自动控制原理课件在MATLAB中数学模型的表示.ppt

1、2-6 在在MATLABMATLAB中数学模型的表示中数学模型的表示 控制系统的数学模型在系统分析和设计中是相控制系统的数学模型在系统分析和设计中是相当重要的，在线性系统理论中常用的数学模型有微当重要的，在线性系统理论中常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等，而这些模分方程、传递函数、状态空间表达式等，而这些模型之间又有着某些内在的等效关系。型之间又有着某些内在的等效关系。MATLAB主要主要使用传递函数和状态空间表达式来描述线性时不变使用传递函数和状态空间表达式来描述线性时不变系统（系统（Linear Time Invariant简记为简记为LTI）。2.6.1传递函数单输入单

2、输出线性连续系统的传递函数为：单输入单输出线性连续系统的传递函数为：其中其中mn。G(s)的分子多项式的根称为系统的零点的分子多项式的根称为系统的零点,分母分母多项式的根称为系统的极点。令分母多项式等于零多项式的根称为系统的极点。令分母多项式等于零,得系得系统的特征方程：统的特征方程：dtm+bmr(t)=b0dm-1r(t)dtm-1+b1+dmr(t)dr(t)dt+bm-1+anc(t)+dnc(t)dtna0dn-1c(t)dt n-1+a1dc(t)dt+an-1D(s)=a0sn+a1sn-1+an-1s+an=0 因传递函数为多项式之比，所以我们先研究因传递函数为多项式之比，所以

3、我们先研究MATLAB是如何处理多项式的。是如何处理多项式的。MATLAB中多项式用行向量表中多项式用行向量表示示,行向量元素依次为降幂排列的多项式各项的系数行向量元素依次为降幂排列的多项式各项的系数,例例如多项式如多项式P(s)=s3+2s+4，其输入为：，其输入为：P=1 0 2 4注意尽管注意尽管s2项系数为项系数为0，但输入，但输入P(s)时不可缺省时不可缺省0。MATLAB下多项式乘法处理函数调用格式为：下多项式乘法处理函数调用格式为：C=conv(A,B)例如给定两个多项式例如给定两个多项式A(s)=s+3和和B(sB(s)=10s)=10s2 2+20s+3,+20s+3,求求C

4、(s)=A(s)B(sC(s)=A(s)B(s),),则应先构造多项式则应先构造多项式A(sA(s)和和B(sB(s),),然后然后再调用再调用convconv()()函数来求函数来求C(sC(s)A=1,3;B=10,20,3;C=conv(A,B)C=10 50 63 9 即得出的即得出的C(s)多项式为多项式为10s3+50s2+63s+9 MATLAB提供的提供的conv()函数的调用允许多级嵌套函数的调用允许多级嵌套,例如例如G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)G=4*conv(1,2,conv(1,3,1,4)可由下列的语句来输入可由下列的语句来输入 有了多项式的输入有了多项

5、式的输入,系统的传递函数在系统的传递函数在MATLAB下可下可由其分子和分母多项式唯一地确定出来，其格式为由其分子和分母多项式唯一地确定出来，其格式为 sys=tf(num,den)其中其中num为分子多项式，为分子多项式，den为分母多项式为分母多项式 num=b0,b1,b2,bm;den=a0,a1,a2,an;对于其它复杂的表达式，如对于其它复杂的表达式，如：num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6);可由下列语句来输入可由下列语句来输入：den=conv(1,0,0,conv(1,3,1,2,3,4);G=tf(num,den)Transfer function:2

6、.6.2传递函数的特征根及零极点图传递函数传递函数G(s)输入之后输入之后,分别对分子和分母多项式作因式分别对分子和分母多项式作因式分解分解,则可求出系统的零极点，则可求出系统的零极点，MATLAB提供了多项式求提供了多项式求根函数根函数roots()，其调用格式为：，其调用格式为：roots(p)其中其中p为多项式。为多项式。例如，多项式例如，多项式p(s)=s3+3s2+4 p=1,3,0,4;%p(s)=s3+3s2+4 r=roots(p)；%p(s)=0的根 r=-3.3533 0.1777+1.0773i 0.1777-1.0773i 反过来反过来,若已知特征多项式的特征根若已知特

7、征多项式的特征根,可调用可调用MATLAB中的中的poly()函数函数,来求得多项式降幂排列时各项的系数来求得多项式降幂排列时各项的系数,如上例如上例 poly(r)p=1.0000 3.0000 0.0000 4.0000 polyval函数用来求取给定变量值时多项式的值函数用来求取给定变量值时多项式的值,其调其调用格式为用格式为 polyval(p,a)其中其中p为多项式为多项式;a为给定变量值为给定变量值 例如例如,求求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在在s=-5时值：时值：n=conv(3,2,1,1,4);value=polyval(n,-5)value=-66 传递函数在复

8、平面上的零极点图传递函数在复平面上的零极点图,采用采用pzmap()函数来完成函数来完成,零极零极点图上点图上,零点用零点用“。”表示表示,极点用极点用“”表示。其调用格式为表示。其调用格式为 p,z=pzmap(num,den)其中其中,p传递函数传递函数G(s)=den的极点的极点 z传递函数传递函数G(s)=num的零点的零点 例如例如,传递函数传递函数 用用MATLAB求出求出G(s)的零极点的零极点,H(s)的多项式形式的多项式形式,及及G(s)H(s)的的零极点图零极点图numg=6,0,1;deng=1,3,3,1;z=roots(numg)z=0+0.4082i 00.4082

9、i；%G(s)的零点 p=roots(deng)p=-1.0000+0.0000i-1.0000+0.0000i；%G(s)的极点-1.0000+0.0000i n1=1,1;n2=1,2;d1=1,2*i;d2=1,-2*i;d3=1,3;numh=conv(n1,n2);denh=conv(d1,conv(d2,d3);printsys(numh,denh)pzmap(num,den)title(pole-zero Map)零极点图如图所示零极点图如图所示：2.6.3 控制系统的方框图模型 若已知控制系统的方框图若已知控制系统的方框图,使用使用MATLAB函数可实现方框函数可实现方框图转换

10、。图转换。num,den=series(num1,den1,num2,den2)串联串联 如图所示G1(s)和G2(s)相串联,在MATLAB中可用串联函数series()来求G1(s)G2(s),其调用格式为 其中：R(s)C(s)G2(s)G1(s)并联并联 如图所示G1(s)和G2(s)相并联,可由MATLAB的并联函数parallel()来实现,其调用格式为 num,den=parallel(num1,den1,num2,den2)其中：+G2(s)R(s)C(s)G1(s)C1(s)C2(s)反馈反馈 反馈连接如图所示。使用MATLAB中的feedback()函数来实现反馈连接,其调

11、用格式为G(s)E(s)H(s)B(s)R(s)C(s)num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,sign)式中：sign为反馈极性,若为正反馈其为1,若为负反馈其为-1或缺省。例如 负反馈连接 反馈反馈 numg=1,1;deng=1,2;numh=1;denh=1,0;num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,-1);printsys(num,den)MATLAB中的函数series,parallel和feedback可用来简化多回路方框图。另外,对于单位反馈系统,MATLAB可调用cloop()函数求闭环传递函数,其调用格式

12、为 num,den=cloop(num1,den1,sign)2.6.4 控制系统的零极点模型 传递函数可以是时间常数形式传递函数可以是时间常数形式,也可以是零极点形式也可以是零极点形式,零极点形零极点形式是分别对原系统传递函数的分子和分母进行因式分解得到的。式是分别对原系统传递函数的分子和分母进行因式分解得到的。MATLAB控制系统工具箱提供了零极点模型与时间常数模型控制系统工具箱提供了零极点模型与时间常数模型之间的转换函数之间的转换函数,其调用格式分别为其调用格式分别为 z,p,k=tf2zp(num,den)num,den=zp2tf(z,p,k)其中第一个函数可将传递函数模型转换成零极

13、点表示形式其中第一个函数可将传递函数模型转换成零极点表示形式,而而第二个函数可将零极点表示方式转换成传递函数模型。第二个函数可将零极点表示方式转换成传递函数模型。例如 用用MATLAB语句表示语句表示：num=12241220;den=24622;z,p,k=tf2zp(num,den)z=-1.9294-0.03530.9287i-0.03530.9287i p=-0.9567+1.2272i-0.9567-1.2272i-0.04330.6412i-0.0433-0.6412i k=6用用MATLAB语句表示语句表示：可以验证MATLAB的转换函数,调用zp2tf()函数将得到原传递函数模

14、型。num,den=zp2tf(z,p,k)num =0 6.0000 12.0000 6.0000 10 den =1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 即 2.6.5 状态空间表达式状态空间表达式是描述系统特性的又一种数学模型状态空间表达式是描述系统特性的又一种数学模型,它由状态它由状态方程和输出方程构成方程和输出方程构成,即即 x(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)式中式中 x(t)Rn 称为状态向量称为状态向量,n为系统阶次为系统阶次;ARnn 称为系统矩阵;BRnp 称为控制矩阵,p为输入量个数;CRqn 称为输出矩阵;DRqp 称为连接矩

15、阵,q为输出量个数。小小 结结 本章要求学生熟练掌握系统数学模型的建立和拉氏变换方法。本章要求学生熟练掌握系统数学模型的建立和拉氏变换方法。对于线性定常系统，能够列写其微分方程，会求传递函数，对于线性定常系统，能够列写其微分方程，会求传递函数，会画方框图和信号流图，并掌握方框图的变换及化简方法。会画方框图和信号流图，并掌握方框图的变换及化简方法。1.数学模型是描述元件或系统动态特性的数学表达式，是对系统进行理论分析研究的主要依据。用解析法建立实际系统的数学模型时，分析系统的工作原理，忽略一些次要因素，运用基本物理、化学定律，获得一个既简单又能足够精确地反映系统动态特性的数学模型。2.实际系统均

16、不同程度地存在非线性，但许多系统在一定条实际系统均不同程度地存在非线性，但许多系统在一定条件下可近似为线性系统，故我们尽量对所研究的系统进行线件下可近似为线性系统，故我们尽量对所研究的系统进行线性化处理性化处理(如增量化法如增量化法)，然后用线性理论进行分析。但应注，然后用线性理论进行分析。但应注意，不是任何非线性特性均可进行线性化处理。意，不是任何非线性特性均可进行线性化处理。3.传递函数是经典控制理论中的一种重要的数学模型。其定义为：在零初始条件下，系统输出的拉普拉斯与输入的拉普拉斯变换之比。4.根据运动规律和数学模型的共性，任何复杂系统都可划分为几种典型环节的组合，再利用传递函数和图解法能较方便地建立系统的数学模型。5.方框图是研究控制系统的一种图解模型，它直观形象地表示出系统中信号的传递特性。应用梅逊公式不经任何结构变换，可求出源节点和汇节点之间的传递函数。信号流图的应用更为广泛。6利用MATLAB来进行多项式运算，传递函数零点和极点的计算，闭环传递函数的求取，方框图模型的化简等。