2023届广东省大湾区高三第一次联合模拟考试数学试卷及答案.pdf

1、大湾区联考 数学试题 第 1 页（共 6 页）启用前注意保密 20232023 届大湾区普通高中毕业班届大湾区普通高中毕业班第一次第一次联合模拟考试联合模拟考试 数 学 本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、姓名、班级、座位号和准考证号填写在答题卡上，并填涂 10 位准考证号（考号）。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定

2、区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合14Axx，03Bxx，则AB A|14xx B03xx C.13xx D04xx 2.复数z满足(1i)2iz(i为虚数单位)，则复数z A1i B1i C1i D1i 3.为深入推进“五育”并举,促进学生身心全面和谐发展，某校于上周六举办跳绳比赛.现通过简单随机抽样获得了22名学生在1分钟内的跳绳个

3、数如下（单位：个）：69 77 92 98 99 100 102 103 115 116 116 122 123 124 127 128 129 134 140 142 143 159 估计该校学生在 1 分钟内跳绳个数的第65百分位数为 A.124 B.125.5 C.127 D.127.5 4.图 1 是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高PMh，日影长PNl.图 2 是地球轴截面的示大湾区联考 数学试题 第 2 页（共 6 页）意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬23 26）

4、在某地利用一表高为2dm的圭表按图 1 方式放置后，测得日影长为2.98dm，则该地的纬度约为北纬（参考数据：tan 340.67，tan 561.49）图 1 图 2 A23 26 B32 34 C34 D56 5.函数221sinlnxyxx的图象可能为 A.B.C.D.6.已知F为双曲线:22145xy的左焦点，P为其右支上一点，点A(0,6),则APF周长的最小值为 A.264 B.564 C.266 D.566 7.与正三棱锥 6 条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为62,侧棱长为3,则此正三棱锥的棱切球半径为 A.26 B.26 C.3426 D.3426 大

5、湾区联考 数学试题 第 3 页（共 6 页）8.设数列na的前n项和为nS,11a，且*1)21(nnSanN.若对任意的正整数n,都 有12132131nnnnna ba ba ba bn成 立,则 满 足 等 式123nnbbbba的所有正整数n为 A.1或3 B.2或3 C.1或4 D.2或4 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9.已知圆C：22(1)(2)25xy,直线l：(21)(1)740mxmym,则 A.直线l过定点(3,1)B.直线l与圆C可能相

6、离 C.圆C被y轴截得的弦长为46 D.圆C被直线l截得的弦长最短时,直线l的方程为250 xy 10.函 数()c o s()0,0,|2fxAxA的 部 分 图 象 如 图 所 示,71101212ff，223f,则下列选项中正确的有 A.()fx的最小正周期为2 3 B.12fx是奇函数 C.()fx的单调递增区间为2 52,()123123kkkZ D.01212fxfx 大湾区联考 数学试题 第 4 页（共 6 页）11.随着春节的临近，小王和小张等 4 位同学准备互相送祝福.他们每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则 A.小王和小张恰好

7、互换了贺卡的概率为61 B.已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为31 C.恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为31 D.每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为85 12.已知正数a，b满足等式22(2 lnln)abba，则下列不等式中可能成立的有 A212ab B212ab C1ab D1ba 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.若函数22,0(,0)xxxaxfxxx为奇函数，则a _.14.6xyxy的展开式中34x y的系数为_（用数字作答).15.若sin 23 cos 21sin3 cosxxxx,则cos3x .16.设A,

8、B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点,且2O A.若存在,m nR,使得m A BO A与n ABO B垂直,且()()2m ABO An ABO B,则A B的最小值为 .大湾区联考 数学试题 第 5 页（共 6 页）四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10 分)已知等差数列na的各项均为正数.若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数,依次作为123,aaa,且123,aaa中任何两个数都不在同一行.第一列 第二列 第三列 第一行 4 5 11 第二行 3 10 9 第三行 8 7 6(1)求数列na的通项公式；(2)设116(1)(

9、5)nnnbaa，数列nb的前n项和为nT.求证:34nT.18.(12 分)如图,在ABC中,角,A B C的对边分别为,a b c.已知()coscoscos0bcAaBaC.（1）求角A；（2）若D为线段BC延长线上一点,且4C AD,3BDCD,求tanACB.19.(12 分)如 图,三 棱 柱111A B CA B C中,侧 面11A C C A为 矩 形，ABAC且2ABAC，D为11B C的中点,1122AAB C.（1）证明:1AC平面1A B D；（2）求平面1A B C与平面1A A D所成的夹角的余弦值.大湾区联考 数学试题 第 6 页（共 6 页）20.(12 分)在

10、数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号 1 的次数为X.（1）当6n 时，求(2)P X；（2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y，若其数学期望()E Y和方差()D Y 均存在，则对任意正实数a，有21DYPYEYaa.根据该不等式可以对事件“YEYa”的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数n的最小值.21.(12 分)设抛物线22yx,过点P的直线,PAPB分别与抛物线相切于,A B两点,且点 A在x轴下方，点B在x轴上方.（1）当点P的坐标

11、为(1,2)时,求AB；（2）点C在抛物线上,且在x轴下方，直线BC交x轴于点N.直线AB交x轴于 点M,且43AMBM.若ABC的重心在x轴上,求A B CB M NSS的最大值.22.(12 分)已知函数1()xefxx.（1）讨论()fx的单调性；（2）设,a b是两个不相等的正数，且lnlnabba，证明：ln2abab.高一数学参考答案第 1 页（共 9 页）20232023 届大湾区普通高中毕业班联合模拟考试届大湾区普通高中毕业班联合模拟考试数学参考答案数学参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.题号题号

12、1 12 23 34 45 56 67 78 8答案答案B BD DC CB BA AB BC CA A二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.题号题号9 9101011111 12 2答案答案ACACADADBCBCACAC三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.1311451512162 3四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10 分）解答：(1)由题可得1233,7,11aaa，2 分故*34(1)41()n

13、annnN.4 分(2)116(1)(5)nnnbaa且41nan，故1614(4415)(2)nbnnn n 5 分11122nn.7 分11111111111232435112nTnnnn8 分3111342124nn.10 分高一数学参考答案第 2 页（共 9 页）18.（12 分）解：（）由条件及正弦定理可得(sinsin)cossincossincos0BCAABAC1 分即sincoscossinsincoscossin0BABACACA故sin()sin()0BACA则有sin()sin()BAAC3 分又(,),(,)BACA 故有BAAC，或()()BAAC（舍去），或()(

14、)BAAC（舍去）.5 分则2BCA，又ABC所以3A.6 分（）设ACB,在ABD和ACD中,由正弦定理可得,2sin()sin()sin()sin3434BDADCDAD8 分2sin()sin()3sin()sin344BDCD9 分3sinsin()42sin()sin()34310 分3sin3 131cossin22211 分tan96 3 12 分19（12 分）高一数学参考答案第 3 页（共 9 页）解：（）连接11,AB AB交于点O,连接OD2 分111ABCABC为三棱柱11ABB A为平行四边形,点O为1AB的中点又D为11BC的中点1ACOD4 分又111,ODABD

15、 ACABD平面平面11ACABD平面.6 分（2）解解法法 1 1：AAAABAACAABCA11 11 AABBCA面111 AABBAB面1 CAAB，2222 222211ACCBAB22,2,211BBABAB121212 ABABBBABAB即7 分以A为坐标原点，ACABAB,1分别为zyx,建立空间直角坐标系，(0,0,0)A,1(2,2,0)A,(2,0,0)B,1(0,2,0)B,1(2,2,2)C,(1,2,1)D 1,0,1 0,2,2 11DAAA8 分AACABACABABAB11 CABAB1 面即平面CAB1的一个法向量为0,0,11n9 分高一数学参考答案第

16、4 页（共 9 页）设平面DAA1的法向量为zyxn,2，则12120220 00AA nxyxzAD n 即1,11zyx，令)1,1,1(2n10 分设平面CAB1与平面DAA1所成夹角为，122121 1 0 1 0(1)13cos3311 11n nnn 11 分平面CAB1与平面DAA1所成夹角的余弦值是33.12 分解法解法 2 2：设点E为BC的中点,点F为AC的中点,连接DE交1BC于点Q,连接,AE AQ EF,设点P为AQ的中点,连接,EP FP.点E为BC的中点,点D为11BC的中点111=22EQBBEQBBQ且,点为1BC的中点11ACC A为矩形，1ACAA又1,A

17、CAB ABAAA，11ACABB A平面7 分1ACAB1ACB 在中,11,2,2 2ACAB ACBC,可得12AB 1ABC 为等腰直角三角形,其中112,2 2ACABBC而点Q为1BC的中点，12AQBCAQ且8 分点P为AQ的中点,点F为AC的中点QEPF高一数学参考答案第 5 页（共 9 页）11112242FPBCFPCQBC且FPAQ9 分又RtABC 在中,2ABAC,点E为BC的中点2AEAEQ 在中,2AEEQAQ，且点P为AQ的中点62EPAQEP且EPF 即为平面1ABC与平面1AAD所成的夹角10 分EFP 在中,1261,222EFABFPEP11 分2223

18、cos23EPFPEFEPFEP FP12 分20（12 分）解：（1）由已知1(6,)2XB，2 分所以(2)(0)(1)(2)P XP XP XP X061522466611111161511()()()()2222264646432CCC；5 分（2）由已知1(,)2XB n，所以()0.5E Xn，()0.25D Xn，7 分若0.40.6Xn，则0.40.6nXn，即0.10.50.1nXnn，高一数学参考答案第 6 页（共 9 页）即0.50.1Xnn.8 分由切比雪夫不等式20.2510.5(0.10).1nnnP Xn，10 分要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在

19、0.4 与 0.6 之间，则20.2510.98(0.1)nn，解得1250n，所以估计信号发射次数n的最小值为 1250.12 分21（12 分）解：（1）令1122(,),(,)A x yB xy，22yx，2yx，1yy，11PAky1111:()PAlyyxxy2 分又(1,2)P 1111111:2(1)(1)2PAlyxyxy 3 分1112111(1)2622yxyyx 4 分同理可得226y .5 分1212122 6,2()4 6yyxxyy ，22221212|()()(4 6)(2 6)2 30ABxxyy.6 分（2）令33(,)C xy，由条件知1230yyy.7 分

20、1sin2(1)(1)1sin2ABCBMNAB BCABCSABBCAMCNSBMBNBMBNBM BNABC8 分高一数学参考答案第 7 页（共 9 页）31313122222(1)(1)1yyyyyyyyyy 213112112222222()222yyyyyyy yyyy2211122219224yyyyyy 10 分4|3|AMBM，12|3|4yAMBMy12304yy 11 分当1212yy 时,ABCBMNSS取得最大值94.12 分22（12 分）解：（1）证明：（1）1()xef xx的定义域为(,0)(0,)1 分121()xxefxx，令()0fx，得：1x，2 分当x

21、变化时()()f xf x，的关系如下表：x(,0)0(0,1)1(1,)()fx0()f x()f x在(,0)，(0,1)上单调递减；在(1,)上单调递增.4 分（2）证明：要证ln2abab，只需证：lnln2abba高一数学参考答案第 8 页（共 9 页）根据lnlnabba，只需证：ln1ba6 分不妨设ab，由lnlnabba得：lnlnaabb；两边取指数，lnlnaabbee，化简得：abeeab7 分令：(),()()xeg xg ag bx则，1()()xe eg xef xx,根据（1）得()g x在(,0)，(0,1)上单调递减；在(1,)上单调递增（如下图所示），由于

22、()g x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，要使()()g ag b且ab，则必有01,1ab，即01ab 由01ab 得：1,1 ln1ba.8 分要证ln1ba，只需证：1 lnba，由于()g x在(1,)上单调递增，要证：1 lnba,只需证：()(1 ln)g bga，9 分又()()g ag b，只需证：()(1 ln)g aga，10 分高一数学参考答案第 9 页（共 9 页）只需证：1 ln1 ln1 lnaaeeeaaaa，只需证：1 lnaeae，只需证：1 ln1aaee，只需证：1 ln10aaee，即证1 ln0aaee，令1 ln(),(01)xxxexe，(1)0，1 ln()aaaee只需证：()0,(01)xx，111()xxxxeexxeexexeex e ，令(),xh xeex(1)0,()0,(01)xhh xeex，()(0,1)h x 在上单调递减，所以()10h xh，所以()0 xxeexxex e 所以()(0,1)x在上单调递减，所以()10 x所以()0a所以：ln2abab.12 分