湘教版数学八年级下册第1章直角三角形1.4角平分线的性质教学课件.ppt

1、1.4 角平分线的性质 1.1.在探究作角平分线的方法和角平分线性质的过程中，掌握在探究作角平分线的方法和角平分线性质的过程中，掌握 角平分线的作法和角平分线的性质角平分线的作法和角平分线的性质. . 2.2.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力；掌提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力；掌 握简单的角平分线在生产、生活中的应用握简单的角平分线在生产、生活中的应用. . 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相 等的角等的角. .你有什么办法？你有什么办法？ A O B C 再打开纸片再打开纸片 ，看看折痕与这个角有，看看折痕与

2、这个角有 何关系？何关系？ 对折对折 如果前面活动中的纸片换成木板如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的钢板等没法折的 角角，又该怎么办呢又该怎么办呢？ 观察下面简易的平分角的仪器，其中观察下面简易的平分角的仪器，其中AB=ADAB=AD，BC=DC.BC=DC. 将点将点A A放在角的顶点，放在角的顶点，ABAB和和ADAD沿着角的两边放下，沿沿着角的两边放下，沿ACAC 画一条射线画一条射线AEAE，AEAE就是就是DABDAB的平分线的平分线. .你能说明它的道你能说明它的道 理吗？理吗？ B B D D A A C C E E 【证明证明】 在在ACDACD和和ACBACB中中

3、AD=ABAD=AB（已知），（已知）， DC=BCDC=BC（已知），（已知）， CA=CACA=CA（公共边），（公共边）， ACD ACD ACBACB（SSSSSS），）， CAD=CABCAD=CAB（全等三角形的对应角相等），（全等三角形的对应角相等）， ACAC平分平分DABDAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）. . B B D D A A C C E E 根据角平分仪的制作原理怎样作一根据角平分仪的制作原理怎样作一 个角的平分线？（不用角平分仪或量角个角的平分线？（不用角平分仪或量角 器）器） 尺规作角的平分线尺规作角的平分线 画法：画法： 1.1.以以O O为圆心，适当

4、长为半径作弧，交为圆心，适当长为半径作弧，交OAOA于于M M，交，交OBOB于于N N 2.2.分别以，为圆心大于分别以，为圆心大于 的长的长 为半径作弧两弧在为半径作弧两弧在AOBAOB的内部交于的内部交于 3.3.作射线作射线OCOC 射线射线OCOC即为所求即为所求 O A B N M C 1 2 证明证明: :连接连接MC,NCMC,NC由作法知由作法知: : 在在OMCOMC和和ONCONC中中 OM=ONOM=ON， MC=NCMC=NC， OC=OCOC=OC， OMCOMCONC(SSS)ONC(SSS)， AOC=BOCAOC=BOC， 即即OC OC 是是的平分线的平分线

5、. . 为什么为什么OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线? ? O A B N M C 将将AOBAOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折对折，再折出一个直角三角形（使第一条折 痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕， 你能得出什么结论？你能得出什么结论？ 猜想猜想: :角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. . 探究活动探究活动 证明证明: : C C平分平分, P, P是是OCOC上一点（已知），上一点（已知）， D DP=BP=BP P（角平分线定义），（角平分线定义）， PDOA,P

6、EOB PDOA,PEOB （已知），（已知）， ODP=OEP=90ODP=OEP=90（垂直的定义），（垂直的定义）， 在在OPDOPD和和OPEOPE中中 DOP=EOP DOP=EOP （已证），（已证）， ODP=OEP ODP=OEP （已证），（已证）， OP=OPOP=OP （已知），（已知）， OPDOPDOPE(AAS)OPE(AAS)， PDPDPEPE（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）. . 已知：已知：OCOC平分平分AOBAOB，点点P P在在OCOC上上，PDOAPDOA于于D D， PEOBPEOB于于E E， 求证求证: PD=PE.: PD=P

7、E. P P A A O O B B C C E E D D 1 2 验证验证 定理：定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. . 用符号语言表示为：用符号语言表示为： 1= 21= 2 PD OA PD OA ，PE OBPE OB PD=PE.PD=PE. P P A A O O B B C C E E D D 1 1 2 2 角的平分线的性质角的平分线的性质 如图，要在如图，要在S S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路区建一个贸易市场，使它到铁路和公路 距离相等，距离相等， 离公路与铁路交叉处离公路与铁路交叉处500 m500 m，这个贸易市场，这

8、个贸易市场 应建在何处？（比例尺为应建在何处？（比例尺为1 12000020000） 【跟踪训练跟踪训练】 D C S 【解析解析】 作夹角的角平分线作夹角的角平分线OCOC，截取，截取OD=2.5cm ,DOD=2.5cm ,D即为所求即为所求. . O 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是反过来，到一个角的两边的距离相等的点是 否一定在这个角的平分线上呢？否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图已知：如图,QDOA,QDOA，QEOBQEOB， 点点D D、E E为垂足，为垂足，QDQDQEQE 求证：点求证：点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上 证明证明: : QDOA QDO

9、A，QEOBQEOB， QDOQDOQEOQEO9090（垂直的定义）（垂直的定义）. . 在在RtRtQDOQDO和和RtRtQEOQEO中中 QOQOQOQO（公共边），（公共边）， QD=QEQD=QE（已知），（已知）， RtRtQDORtQDORtQEOQEO（HLHL），）， QODQODQOEQOE， 点点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上 . . 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. . QDOAQDOA，QEOBQEOB，QDQDQEQE 点点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上 用数学语言表示为：用数学

10、语言表示为： 结论结论 (1)1= 2,DCAC, DEAB(1)1= 2,DCAC, DEAB， _ (_).(_). (2)DCAC ,DEAB ,DC=DE(2)DCAC ,DEAB ,DC=DE， _ (_).(_). A C D E B 1 2 1= 21= 2 DC=DEDC=DE 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. . 角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等 【跟踪训练跟踪训练】 1.1.已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它是它 的角平分线的角平分线, ,且且

11、 BD=CD,DEAB,BD=CD,DEAB, DFAC,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F. 求证求证:EB=FC. :EB=FC. B A E D C F 【证明证明】根据角的平分线的性质根据角的平分线的性质 得得DE=DFDE=DF，再根据，再根据HLHL证明证明 BEDBEDCFD,CFD,从而得到从而得到EB=FC.EB=FC. 2.2.直线表示三条相互交叉的公路直线表示三条相互交叉的公路, ,现要建一个货物中转现要建一个货物中转 站站, ,要求它到三条公路的距离相等要求它到三条公路的距离相等, ,则可供选择的地址则可供选择的地址 有有:( ):( ) A.A.一处一处 B

12、.B.两处两处 C.C.三处三处 D.D.四处四处 【解析解析】选选D.D.由于没有限制在何处选址由于没有限制在何处选址, ,故要求的故要求的 地址共有四处地址共有四处, ,在各自夹角的平分线上，即：在各自夹角的平分线上，即：A A、B B、 C C、D D各一处各一处. . A A D D C C B B 3.3.（宁德（宁德中考）如图，已知中考）如图，已知ADAD是是ABCABC的角平分线，在不的角平分线，在不 添加任何辅助线的前提下，要使添加任何辅助线的前提下，要使AEDAEDAFDAFD，需添加一个，需添加一个 条件是：条件是：_，并给予证明，并给予证明. . B D A E F c

13、【解析解析】解法一：解法一：添加条件：添加条件：AEAEAF.AF. 在在AEDAED与与AFDAFD中，中， AEAEAFAF，EADEADFADFAD，ADADADAD， AEDAEDAFDAFD（SASSAS）. . 解法二：解法二：添加条件：添加条件：EDAEDAFDA.FDA. 在在AEDAED与与AFDAFD中，中， EADEADFADFAD，ADADADAD，EDAEDAFDAFDA， AEDAEDAFDAFD（ASAASA）. . 1.1.角的平分线的性质：角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2.2.角平分线的判定：角平分线的判定： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. . 通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握： 时间是个常数，但对勤奋者来说，是 个“变数”.用“分”来计算时间的人比用 “小时”来计算时间的人时间多59倍. 雷巴柯夫