基本动力学方程培训课件.ppt
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1、4.定轴转动的基本动力学方程定轴转动的基本动力学方程2()()nGnGtG tGFm amrFm amrzMzI牛顿第二定律牛顿第二定律刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律Fmaa mIz质点惯性的量度质点惯性的量度刚体转动惯性的量度刚体转动惯性的量度2zi iImr刚体对转轴的转动惯量刚体对转轴的转动惯量izzMIMechanics Of Rigid Bodies22zmVIr dmrdV刚体对转轴刚体对转轴z的转动惯量:的转动惯量:2zi iImr如果刚体质量连续分布:如果刚体质量连续分布:mi dm,q与刚体的质量有关与刚体的质量有关q 依赖于刚体中质量的分布依赖于刚体中质量的分
2、布质量分质量分布的离转轴越远,转动惯量越大布的离转轴越远,转动惯量越大;q与转轴的位置有关与转轴的位置有关;Unit:kgm2Dimension:ML2特性:特性:r:质元质元dm到转轴的距离到转轴的距离dmr21INi iimrdmr2I 遍及刚体中所遍及刚体中所有质元的积分有质元的积分一维刚体一维刚体(细棒,忽略棒的粗细)细棒,忽略棒的粗细):dm=dx二维刚体二维刚体(刚体为无限薄的面刚体为无限薄的面):dm=dA三维刚体三维刚体:dm=dVdmrrimizz圆环圆环I=mR2 RmO 圆柱圆柱 221mRI LR2121mlI 细圆棒细圆棒l132Iml细圆棒细圆棒lR圆球圆球 252
3、mRI 球壳球壳R232mRI 圆筒圆筒)(212221RRmI R2R1l质量为质量为m的刚体对质心轴的转动惯量:的刚体对质心轴的转动惯量:ICl刚体对与质心轴平行的转轴刚体对与质心轴平行的转轴 z 的转动惯量:的转动惯量:Iz=IC+md2平行轴定理平行轴定理质心轴质心轴:通过刚体质心的转轴通过刚体质心的转轴d:两轴间的垂直距离:两轴间的垂直距离CdzIzICzCoxyzyxdm(xc,yc,zc)(x,y,z)(x,y,z)dProof:dmyxdmrIz)(222代入代入 x=x+xC 和和 y=y+yC 得得222222222)()()()(mdIdmyydmxxdmyxdmyxdm
4、yyxxICCCCCCCzICmd20Cxm0Cym例:细杆,对过杆的一端且与杆垂直的轴例:细杆,对过杆的一端且与杆垂直的轴IEND=IC+md2Ld=L/2mxCM2121ImLC222312121ImLLmmLENDICIEND 刚体是厚度为无穷小的薄板刚体是厚度为无穷小的薄板建立建立O-xyz坐标系,坐标系,z轴垂直于薄板平面,轴垂直于薄板平面,x和和y轴位于薄板平轴位于薄板平面内面内Iz=Ix+IyzyxO 垂直轴定理垂直轴定理Proof:zyxroxydmxyzIIdmzydmzxdmydmxdmyxdmrI)()()(222222222 z=0IyIxMab例例:2121MaIy2
5、121MbIx)(22121baMIz如果刚体是由一些简单的几何体如果刚体是由一些简单的几何体(如圆盘、球、细杆如圆盘、球、细杆)组成,组成,则刚体对任意轴的转动惯量可用以下方法求得则刚体对任意轴的转动惯量可用以下方法求得:2.刚体的总转动惯量等于各部分转动惯量之和刚体的总转动惯量等于各部分转动惯量之和1.先求出各个部分对该转轴的转动惯量;先求出各个部分对该转轴的转动惯量;RRM例例:2RM RRMM-MRRMRM4122222 222212213213)2()2(MRRMRMMRIMechanics Of Rigid BodiesABDWGGABDW刚体处于不同方位时刚体处于不同方位时,重力
6、作重力作用线都要通过的那一点用线都要通过的那一点.()0GiiiGiiiGiMrWrrWrWrWGiWWGririrOiiWk,WWkiiWW i iGrkrkWWi iGrrWWgmWii 重心坐标与质心坐标同重心坐标与质心坐标同Mechanics Of Rigid BodiesOLBvsvBOLBvsvB=0角动量守恒恢复系数角动量守恒恢复系数质点和刚体组成的系统:质点和刚体组成的系统:对转轴的角动量守恒对转轴的角动量守恒动量守恒?动量守恒?Mmm对定轴对定轴O的角动量守恒的角动量守恒:OLBvsvBOLBvsvB=0恢复系数恢复系数:OssILmLmvv231MLIOMmsBssBeev
7、vvvv)(LB vMechanics Of Rigid Bodiesu基本动力学方程基本动力学方程FaMizizCmI求解刚体定轴转动的动力学问题的方法:求解刚体定轴转动的动力学问题的方法:力力-质量质量-加速度方法加速度方法+冲量冲量-动量方法:动量方法:u利用牛顿运动定律描述问题中质点的运动利用牛顿运动定律描述问题中质点的运动u刚体对固定轴的转动惯量刚体对固定轴的转动惯量Izu定轴转动中角量与线量之间的关系:定轴转动中角量与线量之间的关系:rv2aatnrrizCzidtmdtI FMv1T2T理想滑轮:理想滑轮:12TT1T2TRm,Ia2112a=RTTT RT RI例题例题 7.3
8、-1(课本课本228页,例题页,例题4)放水用的弧形闸门,半径为放水用的弧形闸门,半径为R,质量为,质量为m,质心,质心C距转轴距转轴O的距的距离为离为 ,对,对O轴的转动惯量为轴的转动惯量为 ,开始提升闸门时开始提升闸门时,弧弧形部分加速度形部分加速度 ,(不计摩擦不计摩擦),求,求23R279OImRa0.1g求开始提升时的瞬时,钢丝绳求开始提升时的瞬时,钢丝绳对弧形闸门的拉力和支点对闸对弧形闸门的拉力和支点对闸门钢架的支承力门钢架的支承力.若以同样加速度提升同样重量若以同样加速度提升同样重量的平板闸门需拉力是多少?的平板闸门需拉力是多少?图图(a)TF图图(b)OC23Ra0.1g解解(
9、1)以弧形闸门及钢架为隔)以弧形闸门及钢架为隔离体,受力如图所示离体,受力如图所示.建立直角坐建立直角坐标系标系Oxy,TNcmFFWaaaNxTNcxycyFmFmgFml质心运动定理质心运动定理 l转动定理转动定理22739TzF RmgRmR279OImRxyONFTFWR23RCca即起动瞬时绳对闸板的拉力为即起动瞬时绳对闸板的拉力为 ,支点,支点O 对闸门钢对闸门钢架的支承力竖直向上,大小等于架的支承力竖直向上,大小等于29mg/90.mg9067mgFy9029N mgF9067T 0N xFa0cxaR2a3cyR起动时起动时aaNxTNcxycyFmFmgFm22739TF R
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