高中数学 2课时 应用性问题练习题 北版必修5.doc
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1、中学高二数学 第2课时 应用性问题1三角形中的有关公式(正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等);正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等;实际问题中有关术语、名称(1)仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角;在水平视线下方的角叫俯角(2)方位角:指正北方向顺时针转到目标方向线水平角典型例题例1(1)某人朝正东方走km后,向左转1500,然后朝新方向走3km,结果它离出发点恰好km,那么等于 ( ) (A) (B) (C)或 (D)3解:C 提示:利用余弦定理(2)
2、甲、乙两楼相距,从乙楼底望甲楼顶的仰角为,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为,则甲、乙两楼的高分别是 ( )A B C D 解:A(3)一只汽球在的高空飞行,汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A点处的俯角为,汽球向前飞行了后,又测得A点处的俯角为,则山的高度为( )A B C D 解: B (4)已知轮船A和轮船B同时离开C岛,A向北偏东方向,B向西偏北方向,若A的航行速度为25 nmi/h,B的速度是A的,过三小时后,A、B的距离是 解:90.8 nmi(5) 货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行,航向为方位角,A处有灯塔, 其方位角,在C处观测灯塔A的 方位角,由B到C需航行半小时, 则C到灯
3、塔A的距离是 解:km 提示:由题意知 ,利用余弦定理或解直角三角形可得变式训练1:如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30,相距10海里C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1)?北2010ABC解:连接BC,由余弦定理得BC2=202+10222010cos120=700. 于是,BC=10. , sinACB=, ACB90 ACB=41乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援.例2. 在某海滨城市附近海面有一台风,据检测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向
4、300 km的海面P处,并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60 km ,并以10 km / h的速度不断增加,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?持续多长时间?答:12小时后该城市受到台风的侵袭,侵袭的时间将持续12小时变式训练2:如图所示,海岛A周围38海里内有暗礁,一艘船向正南方向航行,在B处测得岛A在船的南偏东方向上,船航行30海里后,在C处测得岛A在船的南偏东方向上,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁危险?解:由题意得,在ABC中,BC=30, 所以 ,由正弦定理可知: 所以,于是A到BC所在直线的距离为所以船继续向南航行无触礁
5、危险。例3. 如图所示,公园内有一块边长的等边ABC形状的三角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上(1)设AD,ED,求用表示的函数关系式;(2)如果DE是灌溉水管,为节约成本希望它最短,DE的位置应该在哪里?如果DE是参观线路,则希望它最长,DE的位置又在哪里?请给予证明解:(1)在ABC中,D在AB上,SADE=SABC ,在ADE中,由余弦定理得: (2)令 ,则 则令 ,则;有最小值,此时DEBC,且 有最大值,此时DE为ABC 的边AB或AC的中线上变式训练3:水渠道断面为等腰梯形,如图所示,渠道深为,梯形面积为S,为了使渠道的渗水量达到最小,应
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