高中数学 （人教A版2019必修第二册）第六章 平面向量及其应用 单元复习课件.pptx

1、章末小结章末小结必修第二册 第六章平面向量及其应用知识网络知识网络本章学习目标(1)(1)理解平面向量的相关概念和定理；理解平面向量的相关概念和定理；(2)(2)掌握平面向量的运算法则、运算律，能进行加法、减法、数乘、掌握平面向量的运算法则、运算律，能进行加法、减法、数乘、数量积的混合运算和坐标运算；数量积的混合运算和坐标运算；(3)(3)能用正弦定理、余弦定理解三角形，并通过边角互化解决问题；能用正弦定理、余弦定理解三角形，并通过边角互化解决问题；(4)(4)会用向量的基底法和坐标法，了解向量在物理中的应用会用向量的基底法和坐标法，了解向量在物理中的应用.知识梳理1.平面向量相关概念(1)(

2、1)数学中，既有大小又有方向的量叫做数学中，既有大小又有方向的量叫做向量向量。(2)(2)向量用向量用有向线段有向线段表示。表示。BA(3)(3)向量的表示：向量的表示：;),(ABAB记作大小的长度向量CDAB,vucba,或),(cba印刷体(4)(4)向量的模：向量的模：aa记作大小的长度向量),(),(为终点为起点 BA(5)(5)零向量：零向量：0,0记作的向量长度为(6)(6)单位向量：单位向量：e记作的向量长度为,11e00 知识梳理1.平面向量相关概念(7)(7)相等向量：相等向量：长度相等长度相等且且方向相同方向相同的向量。的向量。注：向量由模和方向确定，与起点无关.ba 记

3、作ab(8)(8)平行向量：平行向量：方向相同或相反方向相同或相反的非零向量。的非零向量。ba/记作规定：规定：零向量与任意向量平行零向量与任意向量平行./0,aa 都有即对于任意向量注：平行向量都可平移到同一条直线上，平行向量也叫共线向量。aabc两个平行向量所在直线可能平行或重合.知识梳理1.平面向量相关概念(9)(9)相反向量：相反向量：长度相等但方向相反长度相等但方向相反的向量。的向量。BABA.;BAABABaa的相反向量的相反向量为.0量之和是任一向量与其相反向0)(BAABABAB0aa.00 零向量的相反向量仍为零向量零向量的相反向量仍为零向量.0,:baba则是相反向量与若即

4、(10)(10)投影向量：投影向量：eaOAbacos1上的投影向量在.|,bbebe即同向的单位向量是与其中bbacos求投影向量“三步曲”：画图找投影，算模长比，定知识梳理2.平面向量的运算.,baba求已知非零向量ACBCABba即(1)(1)向量加法的三角形法则：向量加法的三角形法则：首尾相接，和向量由起点指向终点首尾相接，和向量由起点指向终点.OCOBOAba即(2)(2)向量加法的平行四边形法则：向量加法的平行四边形法则：同起点，和向量由起点指向对角线端点同起点，和向量由起点指向对角线端点适用于适用于不共线的向量求和不共线的向量求和.COABabba 适用于适用于任意向量求和任意向

5、量求和.推广：推广：n个个首尾相接首尾相接的向量的向量相加，其相加，其和向量和向量为为首向量首向量的起点的起点指向指向末向量的终点末向量的终点.知识梳理2.平面向量的运算向量加法的运算律：向量加法的运算律：.00:,aaaa规定对任意向量abba:交换律)()(:cbacba结合律注：多个向量的加法运算可按照任意次序、任意组合进行。(3)(3)向量减法的三角形法则：向量减法的三角形法则：同起点，差向量为连接两个向量的终点，同起点，差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量指向被减向量的终点的向量aba bABCCBACABba知识梳理2.平面向量的运算同向ba,反向ba,)/(:时等

6、号成立向量的三角不等式babababa同向ba,反向ba,)/(时等号成立babababaabba abba 知识梳理2.平面向量的运算(4)(4)向量的数乘运算：向量的数乘运算：.,:aa记作称为向量的数乘运算的乘积是一个向量与向量实数规定.,aa长度其中.,0,0:反向与时同向与时方向aaaa.4,23:反向与同向与如bbaa0,0:a时注:或之间不写与的书写aa.22,33:bbaa如aaaa4)4(,)1(:如:运算律aaa)(baba)(aa)()()()(aa向量的向量的加、减、数乘加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，其运算统称为向量的线性运算，其结果仍为向量结果仍为向量.知识梳

7、理2.平面向量的运算(5)(5)向量的数量积运算：向量的数量积运算：cos:bababa的数量积与非零向量,:的夹角与为注baAOBbOBaOA则作,.,0找两向量夹角时要先保证向量同起点同起点.ab 1,1cosbaba同向ba,:0反向ba,:ba:20ba),(为非零向量bababababa向量的数量积是实数；“”不可省略.cos=1cos=-1.00,0,:babababa或或则若对于任意向量注baba,记作的夹角知识梳理2.平面向量的运算(5)(5)向量的数量积运算：向量的数量积运算：cos:bababa的数量积与非零向量)0,(cos:bababa求夹角2sin,tan,sin,c

8、os 可求由2:aa 求模a0:规定是一实数ba00:a区分是一个向量a02)(babababa2222)(byaxbyax222)(bbaaba22)()(bababa知识梳理2.平面向量的运算向量的数量积运算的运算律：向量的数量积运算的运算律：abba:交换律)()()(:bababa结合律cbcacba)(:分配律);(0 同向为锐角或则,0ba若,0ba若:,ba对于任意非零,0ba若);(反向为钝角或则.ba 则.,0,不共线且则为钝角若baba.,0,不共线且则为锐角若baba.0,ba则为直角若知识梳理2.平面向量的运算(6)(6)向量的坐标运算向量的坐标运算.,作为基底轴同向的

9、单位向量轴、分别取与在平面直角坐标系中jiyx.,jyi xaRyxa使存在唯一的对于平面内的任一.),(的坐标叫做有序数对ayx).,(yxa 记作).3,2(,32:ajia则如)0,1(i)1,0(j)0,0(0.,轴上的坐标在叫做轴上的坐标在叫做其中yayxax知识梳理2.平面向量的运算(6)(6)向量的坐标运算向量的坐标运算.,与起点无关相等向量的坐标相同),(),(2211yxByxA终点若向量起点).,(1212yyxxAB则.的坐标相同的坐标与终点AOA).,(),(:yxOAyxA则若即终点起点终点起点:),(),(2211则若yxbyxa2121,yyxxba11,yxa2

10、121yyxxba222221212121cosyxyxyyxxbaba.0)/(1221yxyxabab共线与02121yyxxba是否共线三点CBA,是否共线与向量BCAB是否成立坐标01221yxyx知识梳理2.平面向量的运算(6)(6)向量的坐标运算向量的坐标运算.|),(22yxayxa则若2122121212)()(),(:yyxxAByyxxAB则若推论知识梳理3.平面向量的相关定理.,)0(abRaab使存在唯一的共线与(1)共线向量定理：共线向量定理：.00,0:或则若注aa.)(|的单位向量同向共线是与aaa.,0,0反向与时同向与时ababACABRCBA使存在三点共线推

11、论,:1.1,:2且使存在为直线外任意一点三点共线推论OBOAOCROCBA知识梳理3.平面向量的相关定理(2)平面向量基本定理：平面向量基本定理：,21共线向量是同一平面内的两个不若ee,a则对于该平面内的任一.,221121eea使有且只有一对实数.,21向量的一个基底叫做表示该平面内所有不共线的向量ee.,22112121eeaRaee使存在唯一的则对于任一已知基底不共线不共线知识梳理4.平面向量的应用(1)平面向量在平面几何中的应用：平面向量在平面几何中的应用：基底法基底法:题中涉及的向量用合适的基底(尽量知道模和夹角)表示ADABDE21ADABAF21几何元素几何元素平面向量平面向

12、量几何关系几何关系运算翻译表示坐标法坐标法：题中涉及的向量建系后用坐标表示并计算知识梳理4.平面向量的应用(2)平面向量在物理中的应用：平面向量在物理中的应用：力的合成力的合成:向量加法的平行四边形法则速度的合成速度的合成:向量加法的平行四边形法则力做功力做功:向量的数量积运算知识梳理4.平面向量的应用(3)余弦定理：余弦定理：,cos2,cos2,cos2222222222CabbacBaccabAbccba作用作用1 1：知两边：知两边及夹角求第三边及夹角求第三边.2cos222bcacbA.2cos222acbcaB.2cos222accbaC推论：推论：作用作用2 2：知三边：知三边求

13、任一角求任一角将将SAS数量化数量化将将SSS数量化数量化作用作用3 3：定形状：定形状222:cab如0cosB钝角则所对的边长分别是中,cbaCBAABC知识梳理4.平面向量的应用(4)正弦定理：正弦定理：则所对的边长分别是中,cbaCBAABC)2(2sinsinsin,的外接圆直径为中ABCRRCcBbAaABCbaBAsinsin1.变形：变形：CBAcbasin:sin:sin:CBAcbaAasinsinsinsinCAcasinsinBAbasinsinCBcbsinsinAbBasinsincaCAcbCBsinsin,sinsin,BcCbAcCasinsin,sinsin

14、,应用：求周长应用：求周长or各边和的各边和的范围范围2.作用：知两边及其中一边的对角求其它作用：知两边及其中一边的对角求其它 知两角一边求其它知两角一边求其它知识梳理4.平面向量的应用BABAbaBAABC2cos2cossinsin,中角化边角化边BABAABC sinsin,中BAABC2sin2sin,中.2BABA或(4)正弦定理：正弦定理：3.思想：边角互化思想：边角互化ARasin2:边化角RaA2sin:角化边CRcBRbsin2,sin2,RcCRbB2sin,2sin,边化角边化角:等式左右为等式左右为a,b,c的齐次式的齐次式角角化化边边:等式左右为等式左右为sinA,s

15、inB,sinC的齐次式的齐次式4.常见易错结论常见易错结论知识梳理5.三角形各心的向量性质0),(OCOBOAO则中线交点为重心OAOCOCOBOBOAO则高的交点为垂心),(OCOBOAOCOBOAABCO或则外接圆圆心中垂线交点和为外心222),(0),(OCcOBbOAaO则角平分线交点为内心方法与易错归纳1.判断一个量是否为向量的关键：看它是否具备向量的两要素.(1)有大小；(2)有方向向量书写时要注意起点和终点的不同；字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头2.理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的核心是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任一向量共线(2)任意两个单位向量不一

16、定相等，但是模都为1.单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆方法与易错归纳3.相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量长度相等的向量，再确定哪些是同向共线(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的终点为起点，起点为终点的向量提醒：在与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量方法与易错归纳4.作向量和时法则的选取策略(1)三角形法则可推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量(2)平行四边形法则只适用

17、于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合(3)当两个向量不共线时，两个法则实质上是一致的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半，在多个向量的加法中，利用三角形法则更为简便方法与易错归纳5.应用向量解决实际问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题6.向量减法运算的常用方法(1)可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算(2)运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要同起点方法与易

18、错归纳6.用已知向量表示其他向量的要点(1)关键关键：确定已知向量与被表示向量的转化渠道(2)注意点：注意点：注意相等向量、相反向量、共线向量与构成三角形的三向量之间的关系；注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律；注意在封闭图形中利用多边形法则(3)直接法：直接法：观察待表示的向量位置寻找相应的平行四边形或三角形运用法则找关系，化简得结果(4)方程法：方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程方法与易错归纳7.利用向量共线求参数的方法(1)判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实

19、数，使得ab(b0)(2)已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解(3)若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得的值方法与易错归纳方法与易错归纳9.用向量法解决平面几何问题的两种方法(1)几何法：尽量选取已知模或夹角的向量作为基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算方法与易错归纳10.已知两边及其夹角解三角形的方法：直接用余弦定理的公式求出第三边已知两边及其中一条边的对角解三角形的方法：(1)用余弦定理列出关

20、于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长这样可免去取舍解的麻烦(2)由正弦定理求另一边对角的正弦值若已知角为大边所对的角，则由三角形中大边对大角、大角对大边的法可判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角若已知角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角方法与易错归纳10.已知三边解三角形的方法：(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角(2)若已知三角形的三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边方法与易错归纳11.判断三角形解的个数的方法在ABC中，以a，b，A为例(1)若absin A或ab，则三角形有一解(2)若bsin Aab，则三角形有两解(3)若absin A，则三角形无解数形结合END