自动控制原理课件第三章.ppt

1、第三章第三章控制系统的时域分析方法控制系统的时域分析方法本章主要介绍：本章主要介绍：4、常规调节器的性能、常规调节器的性能3、系统稳定性的判据、系统稳定性的判据2、系统过渡过程的质量指标的分析（静态和动态、系统过渡过程的质量指标的分析（静态和动态的误差分析）的误差分析）1、一阶、二阶和高阶系统在典型输入信号下的过、一阶、二阶和高阶系统在典型输入信号下的过渡过程渡过程系统分析系统分析是指一个实际系统的数学模型建立后，对是指一个实际系统的数学模型建立后，对系统稳定性、稳态误差和瞬态响应等三个方面的性能进系统稳定性、稳态误差和瞬态响应等三个方面的性能进行分析，也就是以数学模型为基础分析系统在指定的性

2、行分析，也就是以数学模型为基础分析系统在指定的性能指标方面是否满足要求。能指标方面是否满足要求。时域分析引言数学模型的建立为分析系统的行为和特性提供了条数学模型的建立为分析系统的行为和特性提供了条件。件。分析的目的分析的目的在于揭示系统在外部输入信号作用下在于揭示系统在外部输入信号作用下各个变量的运动规律和系统的基本特性，以及改善系各个变量的运动规律和系统的基本特性，以及改善系统特性使之满足工程要求的基本途径。统特性使之满足工程要求的基本途径。分析系统的方法分析系统的方法可分为三类：可分为三类：时域法、时域法、根根轨迹法和频域法。轨迹法和频域法。时域分析法时域分析法是一种直接在时间域中对系统是

3、一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，可进行分析的方法，具有直观、准确的优点，可以提供系统时间响应的全部信息。以提供系统时间响应的全部信息。缺点：缺点：难以判断系统结构和参数对动态性难以判断系统结构和参数对动态性能的影响，很难用于系统的设计；对于高阶系能的影响，很难用于系统的设计；对于高阶系统，系统分析的工作量将急剧增加，不易确定统，系统分析的工作量将急剧增加，不易确定其性能指标，必须借助计算机实现。其性能指标，必须借助计算机实现。学学 习习 目目 标标 明确误差和稳态误差的定义，明确利用终值定理计明确误差和稳态误差的定义，明确利用终值定理计算稳态误差的限制条件算稳态误

4、差的限制条件明确稳定性概念及系统稳定的充要条件，熟练掌握明确稳定性概念及系统稳定的充要条件，熟练掌握劳斯判据及其应用劳斯判据及其应用明确典型系统阶跃响应的特点及其动态性能与系统明确典型系统阶跃响应的特点及其动态性能与系统参数、零极点分布的关系参数、零极点分布的关系熟悉系统阶跃响应性能指标熟悉系统阶跃响应性能指标明确影响稳态误差的因素明确影响稳态误差的因素熟练掌握用终值定理求稳态误差的方法熟练掌握用终值定理求稳态误差的方法重重 点点 和和 难难 点点 难点：难点：系统参数对系统性能的影响，基于输入输出模系统参数对系统性能的影响，基于输入输出模型的时间响应关系型的时间响应关系重点：重点：典型系统性

5、能指标，稳定性分析，稳态误差典型系统性能指标，稳定性分析，稳态误差求取求取 控制系统性能的评价分为动态性能指标和稳控制系统性能的评价分为动态性能指标和稳态性能指标两类。为了求解系统的时间响应，必态性能指标两类。为了求解系统的时间响应，必须了解输入信号的解析表达式。然而，在一般情须了解输入信号的解析表达式。然而，在一般情况下，控制系统的外加输入信号具有随机性而无况下，控制系统的外加输入信号具有随机性而无法预先确定，因此需要选择若干典型输入信号。法预先确定，因此需要选择若干典型输入信号。一、典型输入信号一、典型输入信号1.1.阶跃输入信号阶跃输入信号阶跃输入信号可表示为：阶跃输入信号可表示为：00

6、0)(ttRtxtRR为阶跃信号的幅值，是一常数。为阶跃信号的幅值，是一常数。R=1时叫做单位阶时叫做单位阶跃信号跃信号，记做，记做1(t)，否则记为，否则记为R1(t)。表示在表示在t=0时刻出现了幅值为时刻出现了幅值为R的跳变，是最不利的的跳变，是最不利的外作用。常用阶跃函数作为评价系统动态性能的典型外作用。常用阶跃函数作为评价系统动态性能的典型外作用。所以阶跃函数在自动控制系统的分析中起着外作用。所以阶跃函数在自动控制系统的分析中起着特别重要的作用。特别重要的作用。2.2.单位脉冲输入信号单位脉冲输入信号又称又称(t)函数，它是在函数，它是在0时时求极限情况得到的。数学表达求极限情况得到

7、的。数学表达式为：式为：tttdtttt0)(01)(00)(tX(t)1但脉冲函数在现实中是不存在的，只是数学上的定义，但脉冲函数在现实中是不存在的，只是数学上的定义，在现实系统中常把作用时间很短，幅值很大而强度有在现实系统中常把作用时间很短，幅值很大而强度有限的一些外作用近似看作脉冲函数。当限的一些外作用近似看作脉冲函数。当A=1时，称为时，称为单位脉冲函数，记作单位脉冲函数，记作(t)，强度为，强度为A的脉冲函数的脉冲函数r(t)表示表示成成r(t)=A(t)。3.3.斜斜坡输入信号（也叫速度函数）坡输入信号（也叫速度函数）斜坡输入信号可表示为：斜坡输入信号可表示为：ttg=RtR 00

8、0)(ttRttxR为常数，此信号幅值随时间为常数，此信号幅值随时间t作等速增长变化，作等速增长变化，其速率为其速率为R。4.4.抛抛物线（加速度）输入信号物线（加速度）输入信号抛物线输入信号可表示为：抛物线输入信号可表示为：000)(2ttRttxt2tR R为常数，此信号幅度随时间以加速度为常数，此信号幅度随时间以加速度R增长。增长。5.5.正正弦输入信号弦输入信号正弦输入信号可表示为如：正弦输入信号可表示为如：000sin)(tttRtxtX(t)RRR为常数，表示正弦输入信号的幅值。该信号随时间以为常数，表示正弦输入信号的幅值。该信号随时间以频率频率作等幅振荡。作等幅振荡。=2f为正弦

9、函数的角频率，这里，为正弦函数的角频率，这里，初始相角初始相角=0，如果初始相角，如果初始相角不等于不等于0，那么正弦函数，那么正弦函数x(t)的表达式为：的表达式为：x(t)=Asin(t-)。正弦函数也是控制系统常见的一种典正弦函数也是控制系统常见的一种典型外作用，很多实际的随动系统就是经型外作用，很多实际的随动系统就是经常在这种正弦函数作用下工作的，更为常在这种正弦函数作用下工作的，更为重要的是系统在正弦函数作用下的响应，重要的是系统在正弦函数作用下的响应，即频率特性，是自动控制理论中研究系即频率特性，是自动控制理论中研究系统性能的重要依据。统性能的重要依据。究竟使用哪种典型究竟使用哪种

10、典型信号分析系统信号分析系统？取决于系统在正常工作时最常见的输入信号形式取决于系统在正常工作时最常见的输入信号形式q若输入是突然的脉动若输入是突然的脉动脉冲信号脉冲信号q若输入是突变的跃变若输入是突变的跃变阶跃信号阶跃信号q若输入随时间逐渐变化若输入随时间逐渐变化斜坡信号斜坡信号q若输入是周期信号若输入是周期信号正弦信号正弦信号二、动态过程和稳态过程二、动态过程和稳态过程1.1.动态过程（过渡过程或瞬态过程）：动态过程（过渡过程或瞬态过程）：时域分析法时域分析法研究系统输入变化时，其输出研究系统输入变化时，其输出随时间变化的响应特性。随时间变化的响应特性。y(t)=f(x(t)系统的时间响应系

11、统的时间响应分为分为和和或称或称动态过程动态过程与与稳态过程稳态过程。系统在输入信号作用下，系统输出从初始系统在输入信号作用下，系统输出从初始状态到最终状态的响应过程，反映系统的动状态到最终状态的响应过程，反映系统的动态性能。态性能。2.2.稳稳态过程（静态过程）：态过程（静态过程）：过渡过程中，当时间趋于无穷大时系统过渡过程中，当时间趋于无穷大时系统的输出状态，反映出系统的稳态性能。的输出状态，反映出系统的稳态性能。注意：注意：稳态过程不是指输出数值不变，而是稳态过程不是指输出数值不变，而是指输出变化形式固定不变。指输出变化形式固定不变。1.50.510-0.5051015三、动态性能和稳态

12、性能三、动态性能和稳态性能1.动态性能动态性能(1)(1)峰值时间峰值时间tptp阶跃响应曲线达到第一峰值所需要的时间。阶跃响应曲线达到第一峰值所需要的时间。0.150.050.10tAtptp愈小，表明控制系统反应愈灵敏。愈小，表明控制系统反应愈灵敏。(2)(2)最大偏差最大偏差A和超调量和超调量被控输出第一个波的峰值与给定被控输出第一个波的峰值与给定值的差，如图中的值的差，如图中的A，A=y(tp)。随动控制系统随动控制系统:超调量超调量%100)()()(yytyp(3-4-1)y()为过渡过程的稳态值。为过渡过程的稳态值。定值控制系统：定值控制系统：通常采用超调量这个指标：通常采用超调

13、量这个指标：1.50.510)(ytptB0.150.050.10ttpA偏差偏差e=设定值设定值R-输出输出y0.150.050.10ttp)(ytsA(3)(3)衰减比衰减比n n在过渡过程曲线上，同方向上相邻两个波峰值之比。在过渡过程曲线上，同方向上相邻两个波峰值之比。如图，如图，n=B：B。ln愈大，过渡过程衰减的越快，反之，愈大，过渡过程衰减的越快，反之，n愈小，过愈小，过渡过程的衰减程度也愈小。渡过程的衰减程度也愈小。l一般操作经验希望过程有两、三个周波结束，一般操作经验希望过程有两、三个周波结束，一般常取一般常取n=4:110:1。l l当当n1时，过渡过程则为等幅振荡；时，过渡

14、过程则为等幅振荡；BB (4)(4)调节时间调节时间tsts阶跃响应到达稳态的时间。阶跃响应到达稳态的时间。工程上常取在被控变量进入新稳态值的工程上常取在被控变量进入新稳态值的5或或2的误差范围，并不再超出的时间。的误差范围，并不再超出的时间。ts的大小一般与控制系统中的最大时间常数有的大小一般与控制系统中的最大时间常数有关，关，ts越短，系统响应越快。越短，系统响应越快。0.150.050.10ttp)(yABB ts(5)(5)上升时间上升时间trtr仅适用随动系统。第一次达到系统新稳态值所需仅适用随动系统。第一次达到系统新稳态值所需的时间，定义为上升时间。的时间，定义为上升时间。对于非振

15、荡的过渡过程曲线：从稳态值的对于非振荡的过渡过程曲线：从稳态值的10上升上升到到90所需的时间。所需的时间。1.50.510B tptstB)(ytr余差或稳态误差余差或稳态误差e()e()过渡过程结束时稳态值与给定值之差，是表示控过渡过程结束时稳态值与给定值之差，是表示控制系统精度的重要质量指标。制系统精度的重要质量指标。1.50.510B tptstB)(ytr2.2.稳态性能稳态性能总结：总结：1、峰值时间和上升时间反映了系统的初、峰值时间和上升时间反映了系统的初始快速。始快速。4、稳态误差反映了系统的调节精度。、稳态误差反映了系统的调节精度。3、最大偏差、超调量和衰减比反映了系、最大偏

16、差、超调量和衰减比反映了系统的平稳性。统的平稳性。2、调节时间反映了系统的整体快速性。、调节时间反映了系统的整体快速性。1.50.510B tptstB)(ytrh(t)t时间时间tr上上升升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量%=AB100%调节时间调节时间ts动态性能指标定义动态性能指标定义10123456700.20.40.60.811.21.4 System:sys1 Rise Time(sec):0.734 System:sys1 Settling Time(sec):4.2 System:sys1 Final Value:1 System:sys1 Peak amplitude:1

17、.25 Overshoot(%):25.4 At time(sec):1.73 Step ResponseTime(sec)Amplitudertpt%100 cctcp%100 cctcp%100 cctcptst tc tc tc表征快速性表征快速性表征平稳性表征平稳性 动态性能动态性能稳稳态态误误差差稳稳态态误误差差稳稳态态误误差差ssessesse表征稳态精度表征稳态精度常用常用ssset、%表征系统表征系统动态性能指标定义动态性能指标定义1%sprttth(t)t上升时间上升时间tr调节时间调节时间ts动态性能指标定义动态性能指标定义23-2一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析一阶系

18、统：一阶系统：可用一阶微分方程描述的系统。可用一阶微分方程描述的系统。例：网络的输入电压例：网络的输入电压Ul和输出电压和输出电压U2间的动态特间的动态特性由下列一阶微分方程来描述：性由下列一阶微分方程来描述：)()()(122tUtUdttdURC RCU1(t)U2(t)i(t)RCT 设设T描述一阶系统动态特性的微分方程式的标准形式：描述一阶系统动态特性的微分方程式的标准形式：)()()(tKxtydttdyT qT称为时间常数，表示系统的惯性大小称为时间常数，表示系统的惯性大小qK表示对象的增益或放大系数表示对象的增益或放大系数1)()()(TsKsXsYsG(3-2-1)传递函数是：

19、传递函数是：（假设（假设K1，系统的初始条件为零。），系统的初始条件为零。）2.1单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃单位阶跃1(t)的拉氏变换为：的拉氏变换为：ssX1)(3-2-2)把把(3-2-2)式代入式代入(3-2-1)式，式，)()()(sXsGsY 取拉氏反变换有：取拉氏反变换有：)(ty(3-2-3)sTs1.11 Tss111 Tte/1 )(1sYL 1)()()(TsKsXsYsG(3-2-1)由式（由式（3-2-3）求出）求出：一阶系统单位阶跃响应是一阶系统单位阶跃响应是单调上升的指数曲线单调上升的指数曲线Ttety/1)(3-2-3)0)()0(0 ttyytT时，时，y

20、(T)1-e-10.632ty(t)0T2T3T4T5Tt5T时时,y(5T)0.993t4T时时,y(4T)0.982t3T时时,y(3T)0.95t2T时时,y(2T)0.86563.286.598.299.3B1A0.632951)()(ttyy%100)()()(yyty误差误差%2%5 forT=5,10,30G=tf(1,T1);step(G,160);holdon;endgridonaxis(016001.1);title(T:5,10,30一阶系统单位阶跃响应曲线一阶系统单位阶跃响应曲线);set(gca,ytick,0:0.1:1.1);gtext(T=5);gtext(T=

21、10);gtext(T=30);结论：结论：时间常数时间常数T T决定系统的惯性：决定系统的惯性：T T越小，即系统惯性越小，过渡过程越快；越小，即系统惯性越小，过渡过程越快；T T越大，即系统惯性越大，过渡过程越慢。越大，即系统惯性越大，过渡过程越慢。说明：说明：2、工程上，以响应曲线达到稳态值误差的、工程上，以响应曲线达到稳态值误差的2%（或（或5）所需的时间，记为过渡时间（）所需的时间，记为过渡时间（调节时间）调节时间）,记作记作ts。1、一阶系统的单位阶跃响应的、一阶系统的单位阶跃响应的稳态误差稳态误差是零，是零，0)()()(yxe3、对一阶系统来说，是四倍（三倍）的时间常数，、对一

22、阶系统来说，是四倍（三倍）的时间常数，即即ts=4T（ts=3T）。）。4、时间常数、时间常数T反应一个系统的惯性，时间常数越小反应一个系统的惯性，时间常数越小，系统的响应就越快，反之，越慢。一阶系统也被系统的响应就越快，反之，越慢。一阶系统也被称为称为一阶惯性系统。一阶惯性系统。研究输出曲线的变化速率研究输出曲线的变化速率:对（对（3-2-3）式求导：）式求导：dttdy)(,0 t,Tt ,tTtety/1)(3-2-3)Tty/1)(11)(eTtyT1368.0 0)(tyTte T1ty(t)0T2T3T4T5TB163.286.598.299.3A0.63295斜率斜率=1/T说明

23、说明：1.一阶系统阶跃响应曲线的另一个重要特性是一阶系统阶跃响应曲线的另一个重要特性是在在t0处切线的斜率等于处切线的斜率等于1/T。2.一阶系统如能保持初始反应速度不变，一阶系统如能保持初始反应速度不变，则则当当tT时，输出将达到其稳态值时，输出将达到其稳态值。3.实际上，一阶系统过渡过程实际上，一阶系统过渡过程y(t)的变化速率，随的变化速率，随着时间的推移，是着时间的推移，是单调下降单调下降的。的。(3-2-5)Ttyt/1)(,0 TtyTt1368.0)(,0)(,tytty(t)0T2T3T4T5TB163.286.598.299.3A0.63295斜率斜率=1/T一阶系统单位阶跃

24、响应的重要性质：一阶系统单位阶跃响应的重要性质：总结总结：ty(t)0T2T3T4T5TB163.286.598.299.3A0.63295斜率斜率=1/T1、经过一倍时间常数，即、经过一倍时间常数，即t=T时，系统从时，系统从0上升到稳态值的上升到稳态值的63.2%。2、在、在t0处曲线切线的斜率等于处曲线切线的斜率等于1/T。3、当、当t4T时，一阶系统的响应曲线已经达时，一阶系统的响应曲线已经达到稳态值（稳态误差小于到稳态值（稳态误差小于2%）。）。实验方法实验方法求取一阶系统的传递函数：求取一阶系统的传递函数：1 Tsk63.2T对一阶系统的单位阶跃响应曲线，对一阶系统的单位阶跃响应曲

25、线，思考题：思考题：若系统增益若系统增益K不等于不等于1，系统的稳态值应是多少？如何用，系统的稳态值应是多少？如何用实验方法从响应曲线中求取实验方法从响应曲线中求取K值？值？2、从、从t0处的切线斜率求得。处的切线斜率求得。1、直接从达到稳态值的、直接从达到稳态值的63.2%对应的时间求出一阶对应的时间求出一阶系统的时间常数；系统的时间常数；2.2单位斜坡响应单位斜坡响应单位斜坡函数单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换为：的拉氏变换为：21)(ssX(3-2-6)把把(3-2-6)式代入式式代入式(3-2-1)，2111)(sTssY )11(22 TsTsTs1)()()(TsKsXsYsG(

26、3-2-1)取上式的拉氏反变换，取上式的拉氏反变换，即得系统的单位斜坡响应即得系统的单位斜坡响应：)0()(tTeTttyTt它和输入参数的误差为它和输入参数的误差为x(t)=t：)(te,0)0(e)1(TteT Te )()()(tytx x(t)y(t)TT)11()(22 TsTsTssYtx(t)y(t)tTtTtTtty386.000)()(TtTeTtt 特点：特点：1、系统的动态响应是一个指数型的上升过程，先逐、系统的动态响应是一个指数型的上升过程，先逐步加快，最后以输入相同的速度直线升高，并与步加快，最后以输入相同的速度直线升高，并与输入相平行。输入相平行。2、系统的稳态响应

27、为、系统的稳态响应为y()=tT，是一个与输入斜，是一个与输入斜坡函数斜率相同但时间迟后坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数。的斜坡函数。3、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间常、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间常数数T并保持不变，因此并保持不变，因此T也是稳态误差。系统的也是稳态误差。系统的 时间常数时间常数T越愈小，系统跟踪输入信号的稳态误差越愈小，系统跟踪输入信号的稳态误差也就越小。也就越小。x(t)y(t)TTt2.3单位脉冲响应单位脉冲响应)()(tLsX )()()(sXsGsY 1)(sG 11 Ts系统输出量的拉氏变换式恰好与系统的传递函数系统输出量的拉氏变换式恰

28、好与系统的传递函数相同，称为相同，称为脉冲响应脉冲响应，其表达式为：其表达式为：,1)(TteTty ,1)0(Ty,0)(yTteTty 21)(0T2T 3T4T5TT1T210初始斜率初始斜率2368.0T 2135.0T 205.0T TtTteTtyeTty 21)(,1)(21T 021368.0T yy 0 tT1Tt T1368.0 t0特点：特点：1、一阶系统的脉冲响应为、一阶系统的脉冲响应为一单调下降的指数曲线；一单调下降的指数曲线；2、说明系统的惯性越小（、说明系统的惯性越小（T越小），系统的响应越快。越小），系统的响应越快。注意：注意：系统在单位脉冲输入信号作用下，输出

29、的拉系统在单位脉冲输入信号作用下，输出的拉氏变换恰好为系统的传递函数。即氏变换恰好为系统的传递函数。即)()(sGsY 对上式进行拉氏反变换，即得系统的脉冲响对上式进行拉氏反变换，即得系统的脉冲响应函数：应函数：)(1sYL 实验测定系统的传递函数：实验测定系统的传递函数：常用单位脉冲信号作用于系统，来测定系统的单位常用单位脉冲信号作用于系统，来测定系统的单位脉冲响应，由此可以求得系统的传递函数。脉冲响应，由此可以求得系统的传递函数。)(1sGL )(ty)(tg 总结与分析：总结与分析：一阶系统对典型试验信号的响应一阶系统对典型试验信号的响应123输入信号输入信号x(t)输出响应输出响应y(

30、t)tTtTeTt/1(t)Tte/1 TtTe/1(t)l l线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过把系统对输入信号的响应进行把系统对输入信号的响应进行微分微分求得；求得；这一结果适合所有的线性定常系统。线性时变系统这一结果适合所有的线性定常系统。线性时变系统或非线性系统都不具备这种性质。或非线性系统都不具备这种性质。l l系统对输入信号积分的响应，可以通过把系统对原系统对输入信号积分的响应，可以通过把系统对原输入信号的响应进行输入信号的响应进行积分积分求得，而积分常数则由零求得，而积分常数则由零初始条件决定。初始条件决定。习题：习题：例例1设单

31、位负反馈系统的单位阶跃响应为：设单位负反馈系统的单位阶跃响应为：tteety21)(（1）求系统的单位脉冲响应）求系统的单位脉冲响应（2）求该系统的闭环传递函数和开环传递函数）求该系统的闭环传递函数和开环传递函数解：解：(1)对单位阶跃响应求导，可得单位脉冲响应函数：对单位阶跃响应求导，可得单位脉冲响应函数：tteety22)(2)对上式求拉氏变换，可得系统的闭环传递函数：对上式求拉氏变换，可得系统的闭环传递函数：)(sG可求出系统的开环传递函数：可求出系统的开环传递函数：24320 ssG11 s22 s23432 sss001GG G0-Y(s)X(s)例例3-13-1：水银温度计近似可以

32、认为一阶惯性环节，用其水银温度计近似可以认为一阶惯性环节，用其测量加热器内的水温，当插入水中一分钟时才指示出测量加热器内的水温，当插入水中一分钟时才指示出该水温的该水温的98%98%的数值（设插入前温度计指示的数值（设插入前温度计指示0 0度）。度）。如果给加热器加热，使水温以如果给加热器加热，使水温以1010度度/分的速度均匀上分的速度均匀上升，问温度计的稳态指示误差是多少？升，问温度计的稳态指示误差是多少？解：解：1 1）一阶系统，阶跃输入，输出响应达）一阶系统，阶跃输入，输出响应达98%98%，调，调节时间：节时间：t ts s=4T=1=4T=1分，则分，则T=0.25T=0.25分。

33、分。2 2）单位斜坡信号时稳态跟踪误差是）单位斜坡信号时稳态跟踪误差是T T，故当水温以故当水温以1010度度/分作等速变换，稳态指示误差为分作等速变换，稳态指示误差为1010 T=2.5T=2.5度。度。3Ts11/s3)(Ts1/ssRsCsG22 )()()(tT3e3131th )(0%T3Tts 1）利用传递函数的定义）利用传递函数的定义)(/)(3Tss1T)39(sT9sT3s1sC22 例例3-23-2：已知某系统在单位斜坡输入时的输出为：已知某系统在单位斜坡输入时的输出为：求系统的传递函数，及单位阶跃输入时的求系统的传递函数，及单位阶跃输入时的解：解：tT3e9T9Tt31t

34、c )(st%,研究：研究：一阶系统一阶系统的特征参数的特征参数K、T对过渡过程的影响。对过渡过程的影响。1 TsK00246810125101520K=20K=10K=200204060801001200.511.52T=20T=10T=2?T?K在单位阶跃信号作用下：在单位阶跃信号作用下：上节课内容回顾上升时间tr 的定义？峰值时间tp 的定义？调节时间ts 的定义？最大超调量%的定义？一阶系统的时间常数T如何确定？3-23-2二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析3.1二阶系统数学模型的标准形式二阶系统数学模型的标准形式二阶系统的微分方程：二阶系统的微分方程：)()()()(2tKxtKy

35、dttdydttdyT 写成标准形式写成标准形式,令：令：TKTKn21/；有：有：)()()(2)(2222txtydttdydttydnnn (3-3-1)标准传递函数：标准传递函数：两个特征参数：两个特征参数：n 叫做系统的无阻尼自然频率叫做系统的无阻尼自然频率 叫做阻尼系数（阻尼比）叫做阻尼系数（阻尼比）)()()(sXsYsG（3-3-2）有有)(2)(222sXsssYnnn （3-3-3）)()()(2)(2222txtydttdydttydnnn (3-3-1)2222nnnss TKTKn21/；求解这个二阶系统的特征方程：求解这个二阶系统的特征方程：)(2)(222sXss

36、sYnnn （3-3-3）0222 nnss 可得它的两个根（极点）可得它的两个根（极点）122,1 nns（3-3-4）图图3-73-7阻尼系数不同时特征根在阻尼系数不同时特征根在s平面上的位置平面上的位置当阻尼系数当阻尼系数取不同值时，二阶系统特征根的性质取不同值时，二阶系统特征根的性质122,1 nns（3-3-4）j 1s2s j 1s2s j 1s2s j 1s2s j 1s2s01过阻尼过阻尼=0无阻尼无阻尼03.2二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应1、01时的欠阻尼情况时的欠阻尼情况这时系统有一对共轭复根这时系统有一对共轭复根(见图见图3-8)3-8)：图图3-8极点位

37、置极点位置22,11 nnjsdnj 式中，式中，称为，称为有阻尼自然频率有阻尼自然频率。21 nddj n 1s2sn （3-3-3）式可改写成）式可改写成取上式的拉氏反变换，有取上式的拉氏反变换，有tessLdtdnnn cos)(221 tesLdtdndn sin)(221 ssssYnnn12)(222 22221nnnssss 2222)()(1dnndnnssss )(2)(222sXsssYnnn （3-3-3）因此，因此，Y(s)的拉氏反变换为：的拉氏反变换为：)0()sin(112 ttedtn (3-3-5)式中，式中，211tan ，称为，称为阻尼角阻尼角。此时，此时，

38、y(t)的输出为的输出为衰减振荡过程衰减振荡过程。tessLdtdnnn cos)(221 tesLdtdndn sin)(221 1.50.510-0.50510152222)()(1)(dnndnnsssssY tedtn cos tedtn sin 1)sin(cos1tteddndtn )(ty)(ty特点：特点：系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应y(t)及其偏差信号及其偏差信号e(t)均为衰减均为衰减的正弦振荡曲线。的正弦振荡曲线。d 其振荡频率为其振荡频率为，衰减，衰减速度取决于速度取决于n,从（从（3-3-6）式中还可以看出，当时间趋于无穷大时，）式中还可以看出，当时间趋于无穷

39、大时，系统的偏差等于零。系统的偏差等于零。Y(t)e(t)图图3-9欠阻尼二阶系欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应统的单位阶跃响应1.50.510-0.5051015二阶系统的偏差信号二阶系统的偏差信号e(t)是：是：)(te)0()sin(12 ttedtn )()(tytx (3-3-6)2、=0时的无阻尼情况时的无阻尼情况系统具有一对共轭纯虚根系统具有一对共轭纯虚根njs 2,1将将0代入式代入式(3-3-5)，可得到，可得到y(t)l-cosnt由此可知，当由此可知，当阻尼比阻尼比0时，时，系统的阶跃响应将变为系统的阶跃响应将变为等幅振荡。等幅振荡。稳态时仍是等幅振荡。稳态时仍是等幅振荡。振

40、荡频率为振荡频率为n。)0()sin(11)(2 ttetydtn (3-3-5)(3-3-7)21 nd1211.50.5200246810频率频率n和和d具有鲜明的物理涵义具有鲜明的物理涵义:ln是无阻尼是无阻尼(即即0)0)时二阶系统等幅振荡过程时二阶系统等幅振荡过程的频率，因此也称为的频率，因此也称为无阻尼振荡频率无阻尼振荡频率。l l显然，显然，d低于低于n,且随着且随着的增大，的增大，d的值减小的值减小l ld是欠阻尼是欠阻尼(0(01 1）时，系统衰减振荡过时，系统衰减振荡过程的振荡频率，因此称为程的振荡频率，因此称为有阻尼振荡频率有阻尼振荡频率。21 nd1211.50.520

41、02468103、=1时的临界阻尼情况时的临界阻尼情况系统具有两个相等的负实根系统具有两个相等的负实根ns 2,1此时，由式此时，由式(3-3-3)得到得到sssYnn 22)()(取上式的拉氏反变换，得二阶系统的过渡过程：取上式的拉氏反变换，得二阶系统的过渡过程：tntnnteety 1)(3-3-8)nnnsss 1)(12)(2)(222sXsssYnnn （3-3-3）阻尼系数为阻尼系数为1时，二阶系统的过渡过程是一个无超调时，二阶系统的过渡过程是一个无超调的单调上升过程。的单调上升过程。11.50.520024681012图图3-10二阶系统的二阶系统的标准曲线标准曲线(=0,0.2

42、,0.4,0.8,1.0,1.4,2)1.50.510-0.5051015=14、1时的过阻尼情况时的过阻尼情况这时二阶系统具有两个不等的负实根，即这时二阶系统具有两个不等的负实根，即122,1 nns因此，若令：因此，若令：111sT 则则Y(s)可写成：可写成：)()()(sXsGsY sssnnn12222 sssssn1)(212 sTsTsn1)/1)(/1(212 221sT ,)1(12 n)1(12 n总结：总结：阻尼比阻尼比1时，称为过阻尼状态。时，称为过阻尼状态。q在二阶系统的过渡过程在二阶系统的过渡过程y(t)中含有两个衰减指数项中含有两个衰减指数项q其代数和决不会超过稳

43、态值其代数和决不会超过稳态值1q二阶系统的运动状态是非振荡的二阶系统的运动状态是非振荡的取上式的拉式反变换，得到：取上式的拉式反变换，得到：)(11)(21/2/112TtTteTeTTTty (3-3-9)sTsTssYn1)/1)(/1()(212 1.50.510-0.5051015=1.4=15、-10同（同（3-3-5）式。但是为指数增长的正弦振荡。）式。但是为指数增长的正弦振荡。在单位阶跃函数作用下，当阻尼比在单位阶跃函数作用下，当阻尼比不同时，二阶系统的过渡不同时，二阶系统的过渡过程曲线示于图过程曲线示于图3-10。横坐标是无因次变量。横坐标是无因次变量nt。图图3-10二阶系统

44、的标准曲线二阶系统的标准曲线(=0,0.2,0.4,0.8,1.0,1.4,2)11.50.520024681012分析：分析：)0()sin(11)(2 ttetydtn (3-3-5)在过阻尼（在过阻尼（1）的）的情况下，系统的过渡情况下，系统的过渡过程最慢，即调节时过程最慢，即调节时间间ts最长。最长。Zata=1.4l l在临界阻尼（在临界阻尼（1）状）状态下，系统响应同样没态下，系统响应同样没有超调量，其过渡过程有超调量，其过渡过程同样具有单调上升的特同样具有单调上升的特性，但过渡时间比过阻性，但过渡时间比过阻尼时快。尼时快。Zata=1在无阻尼（在无阻尼（0）状）状态下，系统达到稳

45、态态下，系统达到稳态（等幅振荡）的过渡过（等幅振荡）的过渡过程时间最短。程时间最短。l l在欠阻尼在欠阻尼(01)的特的特性中，性中，0.40.8时的过渡时的过渡过程比临界阻尼系统具有过程比临界阻尼系统具有更短的过渡时间更短的过渡时间ts，而且振，而且振荡也不严重。因此，一般荡也不严重。因此，一般说来，希望二阶系统工作说来，希望二阶系统工作在在=0.40.8的欠阻尼状态。的欠阻尼状态。Zata=0.2Zata=0.4Zata=0.8随着阻尼系数随着阻尼系数的减的减小，振荡特性将表现得小，振荡特性将表现得越加强烈。以致在越加强烈。以致在0时出现等幅不衰减振荡，时出现等幅不衰减振荡，在负阻尼在负阻

46、尼(0)时，将时，将会出现发散特性。会出现发散特性。%典型二阶系统的单位阶跃响应，典型二阶系统的单位阶跃响应，wn=2;zeta=0,0.2,0.7,1,2;t=0:0.1:12;%从从0到到12，每隔，每隔0.1取一个值取一个值holdonfori=1:length(zeta)G=tf(wn2,1,2*zeta(i)*wn,wn2);step(G,t)endholdoffgridon%绘制网格线绘制网格线gtext(=0);gtext(=0.2);gtext(=0.7);gtext(=1.0);gtext(=2.0)2nn22ns2s)s(G总总结结q不同，决定特征根位置的不同，不同，决定特征根位置的不同，决定系统不同的动态特性。决定系统不同的动态特性。sndndt .,12q，过阻尼，过阻尼ts最大，最大，欠阻尼欠阻尼ts最小，因此，系统一般设计在欠阻尼状态，最小，因此，系统一般设计在欠阻尼状态，取取0.40.8。2222)()()(nnnsssXsYsG q实根：单位阶跃响应呈单调特性实根：单位阶跃响应呈单调特性q根具有负实部（左半平面）：过渡过程稳定、收敛；根具有负实部（左半平面）：过渡过程稳定、收敛；复根：振荡特性复根：振荡特性根具有正实部（右半平面）：发散，不稳定，根具有正实部（右半平面）：发散，不稳定，根在虚轴：临界稳定状态。根在虚轴：临界稳定状态。