第七讲-哥尼斯堡七桥问题-课件.ppt

1、1第七讲第七讲 若干若干数学问题中的数学问题中的 数学文化数学文化哥尼斯堡哥尼斯堡七桥问题七桥问题 2 2一、哥尼斯堡七桥问题一、哥尼斯堡七桥问题 现今俄罗斯的加里宁格勒是一座历史名城，18世纪时称为哥尼斯堡。当时那里是东普鲁士的首府，曾经诞生和培育过许多伟大的人物。著名的哲学家、古典唯心主义的创始人康德，一直生活在那里。德国著名的数学家希尔伯特，也出生于此地。3 哥尼斯堡风景秀美，碧波荡漾的普累格尔河穿过该城；河中心有一座美丽的小岛，岛上商业繁荣，普累格尔河及其两条支流把包含岛在内的全城分为四个区域，有七座桥横跨普累格尔河及其支流，连接了这四个区域。这一别致的桥群，古往今来，吸引着众多的游人

2、。4 5 当地的居民曾经热衷于下面一个有趣的问题：能不能找到一条路线了，使得散步时不重复地走遍这七座桥。寻找满意路线的问题引起了许多人的兴趣，但结果却没有一个人能够做到。不是少走了一座桥，就是重复走了一座桥。6 多次尝试失败后，有人写信求教于当时的数学家欧拉。欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七桥后，认真思考走法，但始终没能成功，于是他怀疑七桥问题是不是原本就无解呢？这位年轻的瑞士数学家独具慧眼，看出了这个似乎是趣味几何问题的本质。7 1736年，29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了哥尼斯堡的七座桥的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支图论。欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居

3、民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理”。8 在论文中，欧拉将七桥问题抽象出来，把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。并由此得到了如图一样的几何图形。若我们分别用A、B、C、D四个点表示为哥尼斯堡的四个区域。这样著名的“七桥问题”便转化为是否能够一笔不重复的画出过此七条线的问题了。9 1011 理论上需要解决的问题是：找到“一个图形是一笔画”的充分必要条件，并对是一笔画的图形给出一笔画的方法。12 欧拉把图形上的点分成两类：如果以某点为端点的线有偶数条，就称此点为偶结点，如果以某点为端点的线有奇数条，就称此点为奇结点。13 要想不重

4、复地一笔画出某图形，除去起始点和终止点两个点外，其余每个点，如果画进去一条线，就一定要画出来一条线，从而都必须是偶结点。于是“一笔画”的必要条件是“图形中的奇结点的个数为0或2”（当起始点与终止点重合时，奇结点个数为0）。14 反之也对：如果图形中的奇结点个数为0或2时，就一定能完成一笔画。当图形中有两个奇结点时，以其中一个为起始点，另一个为终止点，就能完成一笔画。当图形中没有奇结点时，从任何一个点起始都可以完成一笔画（不会出现图形中只有一个奇结点的情况，因为每条线都有两个端点）。15 这样，欧拉就得出了图形是一笔画的充分必要条件：图形中的奇结点个数为0或2。再看哥尼斯堡七桥问题，图形中有四个

5、奇结点，因此该图形不是一笔画，难怪所有的尝试都失败了。16二、一笔画 凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)1718二、一笔画 姜伯驹先生的一笔画和邮递路线问题：最短邮递路线问题19三、拓扑学 在上面的问题中，我们只研究图形各部分位置的相对关系，而不考虑它们的大小和角度。莱布尼茨和欧拉为这种“位置几何学”奠定了最初的基础。庞加莱于19世纪末将其发展为一个系统的数学分支拓扑学。有人把拓扑学说成是“橡皮几何学”。20三、拓扑学 平面上的欧拉公式：V+F-E=1。空间中的欧拉公式：V+F-E=2。利用多面体的欧拉公式可以证明：正多面体有且只有五种：正四面体、立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体。21本讲结束本讲结束谢谢！