第12章时间序列模型课件.ppt
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- 12 时间 序列 模型 课件
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1、2023-1-10第12章时间序列模型第第12章时间序列模型章时间序列模型第12章时间序列模型第12章时间序列模型 时间序列分析方法由时间序列分析方法由Box-Jenkins(1976)提出。提出。这种建模方法这种建模方法不以经济理论为依据不以经济理论为依据,而是,而是依据变量自身的变依据变量自身的变化规律,利用外推机制描述时间序列的变化化规律,利用外推机制描述时间序列的变化。注意序列的平稳性注意序列的平稳性。如果时间序列非平稳,应先通过差分使。如果时间序列非平稳,应先通过差分使其平稳后,再建立时间序列模型。其平稳后,再建立时间序列模型。估计估计ARMA模型方法是模型方法是极大似然法极大似然法
2、。对于给定的时间序列,模型形式的选择通常并对于给定的时间序列,模型形式的选择通常并不是惟一不是惟一的。的。在实际建模过程中经验越丰富,模型形式选择就越准确合理。在实际建模过程中经验越丰富,模型形式选择就越准确合理。ARIMA模型的特点模型的特点(第(第3版版282页)页)第12章时间序列模型第12章时间序列模型当当代代计计量量经经济济模模型型体体系系第12章时间序列模型第12章时间序列模型 随机过程随机过程:随时间由随机变量组成的一个有序序列称随时间由随机变量组成的一个有序序列称为为随机过程,用随机过程,用xt,tT表示,简记为表示,简记为xt或或xt。时间序列时间序列:随机过程的一次观测结果
3、:随机过程的一次观测结果(一次实现一次实现),时间序时间序列中的元素称为观测值。时间序列也用列中的元素称为观测值。时间序列也用xt,tT表示,表示,简记为简记为xt或或xt。假设样本观测值假设样本观测值 来自无穷随机变量序列来自无穷随机变量序列 那么这个无穷随机序列称为随机过程。那么这个无穷随机序列称为随机过程。(第(第3版版282页)页)第12章时间序列模型 协方差平稳过程协方差平稳过程(covariance stationary process)如果一个随机过程如果一个随机过程xt满足以下性质,满足以下性质,(1)均值:均值:E(xt)=(常数常数)(2)方差:方差:var(xt)=2 (
4、常数常数)(3)自协方差:自协方差:k=E(xt-)(xt+k-)=k 2(一种更为简便的方法是用(一种更为简便的方法是用自相关系数自相关系数来描述自协方差,即来描述自协方差,即通过自协方差除以方差进行标准化后而得到通过自协方差除以方差进行标准化后而得到k=rk/r0。)。)这时称这时称xt是协方差平稳过程,也称是协方差平稳过程,也称宽平稳或弱平稳过程。宽平稳或弱平稳过程。平稳过程指随机过程的平稳过程指随机过程的统计规律不随时间的推移而发生变化统计规律不随时间的推移而发生变化。直观上,平稳的时间序列可看作一条围绕均值上下波动的曲线。直观上,平稳的时间序列可看作一条围绕均值上下波动的曲线。第12
5、章时间序列模型 单整过程(单整过程(unit root process)非平稳过程指随机过程的统计规律随着时间的推移而发生变非平稳过程指随机过程的统计规律随着时间的推移而发生变化。化。这些非平稳的时间序列经过差分变化以后,可以转变为平稳这些非平稳的时间序列经过差分变化以后,可以转变为平稳的。的。对于随机过程,如果必须经过对于随机过程,如果必须经过d次差分之后才能变换成为一次差分之后才能变换成为一个平稳的过程,而当进行个平稳的过程,而当进行d-1次差分后仍是一个非平稳过程,次差分后仍是一个非平稳过程,则称此随机过程具有则称此随机过程具有d 阶单整性,记为阶单整性,记为第12章时间序列模型 差分差
6、分指时间序列变量的本期值与其滞后值相减的运算。指时间序列变量的本期值与其滞后值相减的运算。一阶差分可表示为:一阶差分可表示为:xt-xt-1=xt=(1-L)xt=xt-L xt 其中其中 称为一阶差分算子称为一阶差分算子;滞后算子滞后算子:用用L表示表示 定义一阶滞后算子为:定义一阶滞后算子为:Lxt=xt-1 k阶滞后算子定义为:阶滞后算子定义为:Ln xt=xt-n 第12章时间序列模型 若随机过程若随机过程xt(t T)满足以下条件则称为白噪声过程满足以下条件则称为白噪声过程 (1)E(xt)=0 (2)Var(xt)=2 ,t T (3)Cov(xt,xt-k)=0,(t-k)T,k
7、 0 a.由白噪声过程产生的时间序列由白噪声过程产生的时间序列 b.日元对美元汇率的收益率日元对美元汇率的收益率 白噪声是平稳的随机过程白噪声是平稳的随机过程 经典线性回归对残差的要求是一个白噪声过程经典线性回归对残差的要求是一个白噪声过程(第(第3版版283页)页)第12章时间序列模型 对于对于xt=xt-1+ut,若,若ut 为白噪声过程,称为白噪声过程,称xt 为随机游走过程。为随机游走过程。随机游走过程的随机游走过程的均值为零,方差为无限大均值为零,方差为无限大。xt=xt-1+ut=ut+ut-1+xt-2=ut+ut-1+ut-2+(1)E(xt)=E(ut+ut-1+ut-2+)
8、=0,(2)Var(xt)=Var(ut+ut-1+ut-2+)=随机游走过程是随机游走过程是非平稳的随机过程非平稳的随机过程。对随机游走进行一阶差分,可将其转化为平稳过程。对随机游走进行一阶差分,可将其转化为平稳过程。xt=xt-xt-1=ute.由随机游走过程产生时间序列由随机游走过程产生时间序列 f.日元对美元汇率日元对美元汇率(第(第3版版291页)页)第12章时间序列模型第12章时间序列模型 xt=1xt-1+2 xt-2+p xt-p+ut 其中:其中:i,i=1,p 是自回归参数,是自回归参数,ut 是白噪声过程。是白噪声过程。xt是由它的是由它的p个滞后变量的加权和个滞后变量的
9、加权和以及以及ut相加相加而成。而成。上式用滞后算子表示为:上式用滞后算子表示为:(1-1L-2L2-pLp)xt=L)xt=ut L)=1-1L-2L2-pLp 称为特征多项式或自回归算子称为特征多项式或自回归算子l 平稳性:平稳性:若特征方程若特征方程 z)=1-1z-2z2-pzp=(1G1z)(1G2z).(1Gpz)=0 的的所有根的绝对值都大于所有根的绝对值都大于1,则,则AR(p)是一个平稳的随机过程。是一个平稳的随机过程。自回归过程的变量自回归过程的变量xt,仅仅依赖于它的各个前期的值再加上一个误差项。仅仅依赖于它的各个前期的值再加上一个误差项。之所以称之为之所以称之为特征方程
10、,特征方程,是因为它是因为它的根决定了过程的根决定了过程 xt的特征。的特征。(第(第3版版284页)页)第12章时间序列模型(第(第3版版284页)页)第12章时间序列模型 xt=1xt-1+ut 平稳性的条件是特征方程平稳性的条件是特征方程(1-1L)=0根的绝对值必须大于根的绝对值必须大于1,满足,满足|1/1|1,也就是,也就是|1|1 xt=ut+1ut-1+12xt-2=ut+1ut-1+12ut-2+(短记忆过程短记忆过程)因为因为ut 是一个白噪声过程,所以对于平稳的是一个白噪声过程,所以对于平稳的AR(1)过程:过程:E(xt)=0 Var(xt)=u2+12 u2+14 u
11、2+=上式说明若保证上式说明若保证xt平稳,必须保证平稳,必须保证|1|1。(第(第3版版284页)页)第12章时间序列模型在在Equation specification对话框输入:对话框输入:D(Y)C AR(1)第12章时间序列模型(第(第3版版286页)页)第12章时间序列模型为了验证这一性质,首先将为了验证这一性质,首先将yt-1用滞后算子表示用滞后算子表示Lyt yt=Lyt+ut yt-Lyt=ut (1-L)yt=ut 特征方程为:特征方程为:1-z=0其中有根其中有根z=1落在单位圆上,而不是单位圆之外。落在单位圆上,而不是单位圆之外。该过程是非平稳的,它是随机游走过程。该过
12、程是非平稳的,它是随机游走过程。下面的模型是平稳的吗?下面的模型是平稳的吗?yt=yt-1+ut第12章时间序列模型 xt=1xt-1+2xt-2+ut 平稳性的条件是特征方程平稳性的条件是特征方程1-1L-2L2=0的两个根在单位圆外:的两个根在单位圆外:2+1 1 2-1 1|2|1解得:解得:第12章时间序列模型第12章时间序列模型(第(第3版版286页)页)第12章时间序列模型 (1)AR(p)平稳性的必要条件是平稳性的必要条件是(p个自回归系数之和小于个自回归系数之和小于1):1+2+p1,或或|1|1。当当|1|1时,时,MA(1)过程应变换为过程应变换为 ut=(1+1L)1xt
13、=(1-1L+12L2-13L3+)xt 这是一个这是一个无限阶的以无限阶的以几何衰减几何衰减为权数的自回归过程为权数的自回归过程。对于对于MA(1)过程有过程有 E(xt)=E(ut)+E(1ut-1)=0 Var(xt)=Var(ut)+Var(1ut1)=(1+12)u2(第(第3版版288页)页)第12章时间序列模型第12章时间序列模型第12章时间序列模型(第(第3版版287页)页)第12章时间序列模型4.自回归与移动平均过程的关系自回归与移动平均过程的关系(1)一个平稳的一个平稳的AR(p)过程:过程:(1-1L-2L2-pLp)xt=ut 可以转换为一个无限阶的移动平均过程:可以转
14、换为一个无限阶的移动平均过程:xt=(1-1L-2L2-pLp)-1ut=L)-1ut(2)一个可逆的一个可逆的MA(p)过程:过程:xt=(1+1L+2L2+qLq)ut=L)ut 可以转换成一个无限阶的自回归过程:可以转换成一个无限阶的自回归过程:(1+1L+2L2+qLq)-1xt=L)-1xt=ut(3)对于对于AR(p)过程只需考虑平稳性问题,条件是过程只需考虑平稳性问题,条件是 L)=0的根的根(绝对值)必须大于(绝对值)必须大于1。不必考虑可逆性问题。不必考虑可逆性问题。(4)对于对于MA(q)过程只需考虑可逆性问题,条件是过程只需考虑可逆性问题,条件是 L)=0的根(绝的根(绝
15、对值)必须大于对值)必须大于1,不必考虑平稳性问题。,不必考虑平稳性问题。第12章时间序列模型自回归移动平均(自回归移动平均(autoregressive moving average)过程)过程:其平稳性依赖于自回归部分其平稳性依赖于自回归部分:(L)=0的根全部在单位圆之外。的根全部在单位圆之外。其可逆性依赖于移动平均部分:其可逆性依赖于移动平均部分:(L)=0的根全部在单位圆之外。的根全部在单位圆之外。实际中最常用的是实际中最常用的是ARMA(1,1)过程过程:xt-1xt-1=ut+1ut-1 (1-1L)xt=(1+1L)ut只有当只有当 1 1 1和和 1 1 1时,时,上述模型才
16、是平稳的,可逆的。上述模型才是平稳的,可逆的。xt=1xt-1+2xt-2+pxt-p+t-1 t-1-2 t-2-q t-q、ARMA(p,q)(第(第3版版288页)页)第12章时间序列模型第12章时间序列模型 根据根据ARMA特征方程特征方程(L)=0的的根取值不同,分为三种情形:根取值不同,分为三种情形:(1)若若全部根取值在单位圆之外,则该过程是全部根取值在单位圆之外,则该过程是平稳平稳的;的;(2)若某个根或全部根在单位圆之内,则该过程是若某个根或全部根在单位圆之内,则该过程是强非平稳强非平稳的。的。例如,例如,xt=1.3 xt-1+ut (特征方程的根(特征方程的根=1/1.3
17、=0.77)上式两侧同减上式两侧同减 xt-1得:得:xt=0.3 xt-1+ut(仍然非平稳)。(仍然非平稳)。(3)如果特征方程的若干根取值恰好在单位圆上,则这种根称为如果特征方程的若干根取值恰好在单位圆上,则这种根称为 单位根,这种过程也是单位根,这种过程也是非平稳非平稳的。定义:的。定义:假设一个随机过程含有假设一个随机过程含有d个单位根,其经过个单位根,其经过d次差分之后可以变换次差分之后可以变换为一个平稳的自回归移动平均过程为一个平稳的自回归移动平均过程。则该随机过程被称为。则该随机过程被称为。(第(第3版版290页)页)第12章时间序列模型 考虑随机过程的一般表达式:考虑随机过程
18、的一般表达式:(L)d yt=(L)ut 其中其中(L)是平稳的自回归算子,是平稳的自回归算子,(L)d为广义自回归算子,为广义自回归算子,(L)是可逆的移动平均算子。是可逆的移动平均算子。若取若取xt=d yt,则上式可表示为,则上式可表示为:(L)xt=(L)ut 即即yt 经过经过d 次差分后,可用一个平稳的、可逆的次差分后,可用一个平稳的、可逆的ARMA过程过程xt 表示表示,称称yt 为单整为单整(单积单积)自回归移动平均过程自回归移动平均过程ARIMA(p,d,q)。当当p 0,d=0,q 0 时,时,当当d=0,p=0,q 0 时时当当d=0,p 0,q=0 时,时,当当 p=d
19、=q=0时,时,ARIMA变成变成ARMA(p,q)过程过程;ARIMA变成变成MA(q)过程过程;ARIMA变成变成 AR(p)过程过程;ARIMA变成白噪声过程变成白噪声过程;第12章时间序列模型几种常见的非平稳随机过程几种常见的非平稳随机过程 (1)ARIMA(0,1,0)过程过程 yt=ut 其中其中 p=q=0,d=1 (L)=1-1 L,(L)=1 (2)ARIMA(0,1,1)过程过程 yt=ut+1ut1=(1+1L)ut 其中其中p=0,d=1,q=1,(L)=1,(L)=1+1 L (3)ARIMA(1,1,0)过程过程 yt-1 yt 1=ut 其中其中 p=1,d=1,
20、q=0,(L)=1-1 L,(L)=1 (4)ARIMA(1,1,1)过程过程 yt-1 yt-1=ut+1ut-1 或或 (1-1L)yt=(1+1L)ut 其中其中 p=1,d=1,q=1,(L)=1-1 L,(L)=1+1L第12章时间序列模型建立时间序列建立时间序列ARIMA(p,d,q)模型流程图模型流程图12.3 时间序列模型的建立时间序列模型的建立(第(第3版版302页)页)第12章时间序列模型(第(第3版版302页)页)第12章时间序列模型(第(第3版版301页)页)12.3 时间序列模型的建立与预测时间序列模型的建立与预测第12章时间序列模型1 1、如何识别?如何识别?第12
21、章时间序列模型 估计结果为:估计结果为:Dyt=0.1429+0.6171(Dyt-1-0.1429)+vt (8.7)(5.4)R2=0.38,Q(10)=5.2,Q (k-p-q)=Q0.05(10-1-0-1)=15.52 2、如何估计?如何估计?第12章时间序列模型 因为因为Q(10)=5.2 0(经济问题中常见)(经济问题中常见)图图b.-1 1时,时,kk=0。所以。所以AR(1)过程的过程的 偏自相关函数特征是偏自相关函数特征是在在k=1出现峰值(出现峰值(11=1)然后截尾)然后截尾。图图a.11 0 图图b.11 p时,时,kk=0。偏自相关函数在滞后期偏自相关函数在滞后期p
22、以后有截尾特性,以后有截尾特性,此特征可用来此特征可用来 识别识别AR(p)过程的阶数。过程的阶数。注意注意第12章时间序列模型 对于对于MA(1)过程:过程:xt=ut+1 ut-1 整理:整理:1/(1+1L)xt=ut,(1-1L+12L2-)xt=ut,xt=1xt-1-12xt-2+13xt-3-+ut 当当 1 0时,自回归系数的符号是正负交替的;时,自回归系数的符号是正负交替的;当当 1 0时,自回归系数的符号全是负的。时,自回归系数的符号全是负的。因为因为MA(1)过程可以转换为无限阶的过程可以转换为无限阶的AR过程,所以其过程,所以其 偏自相关函数呈偏自相关函数呈指数衰减指数
23、衰减特征。特征。3.移动平均过程的偏自相关函数移动平均过程的偏自相关函数 图图a.1 0 图图b.1 0第12章时间序列模型 因为任何一个可逆的因为任何一个可逆的MA(q)过程都可以转换成一个无限阶过程都可以转换成一个无限阶的系数按几何递减的的系数按几何递减的AR过程,所以:过程,所以:MA(q)过程的偏自相关函数呈缓慢衰减特征过程的偏自相关函数呈缓慢衰减特征。ARMA(p,q)过程的偏自相关函数也是无限延长的,其表现过程的偏自相关函数也是无限延长的,其表现形式与形式与MA(q)过程的偏自相关函数相类似。根据模型中移动过程的偏自相关函数相类似。根据模型中移动平均部分的阶数平均部分的阶数q以及参
24、数以及参数 i的不同,的不同,ARMA(p,q)过程的过程的偏自相关函数呈指数衰减和(或)正弦衰减混合形式。偏自相关函数呈指数衰减和(或)正弦衰减混合形式。第12章时间序列模型4.4.偏相关图偏相关图(Partial Correlogram)对于时间序列数据,偏自相关函数通常是未知的,可以用对于时间序列数据,偏自相关函数通常是未知的,可以用样本样本估计偏自相关函数。估计偏自相关函数。因为因为AR过程和过程和ARMA过程中过程中AR分量的偏自相关函数具有分量的偏自相关函数具有截尾特性,所以截尾特性,所以可利用偏相关图估计自回归过程的阶数可利用偏相关图估计自回归过程的阶数p。实际中对于偏相关图取实
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