高中数学 一题多变一题多解特训(十四).doc
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1、一题多变一题多解(十四)谈谈圆锥曲线中的变式题问题1:设椭圆过点,且左焦点为.(1) 求椭圆的方程;(2) 当过点的动直线与椭圆相交于两不同点时,在线段上取点,满足.证明:点总在定直线上.解答:第(1)题易得椭圆方程为(过程略);主要第(2)题证明如下:ABPQ如图,设,由三角形的相似得:化简得:现设直线(k必存在)代入椭圆方程,得: 由韦达定理,得:代入式,化简得: ,代入直线方程,得:两式联立,消去,得:,即点在定直线上,得证.变1:设椭圆,当过点(其中)的动直线与椭圆相交于两不同点时,在线段上取点,满足证明:点在定直线上.变2:设双曲线,过点(其中)的动直线与双曲线相交于两不同点,在线段
2、上取点,满足证明:点在定直线上.证明:这两个命题可以一起证。统一设椭圆和双曲线的方程为(,且不同时小于)(注:实际上还可包括圆);设直线(注:当k不存在的情况需另行证明,这里略),两式联立,消去,得:设,得现设,由条件知,点在线段外,不失一般性,在图象中,从左到右这四个字母的顺序是,故由三角形的相似得:,即现韦达定理代入式,化简得:,化简得:点在直线上,得证.变3:设抛物线,当过点(其中)的动直线与抛物线相交于两不同点,在线段上取点,满足证明:点在定直线上.证明:设直线,代入抛物线方程,得:设,得现设,由条件知,点在线段外,不失一般性,在图象中,从左到右这四个字母的顺序是,故由三角形的相似得:
3、,即:现韦达定理代入式,化简得:,化简得:点在直线上,得证.问题2:(同问题1)变1:已知定点和椭圆,直线分别与椭圆相切于点,直线PAB与椭圆相交于A,B两点,Q在线段AB上,若满足,则点Q在定直线MN上.证明:由问题2的变1的结论,只需证:切点M,N在定直线上.先在椭圆方程里对求导,得:设切点M(N)的坐标是,代入式,得化简,得 切点M,N在定直线上.得证.变2:已知定点和抛物线,直线分别与抛物线相切于点,直线PAB与抛物线相交于A,B两点,Q在线段AB上,若满足 ,则点Q在定直线MN上.证明:由问题2的变3的结论,只需证:切点M,N在定直线上.先在抛物线方程里对求导,得:设切点M(N)的坐
4、标是,代入式,得化简,得切点M,N在定直线上.问题3:椭圆左右焦点是,抛物线的焦点也是,点M是两曲线在第一象限的交点,且,求椭圆方程.解答:由共焦点知:椭圆中的;又抛物线的准线必过椭圆的左焦点,所以所以变1:设抛物线和椭圆的公共焦点为,是椭圆的左焦点,是两曲线的交点,椭圆的离心率是的面积是,则:证明:(1)由共焦点知,联立,得: (2)(3)设,则又由余弦定理,(4)变2:设抛物线和双曲线的公共焦点为,是双曲线的左焦点,是两曲线的交点,双曲线的离心率是的面积是,则:证明:(1)由共焦点知,联立,得:(2)(3)设,则又由余弦定理,(4)变3:设椭圆和双曲线的公共焦点为,是两曲线的一个交点,的面
5、积为,证明:证明:(1)由共焦点知:联立方程组:两式相加,得:所以:,所以:同理可证:(2)由(1),得:(3) 设,由(2):又由余弦定理,(4)由椭圆和双曲线的第一定义,分别得:所以:问题4:设点在直线上,过点作双曲线的两条切线,切点分别为,定点,求证:三点共线.证明:设,(这里m是定值,n是变量)切点对双曲线两边求导,得:点代入,得:,化简,得:同理,点代入,得:即所在直线为: 令,则即也在直线上,所以三点共线.变1:已知双曲线及定点,过直线上任一点P作双曲线的两条切线,切点为,求证:三点共线.变2:已知及定点,过直线上任一点P作椭圆的两条切线,切点为,求证:三点共线.证明:这两个命题可
6、以一起证。统一设椭圆和双曲线的方程为(,且不同时小于)(注:实际上还可包括圆)两边求导,得:设,(这里m是定值,n是变量)代入,得:,即:所以同理,代入,得所以所在直线方程为令,得,即点在直线上.变3:已知抛物线及定点,过直线上任一点P作抛物线的两条切线,切点为,求证:三点共线.证明:对两边求导,设,(这里m是定值,n是变量)代入,得:,即: 所以:同理,代入,得所以所在直线方程为,令,得即点在直线上.问题5:过定点(0m0),过M的直线交抛物线于A,B两点,过A,B作抛物线的两条切线,交于点P,求证:P在直线上证明:对两边求导,设,代入,得:,即: 所以:同理,代入,得所以所在直线方程为因为
7、定点在直线AB上,所以:,所以:所以在直线上问题6:椭圆的一个焦点为且过点.(1)求椭圆的方程;(2)若AB为垂直于x轴的动弦,直线与x轴交于点N,直线AF与BN交于点M,求证点M恒在椭圆上.证明:(1) 椭圆的方程:(过程略)(2)当AB过焦点F时,易证。现证AB不过焦点F时的情形:设,则,且有所以:,直线 ,直线联立,解得:,即所以: 即点M恒在椭圆上.变1:椭圆的一个焦点为,其中,一条准线:交x轴于点N(称它为准点),若AB为垂直于x轴的动弦,求证:直线AF与BN的交点M必在椭圆上.变2:双曲线的一个焦点为,其中,一条准线:交x轴于点N(称它为准点),若AB为垂直于x轴的动弦,求证:直线
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