特殊与一般思想 课件.ppt
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1、 5.特殊与一般的思想特殊与一般的思想 由特殊到一般由特殊到一般,再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程 之一对数学而这种由特殊到一般之一对数学而这种由特殊到一般,再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的 过程过程,就是数学研究的特殊与一般的思想就是数学研究的特殊与一般的思想. 1.用一般性结论解决特殊性问题用一般性结论解决特殊性问题 【例【例 1】(2006 江西卷江西卷,理理) 对于对于R上可导的任意函数上可导的任意函数 f x,若满足,若满足 10xfx ,则必有,则必有( ). (
2、A) 0221fff (B) 0221fff (C) 0221fff (D) 0221fff 【分析及解】【分析及解】依题意,当依题意,当1x时,时, 0fx,函数,函数 f x在(在(1, )上是)上是 增函数;当增函数;当1x时,时, 0fx,f(x)在()在( ,1)上是减函数,故)上是减函数,故 f x当当1x 时取得最小值,时取得最小值, 即有即有 01ff, 21ff,即,即 0221fff故选故选 C 本题首先考虑的是一般性的结果: 任意函数本题首先考虑的是一般性的结果: 任意函数 f x当当1x 时取得最小值时取得最小值,然后然后 再根据题目的要求再根据题目的要求,对特殊的函数
3、值进行比较对特殊的函数值进行比较. 【例【例 2】(2008 江苏卷江苏卷)请先阅读:在等式请先阅读:在等式 2 cos22cos1xx(xR)的两)的两 边求导,得:边求导,得: 2 (cos2 )(2cos1) ? xx, 由求导法则,得由求导法则,得(sin2 ) 24cos(sin )xxx , 化简得等式:化简得等式:sin22cossinxxx ( )利用上 题的想法 (或其他 方法) ,结 合等式(利用上 题的想法 (或其他 方法) ,结 合等式( 1 x) n 0122 CCCCn n nnnn xxx(xR,正整数,正整数2n) ,证明:) ,证明: -1 1 2 11C n
4、 n kk n k nxkx ()对于正整数对于正整数3n,求证:,求证: (1) 1 ( 1)C n kk n k k 0; (2) 2 1 ( 1)C n kk n k k 0; (3) 1 1 121 C 11 n n k n k kn 【分析及解】【分析及解】 ()将等式()将等式(1x)n 0122 CCCCn n nnnn xxx两边求导两边求导 得:得: -1 12321 123 n nn nnnn nxCC xC xnC x n 1 2 C n kk n k kx 所以所以 -1 1 2 11C n n kk n k nxkx () 证明这三个结论可以使用()已经得到的一般性结
5、论和方法证明这三个结论可以使用()已经得到的一般性结论和方法. (1)由()的结果,有由()的结果,有 -1 11 21 1 nn n kkkk nn kk nxnkC xkC x , 令令1x,则有,则有 1 ( 1)C n kk n k k 1 1 1 ( 1)C ( 1)11 10 n n kk n k kn 1.图片对齐 在我们插入PPT图片或是输入文字的时候,为了整齐都需要将插入的文本框对齐 ,但是又不想一个一个的进行操作,这时按住Ctrl键将需要进行对齐的文本选中 ,点击开始排列对齐垂直居中即可; 2.巧用格式刷 在制作PPT的时候为了保证PPT风格的统一,很多任通常会使用复制粘贴
6、来确保 每一页PPT格式相同,这样对于少页数来说可以进行操作,但是碎玉多页面的话 就有点麻烦了,其实我们可以巧用格式刷:首先,在开始菜单栏下方有一个格式 刷,点击格式刷,很快就能看到效果; 3.去除所有动画效果 很多人在制作PPT的时候都是直接在模板库里下载模板进行使用的,但是下载的 模板大多数都是有幻灯片的,这样在演讲的时候很不方便,怎样将其进行去除呢 ?单击幻灯片放映选择设置幻灯片放映,放映类型选择演讲者放映;换片方式 选择手动即可; 4.PPT快键 PPT逼格提升技巧逼格提升技巧 (2)对等式)对等式 -1 12321 1=C2C3CC n nn nnnn nxxxnx 1 1 C n
7、kk n k kx 再一次求导得再一次求导得 2 2 2 1 1(1) n n kk n k n nxk kC x 所以所以 2 1 ( 1)C n kk n k k 11 ( 1)(1)C( 1)C nn kkkk nn kk k kk 21 11 (1)C ( 1)C ( 1) nn kkkk nn kk k kk 21 1 1 11 10 nn n nn (3)因为)因为 11! C 11!()!(1)!()! k n nn kkk nkknk 1 1 1(1)!1(1)!1 C 1 (1)!()!1 (1)!(1)(1)!1 k n nn nknknknkn 所以所以 1 1111 1
8、111 00 11121 CC(CCC) 1111 n nn kkn nnnnn kk knnn 2.从特殊性结果归纳出一般性结论从特殊性结果归纳出一般性结论 【例例 1】 (2005 北京卷, 理北京卷, 理)已知已知 n 次多项式次多项式 1 011 ( ) nn nnn P xa xa xaxa , 如果在一种算法中,计算如果在一种算法中,计算 0 k x(k2,3,4,n)的值需要)的值需要 k1 次乘法,次乘法, 计算计算 30 ()P x的值共需要的值共需要 9 次运算(次运算(6 次乘法,次乘法,3 次加法) ,那么计算次加法) ,那么计算 0 () n P x的值共的值共 需要
9、需要 次运算次运算 下面给出一种减少下面给出一种减少运算次数的算法:运算次数的算法: 0011 ( ),( )( ) kkk P xa PxxP xa (k0, 1,2,n1) 利用该算法,计算) 利用该算法,计算 30 ()P x的值共需要的值共需要 6 次运算,计算次运算,计算 0 () n P x的的 值共需要值共需要 次运算次运算 【分析及解分析及解】 本题给出了一个求特殊的多项式的值的算法的运算次数的示范本题给出了一个求特殊的多项式的值的算法的运算次数的示范 要求归纳出求一般的多项式的值的运算的次数要求归纳出求一般的多项式的值的运算的次数,这是对特殊与一般的思想和归纳这是对特殊与一般
10、的思想和归纳 抽象能力的考查抽象能力的考查. 第一种算法第一种算法, 计算计算 0 () n P x的值共需要的值共需要nnn1) 1(次运算次运算,即即 2 3nn 次运算次运算; 第二种算法第二种算法, 计算计算 0 () n P x的值可以采用递推的方法的值可以采用递推的方法.设计算设计算 0 () n P x的值的次数的值的次数 为为 n b,则则2 1 nn bb,由由 n b是等差数列及是等差数列及2 1 b可得可得nbn2. 【例例 2】 (2002 年北京卷)年北京卷)在研究并行计算的基本算法时,有以下简单的模在研究并行计算的基本算法时,有以下简单的模 型问题:型问题: 用计算
11、机求用计算机求n个不同的数个不同的数, 21 vv n v ,的和的和 21 1 vvvi n i n v,计算开始,计算开始 前,前,n个数存贮在个数存贮在n台由网络连接的计算机中台由网络连接的计算机中,每台机器有一个数,计算开始后,每台机器有一个数,计算开始后, 在一个单位时间内,每台机器至多到一台其它机器中读数据,并与自己原有数在一个单位时间内,每台机器至多到一台其它机器中读数据,并与自己原有数 据相加得到新数据,各台机器可同时完成上述工作据相加得到新数据,各台机器可同时完成上述工作 为了用尽可能少的单位时间为了用尽可能少的单位时间,使各台机器都得到这,使各台机器都得到这n个数的和,需要
12、设计一个数的和,需要设计一 种读和加的方法,比如种读和加的方法,比如2n,一个单位时间即可完成计算,方法可用下表表示:,一个单位时间即可完成计算,方法可用下表表示: 第一单位时间第一单位时间 第二单位时间第二单位时间 第三单位时间第三单位时间 机机 器器 号号 初初 始始 时时 被读机被读机 号号 结果结果 被读机被读机 号号 结果结果 被读机被读机 号号 结果结果 1 1 v 2 21 vv 2 2 v 1 12 vv () 当() 当4n时,至少需要多少单位时间可完成计算时,至少需要多少单位时间可完成计算?把你设计的方法填入把你设计的方法填入 下表下表 第一单位时间第一单位时间 第二单位时
13、间第二单位时间 第三单位时第三单位时 间间 机机 器器 号号 初初 始始 时时 被读被读 机号机号 结果结果 被读被读 机号机号 结果结果 被读被读 机号机号 结结 果果 1 1 v 2 21 vv 3 1234 vvvv 2 2 v 1 12 vv 4 2134 vvvv 3 3 v 4 34 vv 1 3412 vvvv 4 4 v 3 43 vv 2 4321 vvvv ()当()当128n时,要使所有机器都得到时,要使所有机器都得到 i n i v 1 ,至少需要多少单位时间可,至少需要多少单位时间可 完成计算?(结果不要求证明)完成计算?(结果不要求证明) 【分析及解分析及解】 ()
14、由()由2n得到启发得到启发,当当4n时,在第一单位时间时,在第一单位时间,1 号机与号机与 2 号机互相读取号机互相读取,都得到都得到 21 vv ,3 号机与号机与 4 号机互相读取号机互相读取,都得到都得到 34 vv. 在在第二单位时间第二单位时间, ,1 号号机与机与 3 号机互相读取号机互相读取,都得到都得到 1234 vvvv, 2 号机与号机与 4 号机互相读取号机互相读取,都得到都得到 1234 vvvv. 因此因此, , 至少需要两个单位时间可完成计算至少需要两个单位时间可完成计算. ()当()当128n时,要使所有机器都得到时,要使所有机器都得到 i n i v 1 ,由
15、,由 7 2128 可知可知,至少需要至少需要 7 个单位时间可完成计算个单位时间可完成计算. 【例【例 3】(2008 湖北卷湖北卷,理理 15)观察下列等式:观察下列等式: 2 1 11 , 22 n i inn 232 1 111 , 326 n i innn 3432 1 111 , 424 n i innn 4543 1 1111 , 52330 n i innnn 56542 1 1151 , 621212 n i innnn 67653 1 11111 , 722642 n i innnnn 212 11210 1 , n kkkkk kkkk i iana nanana na
16、可以推测, 当可以推测, 当x2 ( * kN) 时,) 时, 11 11 , 12 kkk aaa k , 2k a . 【分析及解】【分析及解】由观察可知当由观察可知当2k 时, 每一个式子的第三项的系数是成等差数列的,每一个式子的第三项的系数是成等差数列的, 所以所以 1 12 k k a , 第四项均为零,所以第四项均为零,所以 2 0 k a 。 3.用特殊化方法解决一般性问题用特殊化方法解决一般性问题 【例【例 1】 (2006 天津卷,理)天津卷,理)已知数列已知数列 , nn ab都是公差为都是公差为 1 的等差数列的等差数列, 其首项分别为其首项分别为 11 ,a b,且且
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