系统仿真技术第2章经典的连续系统仿真建模方法学课件.ppt
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- 系统 仿真技术 经典 连续 仿真 建模 方法 课件
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1、系统仿真技术第第2章章 经典的连续系统仿真建模方法学经典的连续系统仿真建模方法学 xx合肥工业大学机械与汽车工程学院1感谢你的观看2019年8月32.1 离散化原理及要求离散化原理及要求 v问题:数字计算机在数值及时间上的问题:数字计算机在数值及时间上的离散性离散性-被仿真系统数值及时间上的被仿真系统数值及时间上的连续性连续性?v连续系统的仿真,从本质上:对原连续系统连续系统的仿真,从本质上:对原连续系统从时间、数值两个方面从时间、数值两个方面进行离散化进行离散化并选择合并选择合适的数值计算方法来适的数值计算方法来近似近似积分运算积分运算 v 离散模型离散模型原连续模型?原连续模型?2感谢你的
2、观看2019年8月3相似原理相似原理 设系统模型为:设系统模型为:,其中,其中u(t)为输为输入变量,入变量,y(t)为系统变量;令仿真时间间隔为为系统变量;令仿真时间间隔为h,离散化后的输入变量为,离散化后的输入变量为 ,系统变量,系统变量为为 ,其中,其中 表示表示t=nh。如果如果 ,且即即 ,(对所有(对所有n=0,1,2,)则可认为两模型等价。则可认为两模型等价。),(tuyfy)(ntu)(ntynt)()(nntutu)()(nntyty0)()()(nnnututute0)()()(nnnytytyte3感谢你的观看2019年8月3u(t)h y(t)-+图图2.1 2.1 相
3、似原理相似原理原连续模型),(tuyfy 仿真模型),(ntuyfy)(nty0)(nyte)(ntu4感谢你的观看2019年8月3对仿真建模方法三个基本要求对仿真建模方法三个基本要求 (1)稳定性稳定性:若原连续系统是稳定的,则离散化:若原连续系统是稳定的,则离散化后后得到的仿真模型也应是稳定的。得到的仿真模型也应是稳定的。(2)准确性准确性:有不同的准确性评价准则,最基本:有不同的准确性评价准则,最基本的的准则是:准则是:v绝对误差准则:绝对误差准则:v相对误差准则:相对误差准则:其中其中 规定精度的误差量。规定精度的误差量。)()()(nnnytytyte)()()()(nnnnytyt
4、ytyte5感谢你的观看2019年8月3对仿真建模方法三个基本要求对仿真建模方法三个基本要求(续续)(3)快速性快速性:若第:若第n步计算对应的系统时间间隔步计算对应的系统时间间隔为为 计算机由计算需要的时间为计算机由计算需要的时间为Tn,若,若 Tn=hn 称为称为实时仿真实时仿真,Tn hn称为称为超实时仿真超实时仿真 Tn hn 称为称为亚实时仿真亚实时仿真,对应于,对应于离线仿真离线仿真,1nnntth6感谢你的观看2019年8月3数值积分算法数值积分算法 对对 ,已知系统变量,已知系统变量y的初始条件的初始条件要求要求y随时间变化的过程随时间变化的过程初值问题初值问题 计算过程:由初
5、始点计算过程:由初始点 的的 欧拉法欧拉法对任意时刻对任意时刻tn+1 截断误差正比于截断误差正比于 ),(tuyfy 00)(yty00)(yty)(00ytf,ttdtytfyty0),()(0yy tytf ty11000()(),)()()(111nnnnnnnytfttytyy,h2f(t,y)f(t0,yo)ttt0t17感谢你的观看2019年8月3数值积分算法(续)数值积分算法(续)梯形法梯形法:是隐函数形式。预报是隐函数形式。预报欧拉法估计初值,校欧拉法估计初值,校正正用梯形法校正:用梯形法校正:v 校正公式校正公式 v 预报公式预报公式 反复迭代,直到满足反复迭代,直到满足经
6、典的数值积分法分为两类:单步法与多步法经典的数值积分法分为两类:单步法与多步法),(),(21)(1111nnnnnnnytfytfhytyy),(),(21)(11)1(1innnnninytfytfhyy),()(1nnninytfhyyininyy1118感谢你的观看2019年8月32.2 龙格库塔法龙格库塔法 2.2.1龙格龙格-库塔法基本原理库塔法基本原理 对对 若令:若令:则有则有 的数值求解:称作的数值求解:称作“右端函数右端函数”计算问计算问题。题。在在 附近展开泰勒级数,只保留附近展开泰勒级数,只保留 项,则有:项,则有:1),()()(1nnttnndtytftyty)(n
7、ntyy 1),(QnnttndtytfnnnnyytyQ)(11nQt0h2200010)(21),(htfdtdyyfhytfyyt9感谢你的观看2019年8月3龙格龙格-库塔法基本原理(续)库塔法基本原理(续)假设这个解可以写成如下形式:假设这个解可以写成如下形式:其中其中 对对 式右端的函数展成泰勒级数,保留式右端的函数展成泰勒级数,保留h项,项,可得:可得:代入,则有:代入,则有:yya ka kh101122(),(001ytfk kf tb hyb k h201021(),k2hyfkbtfbytfkt0)(),(121002)(),(),(012100200101hyfkbtf
8、bytfhaythfayyt10感谢你的观看2019年8月3龙格龙格-库塔法基本原理(续)库塔法基本原理(续)将将(2)式与式与(1)式进行比较,可得:式进行比较,可得:四个未知数四个未知数 但只有三个方程,但只有三个方程,因此有无穷多个解。因此有无穷多个解。若限定若限定 ,则,则计算公式:计算公式:其中其中 aaa ba b122 12 211 21 2+=,/,/,2121bbaaaa12aabb1212121,)(22101kkhyy)(),(1002001hkyhtfkytfk,11感谢你的观看2019年8月3龙格龙格-库塔法基本原理(续)库塔法基本原理(续)若写成一般递推形式,即为:
9、若写成一般递推形式,即为:其中其中 (1)截断误差正比于)截断误差正比于h3,称为二阶龙格,称为二阶龙格-库塔法库塔法(简称(简称RK-2)。)。(2)截断误差正比于)截断误差正比于h5的四阶龙格的四阶龙格-库塔法(简称库塔法(简称RK-4)公式:)公式:其中:其中:)(2)(2111kkhyytynnn),(),(121hkyhtfkytfknnnn,)22(6)(432111kkkkhyytynnn),(1nnytfk)22(12khyhtfknn,)22(23khyhtfknn,)(34hkyhtfknn,12感谢你的观看2019年8月32.2.2龙格龙格-库塔法的特点库塔法的特点 1.
10、形式多样性形式多样性 例:例:非唯一解,可以得到许多非唯一解,可以得到许多种龙格种龙格-库塔公式:库塔公式:(中点公式中点公式)其中其中 各种龙格各种龙格-库塔法可以写成如下一般形式:库塔法可以写成如下一般形式:其中其中 2121bbaa,hkyynn21),(1nnytfk)22(12khyhtfknn,siiinnkChyy11)(11ijjijninikbhyhatfk,si,2113感谢你的观看2019年8月3龙格龙格-库塔法的特点库塔法的特点(续)续)式中各系数满足以下关系式中各系数满足以下关系 s称为级数,表示每步计算右端函数称为级数,表示每步计算右端函数f的最少次数。的最少次数。
11、可以证明,可以证明,1阶公式至少要计算一次,阶公式至少要计算一次,2阶公式阶公式 ;.;4阶公式阶公式 ;依此类推。有时为了某种特殊;依此类推。有时为了某种特殊需要,可以选择需要,可以选择 的计算公式。的计算公式。aabisCiijjiiis11110231,smin 2smin 4minss 14感谢你的观看2019年8月3龙格龙格-库塔法的特点库塔法的特点(续)续)2.单步法单步法 在计算在计算 时只用到时只用到 ,而不直接用,而不直接用 等等项。优点:存储量减小,可以自启动项。优点:存储量减小,可以自启动.3.可变步长可变步长 步长步长h在整个计算中并不要求固定,可以根据精度在整个计算中
12、并不要求固定,可以根据精度要求改变要求改变,但是在一步中,为计算若干个系数但是在一步中,为计算若干个系数 ,则则必须用同一个步长必须用同一个步长h。1nyny21nnyy,ik15感谢你的观看2019年8月3龙格龙格-库塔法的特点库塔法的特点(续)续)4.速度与精度速度与精度 四阶方法的四阶方法的h可以比二阶方法的可以比二阶方法的h大大10倍,每步计倍,每步计算量仅比二阶方法大一倍,高于四阶的方法由于每步算量仅比二阶方法大一倍,高于四阶的方法由于每步计算量将增加较多,而精度提高不快。计算量将增加较多,而精度提高不快。16感谢你的观看2019年8月32.2.3 实时龙格库塔法实时龙格库塔法 实时
13、仿真实时仿真:要求仿真模型的运行速度往往与实际:要求仿真模型的运行速度往往与实际系统运行的速度保持一致。系统运行的速度保持一致。一般的数值积分法一般的数值积分法难以满足难以满足实时仿真的要求,这实时仿真的要求,这不仅仅是因为由这些方法所得到的模型的执行速度较不仅仅是因为由这些方法所得到的模型的执行速度较慢,而且这些方法的机理不符合实时仿真的特点。慢,而且这些方法的机理不符合实时仿真的特点。考虑系统考虑系统)(tuyfdtdy,17感谢你的观看2019年8月3实时龙格库塔法实时龙格库塔法(续)续)RK-2公式如下:公式如下:一个计算步内分两子步:一个计算步内分两子步:vtn时刻:利用当前的时刻:
14、利用当前的un,yn计算计算k1-计算一次右端函数计算一次右端函数f需需 。vtn+h/2时刻:应计算时刻:应计算k2,尽管此时,尽管此时yn+1/2已经得到,但已经得到,但un+1则无法得到。则无法得到。(若对若对un+1也进行预报也进行预报加大仿真误差加大仿真误差)。仿。仿真执行延迟真执行延迟h/2输出要迟后半个计算步距。输出要迟后半个计算步距。),(),()(211121211hkyutfkyutfkkkhyynnnnnnnnh/218感谢你的观看2019年8月3实时龙格库塔法实时龙格库塔法(续)续)RK-2 2的计算流程的计算流程并输出计算1ny1nu采入1k计算nt2htn1nnth
15、t21htn21nntht2k计算1k计算下一个19感谢你的观看2019年8月3实时龙格库塔法实时龙格库塔法(续)续)实时实时2阶龙格库塔法:阶龙格库塔法:tn时刻,应计算时刻,应计算k1,利用当前的,利用当前的un,yn,需要,需要 ;tn+h/2时刻,应计算时刻,应计算k2,此时,此时yn+1/2已经得到,已经得到,un+1/2也也可得到,可得到,k2的计算就不会引入新的误差。计算一次右的计算就不会引入新的误差。计算一次右端函数端函数 需要需要 ,可实时输出,可实时输出yn+1。)2,(),(12/12/12121khyutfkyutfkhkyynnnnnnnnh/2fh/220感谢你的观
16、看2019年8月3实时龙格库塔法实时龙格库塔法(续)续)实时实时RK-2RK-2公式计算流程公式计算流程)2/(htun采入并输出计算1nynt2htn1nntht21htn21nntht1k计算2k计算1k计算下一个21感谢你的观看2019年8月32.3 线性多步法线性多步法 2.3.1 线性多步法基本原理线性多步法基本原理 基本原理基本原理:利用一个多项式去匹配变量若干已知:利用一个多项式去匹配变量若干已知值和它们的导数值。值和它们的导数值。设:设:时刻的时刻的 和和 已知已知;预报:由预报:由 和和 来计算来计算 校正:若校正:若 也已知,由它们来计算也已知,由它们来计算 tttnnn
17、k,11yyynnn k,11,yyynnn k 11yyynnn k,11,yyynnn k 11yyn kn k,kny yn k22感谢你的观看2019年8月3线性多步法线性多步法(续续)采用的多项式具有以下形式采用的多项式具有以下形式(m阶阶)其中:其中:是待定系数,是待定系数,在在 时刻,时刻,可得到:,可得到:(2-1)ytdtthdytidtthidmin kiiiimimmhin kimihiiim()()00111111dihttkntn k0ydn k0 ydn kh 1123感谢你的观看2019年8月3线性多步法线性多步法(续续)由由 和和 确定确定 ,需要需要m+1个独
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