（美式）看涨期权的下限两个资产组合（锁定未来拥有一个股票的价格）组合组合A A:一个欧式看涨期权多头+期权到期时K收入的零息债券多头组合组合B:B:买入买入欧式看涨期权对应的股票n 到期时组合A的价值Max(St K)=组合B的价值St,无套利情况下，组合A的成本组合B的成本 c+Ke-r(T-t)=S，从而，c =S-Ke-r(T-t)n怎么理解下限max(S-Ke-r(T-t),0

7、)近似看成看涨期权空头的提供期权产品的净成本n美式看涨期权的下限 max(S-Ke-r(T-t),0)CcS-Ke-r(T-t),CS-K,S-Ke-r(T-t)S-K欧式美式看涨期权下限：套利例子n假设股票A现价20元，某欧式看涨期权施权价为18元，离到期还有一年时间（期间无股息），无风险利率为10%，问该看涨期权的最低价格是多少？假如该期权目前报价3.00元，你将如何操作进行套利？n 该看涨期权的价值下限为SKe-r(T-t)2018e-0.113.71 报价低于价值下限，即c S-Ke-r(T-t)c+Ke-r(T-t)Kn 思路n 借入股票后卖掉，获得S(20)元，买入看涨期权，支出c

8、(3)元，并将S-c（17）元按无风险利率借贷出去，收益大于到期时股票最高购买价K.n若对于美式看涨期权，当c+K=组合D的价值K无套利情况下，组合A的成本组合B的成本 p+S=Ke-r(T-t),p =Ke-r(T-t)-Sn如何理解下限max(Ke-r(T-t)-S,0)近似看成看跌期权空头的提供期权产品的净成本n美式看跌期权的下限max(K-S,0)PpKe-r(T-t)-S,PK-S,K-SKe-r(T-t)-S欧式美式看跌期权下限：套利例子n假设股票A现价20元，某欧式看跌期权施权价为24元，离到期还有一年时间，无风险利率为10%，问该看跌期权的最低价格是多少？假如该期权目前报价1.

9、00元，你将如何操作进行套利？n 该看涨期权的价值下限为Ke-r(T-t)S24e-0.1201.71 报价低于价值下限，即p Ke-r(T-t)-Sp+S Ke-r(T-t)，(p+S)er(T-t)Kn 思路借入p+S（21），购买股票和看跌期权，期权到期时卖出股票收益至少为K（24），只需还(p+S)er(T-t)。n若美式看跌期权的市场价pK，则组合A和组合B的价值均为ST 如果STK，则组合A和组合B的价值均为Kn无套利情况下，组合A的成本=组合c的成本c+Ke-r(T-t)=p+S n如果股票在持有期有股息现值I组合A中的零息债券变为到期时有（K+Ier(T-t)）收入c+Ke-r

10、(T-t)+I=p+S 复合证券（持有期间无股息时）n无套利时的平价关系c+Ke-r(T-t)=p+S n平价关系的变形c=p+S-Ke-r(T-t)p=c+Ke-r(T-t)-SS=c+Ke-r(T-t)-p Ke-r(T-t)=p+S-cS-c=Ke-r(T-t)-p.n平价关系应用一（如c=p+S-Ke-r(T-t)）间接计算期权、标现货及无风险证券的合理价格（成本）n平价关系应用二：分解组合从而复制（如S-c=Ke-r(T-t)-p）等式右边表示（存入Ke-r(T-t)，做空看跌期权）组合的成本等式左边表示（做多现货，做空看涨期权）组合的成本可以证明二者的到期时损益一样（移项相当于在基

11、础公式两边加减同样的成本，也相当于在策略A与B的基础上增加同一个投资品，最终的收益当然一样）看跌看涨平价关系式 -欧式期权(套利例子一)n 某股票现价为20元，施权价为21元，离到期尚有一年的欧式看涨和看跌期权价格分别为3.00元和1.00元，无风险利率为10%，问以上数据是否符合期权平价公式，如果不是，你将如何进行套利？组合A成本c+Ke-r(T-t）=3.0020e-0.121.10组合B成本p+S=1+2021，组合A成本大于组合Bn套利策略c+Ke-r(T-t）p+S ，(p+S-c)er(T-t）K,大收小支法1卖出看涨期权收获c，再借入 Ke-r(T-t），用p+S买入看跌期权和股

12、票，到期时支出与收益相同。法2卖掉股票和看跌期权，购买看涨期权，余下的钱购买无风险证券，到期最多花K买入股票归还看跌看涨平价关系式 -欧式期权(套利例子二)n 某股票现价为20元，施权价为20元，离到期尚有一年的欧式看涨和看跌期权价格分别为2.00元和1.00元，无风险利率为10%，问以上数据是否符合期权平价公式，如果不是，你将如何进行套利？组合A成本c+Ke-r(T-t）+D=2.0020e-0.120.10组合B成本p+S=201.0021.00，组合A成本小于组合Bn套利策略：c+Ke-r(T-t）K n 同前例子一 看跌看涨平价关系式 美式期权(没有股息时)n可以证明S-K CP 2）

13、n相关参数的求解n其它标的物期权定价n美式期权二叉树定价定价未来收益为常数的证券组合收益n现在用S购买一个证券组合，未来T时刻的证券组合收益在任何情况下均为常数Sc。请问该证券组合的合理收益率应该是多少应该是无风险利率，否则存在套利空间1在同样收益下，用低效率策略借钱，用部分钱做多高效率的组合，未来以高效率组合的收益抵消低效率策略的支出2以低效率借钱，用在高效率上，未来以高效率部分收益归还低效率借钱成本n如何构造无风险收益证券组合？在未来每一种情况下证券组合的收益均相等n例子：D为多少时，组合（D股股票多头+1看涨期权空头）才是无风险收益证券组合呢？假设各证券收益均服从两点分布，此时一份期权只

14、包括一股股票。美式期权二叉树定价（对于看涨看跌均成立，D可正可负）n股票当前价格为21美元，2年后股价要么23美元，要么18美元，无风险利率为8%。请问行使价格为22美元的期限为2年后的美式式看涨期权的当前价格f是多少？（到期日的内在价值等于期权价格）n美式期权可以到期前在任意时刻行权，在二叉树假设下，美式期权除了和欧式一样在到期时行权（价值同欧式期权），也可以在签定合约时马上行权（MAX(0,S0-K)）。美式期权的价值就是这两类选择价值的最大值。n本题中到期行权价值为前面中的欧式期权价格f0n,马上行权的价值为0，所以该美式期权价格为f0欧式期权二叉树定价（对于看涨看跌均成立，D可正可负）

15、n股票当前价格为S(21)美元。T时后（2年后）股价要么Su(23)美元，此时期权价格为u，要么Sd(18)美元，此时期权价格为d。无风险利率为r(8%)。请期限为T的欧式期权的当前价格f是多少？n方法1构造无风险收益组合：D股股票多头+1期权空头 SuD u=SdD d，2无风险收益组合的收益率等于无风险利率（S D f）erT=SdD d ,f=SdSufdu=DFundamentals of Futures and Options Markets,7th Ed,Ch 1,Copyright John C.Hull 2010对风险中性世界相关概念的理解和应用n对于二叉树定价公式的理解n风险

16、中性世界中，任何证券或组合价格要么以概率p上升为S0u，要么以概率1-p下降到S0d,可证其预期收益率为无风险收益率n应用先用无风险收益组合中的标的价格求p，再求f例子：用期权标的物（股票）32)1(durTfppfef+=dudeprT=SdppSuSET)1()(+=rTTSeSE=)(Fundamentals of Futures and Options Markets,7th Ed,Ch 1,Copyright John C.Hull 2010增加二叉树的时间步数n一步二叉树的不足只利用了现在与到期时（对冲时）的数据，精确度不高，尤其是离到期或对冲较远时；到期时只有两个情境，与现实差异

17、大。n多步二叉树（到期时3个以上的情境）把期权的期限分割成N段（N1）,从前往后，第i段有至多2i个二叉树，从后往前依次计算各段的期权价格。n二步二叉树例子股票当前价格为21美元，1年后股价要么23美元，要么18美元。如果1年后股价为23（18）美元，2年后股价要么25（23）美元，要么17（15）美元。无风险利率为8%。请问行使价格为22美元的期限为2年的欧式看涨期权的当前价格f是多少？33多步欧式期权二叉树定价（一般）：三步为例（其它类似）)1(uduutrufppfef+=D)1(ddudtrdfppfef+=D)1(dutrfppfef+=D)1()1(2222dduduutrfpfp

18、pfpef+=DSfSufuSdfdSuufuuSddfddSudfud从最后的节点往前按单步二叉树计算34看跌期权的定价与套利n股票当前价格为21美元，3个月后股价要么23美元（fu），要么18美元(fd)，无风险利率为8%。请问行使价格为22美元的期限为3个月后的欧式看跌期权的当前价格f是多少？（到期日的内在价值等于期权价格）n法一：构造无风险组合计算D股股票多头+1份看跌期权空头（D为负）n法二：看涨看跌平价公式c+Ke-r(T-t)=p+S n法三：期权期望值的无风险折现方法n若该期权市场价ff0,如何套利呢？组合的收益率大于无风险收益率，用无风险收益率借入资金21Df0，做多N份（1

19、）组合成本，到期时一份组合的收益刚好用于还本付息。n若该期权市场价f1）组合成本，到期时一份组合的收益刚好用于还本付息。n若该期权市场价f(=+=FrdtdFFrdtdF=,222212VVVr SSr VtSS+=几种不同情况下的期权定价模型几种不同情况下的期权定价模型现货欧式看涨期权的定价模型现货欧式看涨期权的定价模型()()21dNKedSNcrT=TTrKSd+=2ln21TdTTrKSd=+=1222ln几种不同情况下的期权定价模型几种不同情况下的期权定价模型期货欧式看涨期权的定价模型期货欧式看涨期权的定价模型()()rTedKNdFNc=21TTKFd2ln21+=Tdd=12几种

20、不同情况下的期权定价模型几种不同情况下的期权定价模型欧式看跌期权的定价模型欧式看跌期权的定价模型()()()()()()12212111dSNdNKedNKedNSKeSdNKedSNKeScprTrTrTrTrT=+=+=+=()()()()()()()()1212212111dNFedNKedNFedNKeFeKeedKNedFNFeKeedKNdFNFeKecprTrTrTrTrTrTrTrTrTrTrTrTrT=+=+=+=+=如何获得B-S期权定价公式的参数n知道所有参数可以求期权价格标的资产市场价格、执行价格、到期时间、无风险利率和资产价格波动率n除资产价格波动率外，其它数值容易获

21、得n资产价格波动率1历史波动率（历史收益率的标准差）I n(si/si-1)近似收益率，计算出方差年方差=方差365/数据周期2隐含波动率（利用相同标的期权相关数据和定价公式反求示的波动率）对B-S期权定价公式的理解n期权价格及投资组合价格风险期权价格未来可能会发生变化n哪些因素会导致未来期权价格变化？标的资产市场价格、执行价格、到期时间、无风险利率和资产价格波动率n这些因素对期权价格的影响方向n这些因素对期权价格的影响程度金融期权价格敏感性指标期权价格敏感性指标（影响程度）n随着到期日的临近，n对于相B-S期权定价公式进行一阶及二阶求导n然后带入目前相关参数即可nDelta中性等希腊字母中性的含义组合Delta中性等希腊字母等于0组合收益不受现货价格等因素影响通过中性组合构造减少了组合的收益风险n标的物的Delta、1、0、0n期权的希腊字母用B-S求导n组合的希腊字母基础证券的希腊字母的线性组合影响期权价格的因素 10.1（欧式）看涨看跌平价关系 10.24 二叉树定价 12.21美式期权二叉树定价