课件PPT学习镶嵌.ppt

1、探究性活动 “ 镶嵌” 观察以下图案，说明它们都是由哪些几何图形组成？观察以下图案，说明它们都是由哪些几何图形组成？ 第一页 第二页 第三页 第四页 精品PPT 观察以下图案，说明它们都是由哪些几何图形组成？观察以下图案，说明它们都是由哪些几何图形组成？ 第一页 第二页 第三页 第四页 镶嵌：用形状相同或不同的平面封闭图形把一块地既无镶嵌：用形状相同或不同的平面封闭图形把一块地既无 缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里叫做平面镶嵌缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里叫做平面镶嵌.多边多边 形的镶嵌有两类情况：形的镶嵌有两类情况：（1）有些图案中的多边形的顶有些图案中的多边形的顶 点在另一个多边形的边上

2、点在另一个多边形的边上.（2）有些镶嵌中的多边形顶）有些镶嵌中的多边形顶 点不落在另一个多边形的边上点不落在另一个多边形的边上.即项点与顶点重合，边与即项点与顶点重合，边与 边重合边重合.我们在初中仅探讨第二种情况我们在初中仅探讨第二种情况. 第一页 第二页 第三页 第四页 如果让你设计几种地板图案要解决如下问题：如果让你设计几种地板图案要解决如下问题： 问题问题1：如果限于用一种正多边形镶嵌，哪：如果限于用一种正多边形镶嵌，哪 几种正多边形能镶嵌成一个平面？几种正多边形能镶嵌成一个平面？ 问题问题2 ：如果允许用几种正多边形组合起来：如果允许用几种正多边形组合起来 镶嵌（讨论顶点与顶点重合的

3、情况），由哪几种镶嵌（讨论顶点与顶点重合的情况），由哪几种 正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？ 第一页 第二页 第三页 第四页 1、什么是平面镶嵌？、什么是平面镶嵌？ 2、你能只用一种多边形（如正三角形，正四边形，正六边形）、你能只用一种多边形（如正三角形，正四边形，正六边形） 拼成一个地面吗？（用自制的正三角形，正方形，正六边形纸片拼成一个地面吗？（用自制的正三角形，正方形，正六边形纸片 进行实验）进行实验） 3、你能只用一种正五边形拼成一个地面吗？（用自制的正五边、你能只用一种正五边形拼成一个地面吗？（用自制的正五边 形进行实验）形进行实验） 4、为什么正

4、五边形拼不成地面？而用正三角形可以？可以拼成、为什么正五边形拼不成地面？而用正三角形可以？可以拼成 一个地面条件是什么？一个地面条件是什么？ 5、试用数学知识推导，只用一种正多边形进行平面镶嵌，有几、试用数学知识推导，只用一种正多边形进行平面镶嵌，有几 种方法？种方法？ 6、任意的三角形，任意的四边形均可镶嵌成一个地面吗？、任意的三角形，任意的四边形均可镶嵌成一个地面吗？ 阅读课本，思考下列问题，并用纸片进行拼图试验阅读课本，思考下列问题，并用纸片进行拼图试验 解得解得 仅用正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须要求仅用正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须要求 在公共顶点上所有内角和为在公共

5、顶点上所有内角和为360360度度. .令正多边形的边数为令正多边形的边数为n,n, 个数为个数为m,m,则有则有 (2)180 360 n m n 2 23 2 2 36 2 m mn m m m m 6 3 m n 4 4 m n 3 6 m n 第一页 第二页 第三页 第四页 （1） 正三角形的平面镶嵌 60 60 60 60 60 60 第一页 第二页 第三页 第四页 （2） 正方形的平面镶嵌 90 第一页 第二页 第三页 第四页 （3） 正六边形的平面镶嵌 注：n指边数，k 指同一顶点的正 多边形个数。 第一页 第二页 第三页 第四页 因为正五边形的内角 不能组成360的角， 而正三

6、角形的内角能 组成360的角。 而三角形的内角为180度， 两个180度为360度，任意 四边形的内角和为360度， 所以三角形，四边形均 可镶嵌成平面。 第一页 第二页 第三页 第四页 第一页 第二页 第三页 第四页 只用一种正多边形进行镶嵌，只有（只用一种正多边形进行镶嵌，只有（6 6，6 6， 6 6）；（）；（4 4，4 4，4 4，4 4）；（）；（3 3，3 3，3 3，3 3，3 3，3 3） 三种情形。那么，如果用两种正边形进行镶三种情形。那么，如果用两种正边形进行镶 嵌，又有几种情况呢？请尝试嵌，又有几种情况呢？请尝试 1）试用正三角形与正方形进行平面镶嵌，）试用正三角形与正

7、方形进行平面镶嵌， （先用纸片进行实验，再理论解释）（先用纸片进行实验，再理论解释） 2）试用正三角形与正六边形进行平面镶嵌，）试用正三角形与正六边形进行平面镶嵌， 先理论探讨有几种情况，再用纸片进行拼图先理论探讨有几种情况，再用纸片进行拼图 设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有m个正三角形，个正三角形，n个正个正 方形的角，则记作（方形的角，则记作（3，3，3，4，4） 3 6090360 2 m mn n 注意：同一个组合会有注意：同一个组合会有 不同的镶嵌效果不同的镶嵌效果 第一页 第二页 第三页 第四页 第一页 第二页 第三页 第四页 设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有m个正三角形，

8、个正三角形，n个正个正 六边形的角，则记作（六边形的角，则记作（3，3，3，6）；（）；（3， 3，6，6） 42 60120360, 12 mm mn nn （3，3，3，6）见）见第三第三页页 （3，3，6，6）见第四页）见第四页 (1)、正多边形的顶点在另一个正多边形的边上 60 90 60 顶点与顶点重合的情形顶点与顶点重合的情形 图案图案 注意：同一个组合会有不同的镶嵌效果注意：同一个组合会有不同的镶嵌效果 图案图案（） 第一页 第二页 第三页 第四页 图案图案（） 60 60 每个顶点处正六边形1个，正三角形4个. 第一页 第二页 第三页 第四页 第一页 第二页 第三页 第四页 1

9、、如果用正三角形与正十二边形，如何镶嵌？、如果用正三角形与正十二边形，如何镶嵌？ 2、如果用正四边形与正八边形，如何镶嵌？、如果用正四边形与正八边形，如何镶嵌？ 3、如果用三个正多边形，又有几种情况呢？、如果用三个正多边形，又有几种情况呢？Page23 4、如果一个正多边形的顶点在另一个多边形的边上，要、如果一个正多边形的顶点在另一个多边形的边上，要 满足何种条件呢，才可镶嵌成一个平面呢？满足何种条件呢，才可镶嵌成一个平面呢？Page45 相关答案请见第一至第六页。相关答案请见第一至第六页。 第五页 如果一个正多边形的顶点在另一个多边形的边上，要如果一个正多边形的顶点在另一个多边形的边上，要

10、满足何种条件，才可镶嵌成一个平面呢？满足何种条件，才可镶嵌成一个平面呢？ 因为正多边形的内角和为 ，一条边上有 k个内角，由于这些内角和为 180度，有 (2)180n n (2)180 180(2)(1)2 n knk n 34 34 nn kk 记作（记作（3，3，3）(4， 4，4，4) 图形见第五页图形见第五页 第一页 第二页 第三页 第四页 第五页 (1)、正多边形的顶点在另一个正多边形的边上 60 90 60 第一页 第二页 第三页 第四页 第五页 第一页 第二页 第三页 第四页 第五页 正十二边形与正三正十二边形与正三 角形的平面镶嵌角形的平面镶嵌 正十二边形与正方形、正十二边形

11、与正方形、 正五边形的平面镶嵌正五边形的平面镶嵌 正 八 边 形 与 正 方 正 八 边 形 与 正 方 形 的 平 面 镶 嵌 形 的 平 面 镶 嵌 图例图例 第一页 第二页 第三页 第四页 第五页 资料1：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。 有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出 的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已 经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。 第一页 第二页 资料资料2：石子路镶嵌图案最多的图林 在北京故官御花园内，有许多颜色不同的细石子砌成的各种 美丽图案的花石子路，据统计全园花石子路上的图案约有 900幅，可以说是中国拥有石子路镶嵌图案最多的图林了。 这些石子路图案的组成，是把全园作为一个整体来考虑设计 的，因此显得极为统一协调。但是每幅图案又有它的独立的 面貌，内容各异，图案的内容有人物、风景、花卉、博古等， 种类繁多。其中的“颐和春色”、“关黄对刀”、“鹤鹿同 春”等图案，造型优美，动态活泼、构图别致，色彩分明， 沿路观赏，美不胜收。 第一页 第二页