专升本第二章一元函数的微分学课件.ppt

1、 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学2.1.导数与微分导数与微分我们再用极限来研究变量变化的快慢程度，这即是微分学中 的重要概念导数导数。的导数。在点则称此极限值为函数极限存在，时，如果当时，相应的函数有增量处有增量在点当自变量的某个邻域内有定义，在点设函数定义：00000)(0)()()(xxfyxyxxfxxfyxxxxxfy1.1.定义定义(一)导数的概念xxfxxfxyxfxfyxxxx)()(limlim)()(0000000即或记作：等。，导数也可记作：00)(xxxxxfdxddxdy如果函数 f(x)在点 x0 处的导数存在，那么称函数f(x)在点 x0 处可导，反之，

2、称为不可导。000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx导数的一个等价定义：xyxfxfx000lim)()(即记作：处的左导数。在点称此极限值为函数存在，那么左极限如果的某个邻域内有定义，在点设函数000000)()()(limlim)(xxfyxxfxxfxyxxfyxx左、右导数xxfxxfxyxfxfxx)()(limlim)(,)(000000即同理右导数为处是否可导。在点考虑函数例00,12sin0,)(.12xxxxexfx。在，且点处的左、右导数均存在函数点处可导的充要条件是在定理：函数)()()(0000 xfxfxxxfy21lim0)0()(lim)0(200 xex

3、fxffxxx解：2112sinlim0)0()(lim)0(00 xxxfxffxx2)0()0()0(,0fffx点可导所以函数在2.导数的几何意义 曲线的切线的斜率即为函数的导数。000000()(,)()()()limtan()2xxyf xM x yf xf xfxxx设曲线的方程为，则曲线在点处切线的斜率00000()(,)()()yf xM x yyyfxxx曲线在点处的切线方程为3.可导与连续的关系由导数定义可知：可导 连续00,0sinyxxxy时，当解：1sinlimsinlim)0(00 xxxxfxx1sinlimsinlim)0(00 xxxxfxx()0,0f xx

4、x所以在连续 但在处不可导。处的连续性和可导性。在讨论函数例0sin)(.2xxxf203.()sin0()xebxf xaxxabf x，例设，问，为何值时，连续且可导？(0)0(0)(0)11fffbb 解：，,sinlim)1(sinlim)0(00axaxxbaxfxx(0)(0)2ffa，20(1)(0)lim2xxebbfx(二)曲线的切线方程及法线方程000000()()(,)()()yf xf xxM x yyyfxxx设曲线的方程为，若在处可导，则曲线在点处的切线方程为000000()0()(,)1()()fxyf xM x yyyxxfx 若，则曲线在点处的法线方程为(三)

5、求导公式函数在任意点 x 处的导数xxfxxfxfx)()(lim)(0仍是 x 的函数，称为 f(x)的导函数。1.基本导数表10()cxx，()ln()xxxxaaaee，11(log)(ln)lnaxxxax，(sin)cos(cos)sinxxxx，22(tan)sec(cot)cscxxxx，(sec)sectan(csc)csccotxxxxxx，2211(arcsin)(arccos)11xxxx，2211(arctan)(arccot)11xxxx，2.函数和、差、积、商的导数)()()()()()(.xvxuxvxuxxvxu处可导，则在点和设函数定理1)()()()()()

6、()()(.xvxuxvxuxvxuxxvxu处可导，则在点和设函数定理223.()()()()()()()()()()u xv xxu xu x v xu x v xv xvx 定理设函数和在点 处可导，则4.tanyxy例设，求cot5.xxxyyex例设，求6.cos nxyx axy例设，求x2sec22)()1)(cot()csc)(cot(xeexxxxxxeyxxxxaxxaaxxanxyxnxnxnsincos)(lncos13.复合函数和反函数的导数dxdududydxdyxufxfxxfyuufyxxu或且处可导，在点处可导，则复合函数对应点在可导，又函数在点设函数定理)(

7、)()()()()(.45.()()()11()()yf xxyydyfxdxydxdy定理设是单调连续函数的反函数，又设存在，且不为零，则有或7.yxy例设，为任意实数，求318.12yyx例设，求29.ln(1)yxxy例设，求lnlnln1xxxyeeyexx，431(12)23yx 11)211211(11222xxxxxy()10.()()xf xf xyf e e例设可导，求的导数11.arcsinyxy例设，求12.arctanyxy例设，求)()()()()(xfeefeeefyxfxxfxx211cos1)(sin1xyy2211sec1)(tan1xyy4.分段函数的导数1

8、 2 3见例、(四)隐函数的导数，举例说明。求导，即可解出，两边对导数，由于的所确定的隐函数现在讨论由方程)(0)(,()(0),(xyxxyxFxyyyxF22213.()xyryy x例求由方程所确定的隐函数的导数。222222)2(1211xrxxxryxry所以，：由方程可以解出解2()220 xyxxxy yyy 解：方程两边对 求导 把 看成 的函数：，214.cos5sin(3)()yxxyyy x例求由方程所确定的隐函数的导数。)(3)3cos(5sincos2 :)(2yxyxyxyxyyxyx的函数看成把求导解：方程两边对)3cos(15cos2sin)3cos(152xy

9、xxyxyxyyy()15.()v xyu xy例设，求)(ln)(ln2xuxvy：两边先取对数：解)()()()(ln)(1xuxuxvxuxvyylnln1,(ln)vuvuvyeyevuuu解：()()ln()()()v xyy v xu xu xu x1lnvvuu vv uu()()1()ln()()()()()v xv xu xu xv xv xu xu x利用先取对数再求导的求导方法称为对数求导法。2 3223(1)3216.1(21)xxyyxx例设，求)12ln(32)1ln(21)23ln(31)1ln(2ln2xxxxy：两边先取对数解：1223212212333112

10、12xxxxxyy(五)对数求导法(六)高阶导数1.高阶导数概念处的二阶导数。在为函数存在，那么称此极限值如果的函数，仍然是的导数在任意点设函数xxfxxfxxfxxfxxfyx)()()(lim)()(02222)(),(,dxxfddxydxfy或记作：阶导数。处的在点极限值为存在，那么称此阶导数存在，如果的设函数nxxfxxfxxfnxfnnx)()()(lim)1()()1()1(0阶导数的定义：nnnnnnndxxfddxydxfy)(),(,)()(或记作：为了形式上统一的一阶导数。称为把，或定义)()()()(,)0()0(xfxfxfxfyy()17.,nyxy例设求()18.

11、sin,nyxy例设求)2cos()(cos)(nxxn同理()19.ln,nyxy例设求二阶及二阶以上阶导数统称为高阶导数nxn)1()1()2sin()(sin)(nxxnnnxn)!1()1(1(七)微分1.微分的定义微分是微积分学中又一基本概念，它和导数有着极其密切的关系。00)(0yxxxf时，点处连续：当在Axyxxxf时，点处可导：当在0)(0定义：设函数 y=f(x)在 x0 的某个邻域内有定义,如果 存在一个与 x 无关的量 A 及一个 x 的高阶无穷小o(x)，使得函数增量 y 可表示为 y=Ax+o(x)，则称函数 f(x)在点 x0 处微分存在,Ax 称为函数在 x0

12、处的微分，xAdyxx0记作：若函数 f(x)在点 x0 的微分存在，则称函数在该点可微。3.微分与导数的关系0001.(1)()()()yf xxf xxfxA定理如果函数在点处可微分，那么在点处可导，且)()()()2(000 xfAxxfxxfy处可微分，且在点处可导，那么在点如果函数000()()x xf xxdyfxx因此，当在点可微分时，其微分为：2.微分的几何意义为了形式上统一，记 dx=x，则 dy=f(x)dx故导数又称为微商。或,)(dxdyxf任意点 x 处的微分称为函数的微分，记作 dy 或 df(x)即 dy=f(x)x 4.基本微分表和微分运算法则dxxdxdc1,

13、0dxedeadxadaxxxx,lndxxxddxaxxda1ln,ln1logxdxxdxdxxdsincos,cossinxdxxdxdxxd22csccot,sectanxdxxxdxdxxxdcotcsccsc,tansecsecdxxxddxxxd2211arccos,11arcsindxxxddxxxd11cotarc,11arctan22微分运算法则)()()()(xdvxduxvxud)()()()()()(xdvxuxduxvxvxud)()()()()()()(2xvxdvxuxduxvxvxud5.微分形式不变性1221.cosln()xyxe例求函数的微分.2arcs

14、in(1)20.xyxdy例设求duufdxxufdyxfyxuufy)()()()()(,)(的微分为：，则复合函数设函数这一性质又称微分形式不变性。dxxxxxxdy2222)1arcsin()1(12dxxexexexdyxxx)1(2(1)ln(sin211212（一）洛必达法则（一）洛必达法则”型的定值法不定型“00.1)()(lim)()(lim)()(lim)(,)(),()(lim,)(lim)()(.xgxfxgxfxgxfxgxgxfxxgxfxxxgxfxxxxxxxxxx000003020011000则存在（或为无穷大）且存在的某个邻域内在点内有定义，如果可除外）的某个

15、邻域（在点和设定理2.2.2.2.导数的应用导数的应用001)0 xxx 注意：型，将改成，定理同样成立.00()2)lim()()lim()xxxxfxg xf xg x当不存在且不为无穷大时，并不能说明不存在.()3)()fxg x当仍是不定型时，可再用洛必达法则.xxxxtan1sinlim20例如：30sinlim.1xxxx求例xxxeexxxsin2lim.20求例xexxeexxxx423cos0tan)1)(1ln()1(lim.33求例22)2()ln(sinlim.4xxx求例30cossinlim.5xxxxx求例arctan26.lim1xxx例求值法及其它一些不定型的

16、定不定型.20 xxx 当或时，对于不定型也有相应的洛必达法则.)1ln(2tanlnlim.71xxx求例)(lnlim.8为正整数求例nxxnx)0,1,(lim.9anaxxnx为正整数求例xxxkxaaxkkxxln,ln,),1(),1(,.ln,ln,),1),1(,!,(nnnknaannkknn的速度快慢依次为时，趋于当x快慢依次为的速度时，趋于对于数列，当nxxxxxsincoslim.10求例000 0010除了不定型、外，还有下列几种不定型：，0 0这些不定型均可化为不定型、然后由洛必达法则计算其极限。xxxln)arctan2(lim.11求例01112.lim()1x

17、xxe例求3.其它一些不定型的定值法(二二)导数的应用导数的应用1.1.函数单调性的判别法函数单调性的判别法如果函数可导的话，导数与函数的增减有很大的关系。上严格单调减少。在时，函数当上严格单调增加；在时，函数则当内可导，在设函数定理,)()(,)()(,)(.baxfxfbaxfxfbaxfy001定理1的条件结论可改写成：。且只在个别点上等于零或上在的充要条件是：或严格单调减少上严格单调增加在内可导，函数在设函数)0(0)(,)(,)(,)(xfbabaxfbaxfy)15()1)(1()(2xxxxf解：1,51,10)(xxxxf得列表讨论 一般来说，用导数为零的点来划分单调区间，有时

18、，导数不存在的点也可用来划分单调区间。“”表示单调增加“”表示单调减少。)(xf51)51,1()1,51(),1()1,(x11)(xf 000的单调区间。确定函数例32)1()1()(.1xxxf的单调区间。确定函数例xxxf32)(.2的单调区间。确定函数例xexxf1)6()(.32.函数的极值及其求法函数的极值及其求法极小值,极大值统称极值，极小点,极大点统称极值点。注意：极小值、极大值与最小值、最大值的差异。0()f xx定义：设函数在点的某个邻域内有定义0000(1)0()()()xxf xf xf xx如果当时，则称为函数的极小值，为极小值点。0000(2)0()()()xxf

19、 xf xf xx如果当时，则称为函数的极大值，为极大值点。对可导函数来说，极值点必为驻点，而驻点不一定是极值点。什么条件下驻点必为极值点呢？。即处的导数为零，在点处取得极值，那么点处可导，且在在点设函数必要条件定理0)()()()(.20000 xfxxfxxxf的驻点。的点，称为函数)(0)(xfxf3.()定理第一充分条件00()()0f xxfx设函数在点的某个邻域内可导，且000(1)()()xxfxf xx如当 从左至右经过时，由正变负，则为极大值，为极大值点。000(2)()()xxfxf xx如当 从左至右经过时，由负变正，则为极小值，为极小值点。00(3)()()xxfxf

20、x如当 从左至右经过时，不变号，则不是极值。4.()定理第二充分条件00()()0f xxfx设函数在点的某个邻域内具有二阶导数，且00(1)()0()fxf xx当时，函数在处取得极大值；00(2)()0()fxf xx当时，函数在处取得极小值；00(3)()0()fxf x当时，不能确定是否为极值。234.()(1)f xxx例求函数的极值。325.()f xxx例求函数的极值。12121212(),(1),()()()22()f xa bx xa bxxxxf xf xff x定义：设函数在上有定义如果当时，有则称的图象是凹的。x1x2y0 xy0 x1x2x12121212(2),()

21、()()22()x xa bxxxxf xf xff x如果当时，有则称的图象是凸的。3.3.曲线的凹曲线的凹凸性凸性用定义来判定函数 f(x)的图形是凹还是凸是非常困难的，下面给出充分条件。6.(),(1)()0(),(2)()0(),f xa bfxf xa bfxf xa b定理设函数在内具有二阶导数当时，函数的图象在上是凹的。当时，函数的图象在上是凸的。226.()1xf xx例试求函数的凹凸区间。4.曲线的拐点曲线的拐点我们把曲线凹凸性发生转变的转折点称为拐点。000000007.()()0(1)()(,()()(2)()(,()()f xxfxxxfxxf xyf xxxfxxf

22、xyf x定理设函数在点的某个邻域内具有二阶导数，且如当 从左至右经过时，变号，则是曲线的拐点。如当 从左至右经过时，保号，则不是曲线的拐点。27.ln(1)yx例求曲线的凹凸区间及拐点。538.(2)yx例求曲线的拐点。2）水平渐近线1）垂直渐近线5.5.曲线的渐近线曲线的渐近线的渐近线。曲线为的距离趋于零，则称上的点与曲线时，或，当定义：如果存在直线)()()(0 xfyLLxfyxxxL的垂直渐近线。为曲线则称直线如果)()(lim00 xfyxxxfxx的水平渐近线。为曲线则称直线如果)()(limxfybybxfx2229.1xxyx例求曲线的渐近线。32(1)10.(1)xyx例求

23、曲线的渐近线。6.最大值、最小值问题最大值、最小值问题由闭区间上连续函数的性质知闭区间的连续函数必能取到最大值、最小值。最大(小)值必在端点或极大(小)点处取到。所以只要计算端点值和可能极值点的函数值加以比较即可。111.()arctan0,11xf xx例求函数在上的最大值和最小值。312.()10,2f xxx例求函数在上的最大值和最小值。13.R例求内接于半径为 的球的正圆锥的最大体积.第三章第三章 中值定理及导数的应用中值定理及导数的应用3.1 3.1 中值定理中值定理3.2 3.2 罗必塔法则罗必塔法则3.3 3.3 函数的单调性函数的单调性3.4 3.4 函数的极值函数的极值3.5

24、 3.5 函数的最值函数的最值3.6 3.6 函数的凹凸性及拐点，函数的图像函数的凹凸性及拐点，函数的图像一、主要内容一、主要内容 中值定理中值定理 1.1.罗尔定理罗尔定理:P63P63 ()f x满足条件满足条件:.0)(,),().()(3;),(2,10.0.0.fbabfafbaba使使得得存存在在一一点点内内至至少少在在内内可可导导在在上上连连续续；在在如果函数如果函数2.2.拉格朗日定理：拉格朗日定理：P64P64 )(xf满足条件满足条件:abafbffbababa )()()(),(),(2,100 ，使使得得：在在一一点点内内至至少少存存在在内内可可导导；在在上上连连续续，

25、在在如果函数如果函数例题：例题：P66 P66 例例1 1，2 2()()()f bf afba罗必塔法则：罗必塔法则：P67,68P67,68 则）（或,)()(lim)()(lim)()(Axgxfxgxfaxax）（或（或 Axgxfxgxfxgxfaxaxax)()(lim)()(lim)()(lim)()()(1.1.认真掌握课本认真掌握课本P68-69P68-69的例题的例题2.2.独立完成独立完成P70 P70 的习题（用罗必塔法则求极限）的习题（用罗必塔法则求极限）解解 这这是是未未定定型型，通通过过“通通分分”将将其其化化为为 00未未定定型型 xxxxxxxxxxln)1(

26、)1(lnlimln11lim11xxxxxxx1ln1ln1lim1 xxxxln11lnlim121111lim21xxxx.（2）0,lnlimaxxax解：01lim1limlnlim1axxxaxaxaxxxx2seclimtanlim20000 xeexeexxxxxxxeexxxtanlim0（1）解：例求下列极限（3）)111(lim0 xxex解：)1(1lim)111(lim00 xxxxxexxeex xxxxxxxxxxeeeexeee00lim11lim00002121lim0 xx（4）xxx1)(lnlim未定式）0(解法1：(对数法）设xxy1)(lnxxxyx

27、lnln)ln(lnln1xxyxxlnlnlimlnlim 0ln1lim1ln1limxxxxxx所以1)(lnlimlim1xxxxy解法2：(指数法）xxxxxexlnln)(1lim)(lnlim0 10ln1limlnlnlimeeexxxxxx导数的应用导数的应用 1.1.切线方程和法线方程：切线方程和法线方程：2.2.曲线的单调性曲线的单调性:P71:P71 定理定理1 1 定理定理 2 2 设函数设函数)(xf在在,ba上连续，在上连续，在),(ba内内可导，则有可导，则有 （1 1）如如果果在在),(ba内内0)(xf，则则函函数数)(xf在在,ba上上单单调调增增加加；（

28、2 2）如如果果在在),(ba内内0)(xf，则则函函数数)(xf在在 ,ba上上单单调调减减少少 求单调区间的求单调区间的4 4个步骤个步骤：()fx()fx（1 1）确定函数的定义域，求出导数）确定函数的定义域，求出导数（2 2）求出导数等于）求出导数等于0 0（驻点）和导数不存在的点（驻点）和导数不存在的点（3 3）根据（）根据（2 2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定）中的点将定义域分成若干个区间，并确定在每个区间的符号在每个区间的符号（4 4）判断：）判断：()0()0fxfx当时，单调增加当时，单调减少注：单调区间无所谓开、闭区间，一般为开区间注：单调区间无所谓开、闭区间，一般

29、为开区间掌握掌握P71 例题例题1-4证明：（采用函数的单调性证明）例3.证明:)0(,1)1ln(122xxxxx证明:设)0(,1)1ln(1)(22xxxxxxf2222122)1()1()1ln()(xxxxxxxxxxf22221)1()11()1ln(xxxxxxxxx222221)1(1)1()1ln(xxxxxxxxxx0,0)1ln(2xxx所以0,)(xxf01)1ln(1)0()(022xxxxxfxf从而因此)0(,1)1ln(122xxxxx解：设xxxxfarctan)1ln()1()(0 x21111)1ln()(xxxxxf)0(,01)1ln(22xxxx所以

30、0,)(xxf从而0,0arctan)1ln()1()0()(0 xxxxfxfx因此0,1arctan)1ln(xxxx 3.3.函数的极值函数的极值 极值的定义极值的定义：P72P72 定定义义 设设函函数数)(xf在在 0 x的的某某邻邻域域内内有有定定义义,且且对对此此邻邻域域内内任任一一点点)(0 xxx,均均有有)()(0 xfxf,则则称称)(0 xf是是函函数数)(xf的的一一个个极极大大值值;同同样样,如如果果对对此此邻邻域域内内任任一一点点)(0 xxx,均均有有)()(0 xfxf,则则称称)(0 xf是是函函数数)(xf的的一一个个极极小小值值函函数数的的极极大大值值与

31、与极极小小值值统统称称为为函函数数的的极极值值使使函函数数取取得得极极值值的的点点 0 x,称称为为极极值值点点 极值存在的必要条件：极值存在的必要条件：P72 P72 定理定理2 2（3）极值点的取值范围：驻点或不可导点。）极值点的取值范围：驻点或不可导点。定理定理 1 1 (极值的必要条件极值的必要条件)设设)(0 xf在点在点0 x处具有导数处具有导数,且在点且在点0 x取得极值取得极值,那么那么0)(0 xf 极值存在的充分条件：极值存在的充分条件：定理定理1 1(极值的第一充分条件）：极值的第一充分条件）：P73 P73 定理定理3 30000000001.()()2.()0()3.

32、()f xxf xfxfxxfxx在 处可导；是极值；或不存在；是极值点。过 时变号。定理定理2 2：(极值的第二充分条件）极值的第二充分条件）P74P74定理定理4 40000000()1()2()0(f xfxxfxfx是极值；存在；是极值点。，)0（4 4）求极值的）求极值的4 4个步骤：个步骤：P73P73()fx()fx（1 1）确定函数的定义域，求出导数）确定函数的定义域，求出导数（2 2）求出导数等于）求出导数等于0 0（驻点）和导数不存在的点（驻点）和导数不存在的点（3 3）根据（）根据（2 2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定）中的点将定义域分成若干个区间，并确定在每个区

33、间的符号在每个区间的符号（4 4）判断（）判断（2 2）中的点是否是极值点，是极大值还是）中的点是否是极值点，是极大值还是 极小值极小值理解教材理解教材 P71-74 的例题的例题5至例题至例题7例例 求函数求函数xxxf1)(的单调增减区间的单调增减区间 和极值。和极值。4.4.函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值 (1)(1)闭区间上连续函数的最值的求法：只要算出所有驻闭区间上连续函数的最值的求法：只要算出所有驻点和不可导点以及端点处的函数值，再来比较这些值的点和不可导点以及端点处的函数值，再来比较这些值的大小，即能求出函数的最值大小，即能求出函数的最值。(2)2)当函数在一个区间内可

34、导且只有一个驻点，并且这个当函数在一个区间内可导且只有一个驻点，并且这个驻点是函数的极值点，那么这个驻点就是函数的最值点。驻点是函数的极值点，那么这个驻点就是函数的最值点。(3)(3)在实际问题中，往往根据问题的性质就可以判定函数在实际问题中，往往根据问题的性质就可以判定函数确有最大值或最小值，而且必在的定义域区间取得，确有最大值或最小值，而且必在的定义域区间取得，此时，如果函数在定义域区间内只有一个驻点，那么往此时，如果函数在定义域区间内只有一个驻点，那么往往不经讨论就能断定是最大值或最小值。往不经讨论就能断定是最大值或最小值。理解理解P75-76 P75-76 的例题的例题8-118-11

35、 例例 3 3 求求函函数数xxxxf1232)(23在在4,3上上的的最最大大值值和和最最小小值值 解解 因因为为 在在xxxxf1232)(23在在4,3上上连连续续，所所以以在在该该区区间间上上存存在在着着最最大大值值和和最最小小值值 又因为又因为)1)(2(61266)(2xxxxxf,令令0)(xf,得驻点得驻点21x,12x,由于由于 20)2(f,7)1(f,9)3(f,128)4(f 比较各值可得函数比较各值可得函数)(xf的最大值为的最大值为128)4(f,最小值最小值为为7)1(f 对于实际问题的最值，往往根据问题的性质就可断对于实际问题的最值，往往根据问题的性质就可断定函

36、数定函数)(xf在定义区间的内部确有最大值或最小值在定义区间的内部确有最大值或最小值 理论上可以证明：若实际问题断定理论上可以证明：若实际问题断定)(xf在其定义区间内在其定义区间内部（不是端点处）存在最大值（或最小值），且部（不是端点处）存在最大值（或最小值），且0)(xf在定义区间内只有一个根在定义区间内只有一个根0 x,那么，可断定那么，可断定)(xf在点在点 0 x取得相应的最大值（最小值）取得相应的最大值（最小值）解解 设两边各折起设两边各折起 x,则横截面积为则横截面积为 )(2)(xaxxS )0(ax x2a-2xx这样，问题归结为：当这样，问题归结为：当 x为何值时，为何值时

37、，)(xS取得最大值取得最大值 由于由于xaxS42)(,所以令所以令0)(xS,得得)(xS的的惟惟一驻点一驻点2ax 又因为铁皮两边折的过大或过小，其横截面积都又因为铁皮两边折的过大或过小，其横截面积都会变小，因此，该实际问题存在着最大截面积会变小，因此，该实际问题存在着最大截面积 所以，所以，)(xS的最大值在的最大值在2ax 处取得，即当处取得，即当2ax 时，水槽的流量最大时，水槽的流量最大 例例 5 5 铁铁路路线线上上AB的的距距离离为为 1 10 00 0 k km m,工工厂厂C距距A处处为为 2 20 0 k km m,AC垂垂直直于于AB,要要在在AB线线上上选选定定一一

38、点点 D向向工工厂厂修修筑筑一一条条公公路路，已已知知铁铁路路与与公公路路每每 k km m 货货运运费费之之比比为为3 3：5 5,问问D选选在在何何处处，才才能能使使从从B到到 C的的运运费费最最少少?解解 设设 xAD(km),(km),则则 xDB100,2220 xCD 由由于于铁铁路路每每 k km m 货货物物运运费费与与公公路路每每 k km m 货货物物运运费费之之比比为为3 3：5 5，因因此此，不不妨妨设设铁铁路路上上每每k km m 运运费费为为k3,则则公公路路上上每每 k km m运运费费为为k5,并并设设从从 B 到到 C 点点需需要要的的总总运运费费为为 y,则

39、则 )100(320522xkxky 0(x )100.由此可见，由此可见，x过大或过小，总运费过大或过小，总运费 y均不会变小，均不会变小，故有一个合适的故有一个合适的 x使总运费使总运费 y达到最小值达到最小值 C BAD 又又因因为为 340052xxky 例欲围一个面积为例欲围一个面积为150150m m2 2的矩形场地。正面所用材料的矩形场地。正面所用材料造价为造价为6 6元元/m m，其余三面所用材料的造价为其余三面所用材料的造价为3 3元元/m m，求求场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最少？场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最少？解：设：场地的正面长为解：设：场地的正面长为

40、x x米米 5 5曲线的凹向及拐点：曲线的凹向及拐点：P78P78(3)的拐点。为称时变号。过，)()(,)(.20)(.1000000 xfxfxxxfxf 求函数凹凸区间与拐点的求函数凹凸区间与拐点的4个步骤：个步骤：P80()fx()0()0fxfx当时，凹当时，凸（1 1）确定函数的定义域，求出导数）确定函数的定义域，求出导数（2 2）求出二阶导数等于）求出二阶导数等于0 0和二阶导数不存在的点和二阶导数不存在的点（3 3）根据（）根据（2 2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定）中的点将定义域分成若干个区间，并确定在每个区间的符号在每个区间的符号（4 4）判断）判断：注：凹凸区间无所谓开、闭区间，一般为开区间注：凹凸区间无所谓开、闭区间，一般为开区间()()fxfx和 掌握掌握P79-80的例题的例题1-56.6.曲线的渐近线：曲线的渐近线：水平渐近线水平渐近线 的水平渐近线。是或若)()(lim)(limxfAyAxfAxfxx 铅直渐近线：铅直渐近线：的铅直渐近线。是或若)()(lim)(limxfCxxfxfCxCx