第一章-行列式[]课件.ppt
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- 第一章 行列式 课件
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1、音乐音乐2线性代数线性代数主编主编赵树嫄赵树嫄中国人民大学出版社中国人民大学出版社教材:教材:3第一章第一章行列式行列式4第一节第一节 二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式(一一)二阶行列式二阶行列式:22)1(a,2212221212211abxaaxaa :12)2(a,1222221212112abxaaxaa ,得,得两式相减消去两式相减消去2x;)(212221121122211baabxaaaa (2)(1)22221211212111bxaxabxaxa5;)(212221121122211baabxaaaa ,得,得类似地,消去类似地,消去1x,)(211211221122211a
2、bbaxaaaa 时,时,所以当所以当021122211 aaaa方程组有唯一解方程组有唯一解,211222112122211aaaabaabx .211222112112112aaaaabbax .,22221211212111bxaxabxaxa)1()2(6引入记号引入记号定义定义2112221122211211aaaaaaaa 称为二阶行列式称为二阶行列式.主对角线主对角线对角线法则对角线法则2211aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算2112aa 11a21a12a22a,211222112122211aaaabaabx .211222112112112aaaaabbax 7记记2
3、2211211aaaaD 对于二元线性方程组对于二元线性方程组2112221122211211aaaaaaaa 2221211ababD 2211112babaD 22221211212111bxaxabxaxa211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax ,122221abab ,121211baba 称系数行列式称系数行列式,若若0 D则方程组有唯一解则方程组有唯一解,11DDx ,22DDx -克莱姆法则克莱姆法则8设设132 D。问:。问:(1)当当为何值时,为何值时,0 D;(2)当当为何值时,为何值时,0 D。例例解解2315
4、3)1(25 .13 例例132 D 32 ,)3(1)当当0 或或3 时,时,0 D;(2)当当0 且且3 时,时,0 D。9例例 .12,12232121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解1223 D)4(3 7 112121 D,14 121232 D,21 DDx11,2714 DDx22.3721 ,0 10(二二)三阶行列式三阶行列式三元线性方程组三元线性方程组 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa211121323112113222112112)()(babaxaaaaxaaaa 3111313331
5、13113232113112)()(babaxaaaaxaaaa 321231333213123232213122)()(babaxaaaaxaaaa 32a)(22a 12a 3122133321123223113221133123123322113211232211231122321113122322113aaaaaaaaaaaaaaaaaabaabaabaabaabaaaabx 113122133321123223113221133123123322113211232211231122321113122322113aaaaaaaaaaaaaaaaaabaabaabaabaabaaaabx
6、 引入记号引入记号定义定义称为称为三阶行列式三阶行列式。,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa12333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa 对角线法则对角线法则说明:说明:1、三阶行列式包括、三阶行列式包括3!项,每一项都是位于项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,其中三项为正,三项为负三项为负.322113aaa 312312aaa 312213aaa 332
7、112aaa 2、对角线法则只适用于二阶与三阶行列式、对角线法则只适用于二阶与三阶行列式13 如果三元线性方程组如果三元线性方程组 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD ,0 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组克莱姆法则克莱姆法则,3332323222131211aabaabaabD 记记,3333123221131112abaabaabaD ,3323122221112113baabaabaaD 则该方程组的解为则该方
8、程组的解为,11DDx ,22DDx .33DDx 14243122421 D计计算算三三阶阶行行列列式式例例解解按对角线法则,有按对角线法则,有 D )2(214)2()4()3(1215)3(2)4(.14 解解)2()2(2 411 D )2(214)2()4()3(12243122421 D计计算算三三阶阶行行列列式式例例按对角线法则,有按对角线法则,有16练习练习601504321 043)1(52601 .58481 )1(03642051 17例例解解实数实数ba,满足什么条件时,有满足什么条件时,有 010100 abba?10100abba,22ba 所所以以当当且且仅仅当当
9、0 ba时时,所所给给行行列列式式等等于于零零。18例例解解01140101 aa的充分必要条件是什么?的充分必要条件是什么?1140101aa,1|a,012 a即为所求充分必要条件。即为所求充分必要条件。19.094321112 xx求解方程求解方程练习练习解解方程左端方程左端1229184322 xxxxD,652 xx解得解得由由 065 2 xx3.2 xx或或20例例 解线性方程组解线性方程组 .0,132,22321321321xxxxxxxxx解解111312121 D5 ,0 1103111221 D,5 1013121212 D,10 210111122213 D,5 故方
10、程组的解为故方程组的解为,111 DDx,222 DDx.133 DDx111312121 D,5 1103111221 D,5 1013121212 D,10 22例例使使求一个二次多项式求一个二次多项式),(xf.28)3(,3)2(,0)1(fff解解 设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为,)(2cxbxaxf 由题意得由题意得 2839)3(324)2(0)1(cbafcbafcbaf,020 D.20,60,40321 DDD得得,21 DDa,32 DDb13 DDc故所求多项式为故所求多项式为.132)(2 xxxf插值问题插值问题23 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方
11、二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa小结:小结:24第二节第二节 n 阶行列式阶行列式(一一)排列与逆序排列与逆序 由由n个不同数码个不同数码1,2,n 组成的有序数组组成的有序数组 i1i2in,称称为一个为一个n级排列级排列.定义定义 在一个在一个n级排列级排列 i1i2in 中中,如果有
12、较大的数如果有较大的数 it 排在较小的数排在较小的数 is 前面前面(is1)共有共有n!个个 n 级排列,其中奇偶级排列,其中奇偶排列各占一半。排列各占一半。28(二二)n 阶行列式阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa (1)三阶行列式共有三阶行列式共有 3!=6 项项(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标
13、排列元素的下标排列例如例如322113aaa列标排列列标排列312是偶排列是偶排列,正号正号 322311aaa,负号负号 列标排列列标排列132是奇排列是奇排列,29.)1(321321321321)(ppppppppptaaa333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 30nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 定义定义 用用n2 个元素个元素 aij (i,j=1,2,n)组成的记号组成的记号定义为定义为,)1(21212121)(nnnnppp
14、pppppptaaa ).det(ija简记作简记作determinant为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数的一个排列,的一个排列,为自然数为自然数其中其中)(212121nnppptnpppn阶行列式是阶行列式是n!项的代数和项的代数和,不同列的不同列的n个元素的乘积个元素的乘积.每项都是位于不同行、每项都是位于不同行、31所表示的代数和中有所表示的代数和中有4!=24项项.例如,四阶行列式例如,四阶行列式44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 例如例如,a11a22a33a44 项取项取 号号,a11a24a33a44不是不是
15、D 的项的项.a14a23a31a42 项取项取 号号,+-32 D 中各项中不为零的项只有中各项中不为零的项只有 a11a22ann,其他项其他项均为零,由于均为零,由于 t(12n)=0,因此这一项取正号,得因此这一项取正号,得例例 计算计算上三角行列式上三角行列式nnnnaaaaaaD000022211211 解解nnnnaaaaaa00022211211.2211nnaaa 33同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式.2211nnaaa nnnnaaaaaa2122211100034特殊情况:特殊情况:.00000000000000002211332211nnnnaaaaaaa 这种
16、行列式称为这种行列式称为对角对角行列式行列式。35例例 计算行列式计算行列式000000000000dcbaD 解解abcdDt)4321()1(.abcd 练习:推广到练习:推广到 n 阶情况。阶情况。36n 21.)1(212)1(nnn 2)1()12)1(nnnnt37例例 设设,1211123111211)(xxxxxf .3的的系系数数求求 x含含 的项有两项,即的项有两项,即3x解解43342211)1243()1(aaaat 44332211)1234()1(aaaat 3x 32x.13 的系数为的系数为故故 x,3x 38第三节第三节 行列式的性质行列式的性质说明说明 行列
17、式中行与列的地位是对等的行列式中行与列的地位是对等的,因此行列式因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等,即行列式与它的转置行列式相等,即行列式行列式 称为行列式称为行列式 D 的转置行列式的转置行列式。TDnnaaa2211nnaaa21122121nnaaa TDnnaaa2211 D记记2121nnaaannaaa2112证略证略DDT 39性质性质2 2 交换行列式的两行交换行列式的两行(列列),),行列式的值变号。行列式的值变号。例如例如,571571 266853.825825 36156756736
18、1266853证略证略推论推论 如果行列式有两行如果行列式有两行(列列)完全相同,则此行列完全相同,则此行列式为零。式为零。证明证明互换相同的两行,有互换相同的两行,有 .0 D,DD 40性质性质3 3 行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有的元素都乘以同中所有的元素都乘以同一数一数 k,等于用数等于用数 k 乘此行列式乘此行列式,即即证略证略nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 说明说明行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有元素若有公因子中所有元素若有公因子,可以提到行列式符号的外面。可以提到行列式符号
19、的外面。推论推论如果行列式有两行如果行列式有两行(列列)的对应元素成比例的对应元素成比例,则则行列式的值等于零。行列式的值等于零。41性质性质4 4若行列式的某一列若行列式的某一列(行行)的元素都是两数之和,的元素都是两数之和,nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则 D 等于下列两个行列式之和:等于下列两个行列式之和:nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如注意注意:一次只能拆一行或一列。:一次只能拆一行或一列。证证略略42例例 证明证明333
20、2221113333332222221111112cbacbacbaaccbbaaccbbaaccbba 由性质由性质4,证证上式左边上式左边 333332222211111333332222211111accbbaccbbaccbbaccbaaccbaaccba 333322221111333322221111333322221111333322221111accbaccbaccbacbbacbbacbbacbaacbaacbaccbaccbaccba 43333322221111333322221111333322221111333322221111accbaccbaccbacbbacbb
21、acbbacbaacbaacbaccbaccbaccba 由性质由性质2推论,第二、第三个行列式的值为推论,第二、第三个行列式的值为0;再由性质再由性质4,把第一、第四个行列式分别拆成两个行列,把第一、第四个行列式分别拆成两个行列式之和并化简后,式之和并化简后,上式上式333222111333222111acbacbacbcbacbacba .2333222111cbacbacba 44性质性质5把行列式的某一列把行列式的某一列(行行)的各元素乘以同一数的各元素乘以同一数k后加到另一列后加到另一列(行行)对应的元素上去,行列式不变。对应的元素上去,行列式不变。nnnjninnjinjiaaaa
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