最新华东师大版九年级数学下册第26章二次函数课件.pptx

1、第第2626章章 二次函数二次函数26.1 26.1 二次函数二次函数知识回顾1.一元二次方程的一般形式是什么？2.一次函数的定义是什么？ax2+bx+c=0形如y=kx+b(其中k,b为常数且k0)的函数叫做x的一次函数。(a0)用总长为20 m 的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃。怎样围，才能使花圃的面积最大？1.设矩形靠墙的一边AB的长为x，矩形的面积为y2能用含x的代数式来表示y吗？2.试填下面的表。3.x的值可以任意取？有限定范围吗？4.我们发现y是x的函数，试写出这个函数的关系式。xx20-2xBCDA问题1 AB的长 x（）123456789BC的长（）12面积 y（）48y

2、=x(20-2x)=-2x2+20 x(0 x10)1818321442161050848642432180 x1021.设矩形靠墙的一边AB的长x，矩形的面积y2能用含x的代数式来表示y吗？2.试填下面的表。3.x的值可以任意取？有限定范围吗？4.我们发现y是x的函数，试写出这个函数的关系式。能某商店将每件进价为8元的商品按每件10元出售，一天可售出100件。该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。经市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？1.设每件商品降低x元（0 x2），该商品每天的利润为y，y是x的函数吗？

3、填写下表。2.怎样写出该关系式？每天利润=单件利润每天销量问题2单件利润（元）单件利润（元）每天销量（件）每天销量（件）每天利润（每天利润（y元元)降价降价x元前元前降价降价x元后元后100（10-8）10010-810-x-8(10-x-8)(100+100 x)100+100 xy=(10-x-8)(100+100 x)即y=-100 x2+100 x+200(0 x2)1.设每件商品降低x元（0 x2），该商品每天的利润为y元，y是x的函数吗？填写下表.2.怎样写出该关系式？得到的两个函数关系式有什么特点?(1)右边都是关于x的整式.(2)自变量x的最高次数是2.即都是自变量的二次整式！

4、探索y=-2x2+20 x(0 x10)y=-100 x2+100 x+200(0 x2)对比一次函数归纳二次函数的定义。形如y=ax+bx+c（a，b，c是常数，a0）的函数叫做二次函数。提问：2.对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？1上述概念中的a为什么不能是0？思考：判断一个函数是否是二次函数的关键是：看二次项的系数是否为0。1.由问题1和2你认为判断二次函数的关键是什么？2.二次函数的一般式yax2bxc（a0）与一元二次方程ax2bxc0（a0）有什么联系和区别？联系：(1)等式一边都

5、是ax2bxc且 a 0；(2)方程ax2bxc=0可以看成是函数y=ax2bxc中y=0时得到的.区别:前者是函数，后者是方程。等式另一边前者是y,后者是0。1、下列函数，哪些是二次函数？(1)y=3x-1（）(2)y=3x2 （）(3)y=3x3+2x2 （）(4)y=2x2-2x+1（）(5)y=x-2+x （）(6)y=x2-x(1+x)（）知识运用知识运用m2-2m-1=2，m+1 0，2、m取何值时，函数是二次函数？22113mmymxmx m解:由题意，得m=3。第第2626章章 二次函数二次函数26.2 26.2 二次函数的图像与性质二次函数的图像与性质函数y=ax+bx+c(

6、a,b,c是常数,a0)叫做x的二次函数。什么叫二次函数?我们学过用什么方法画函数的图象?主要有哪些步骤?w观察y=x2的表达式,选择适当的x的值,并计算相应的y值,完成下表：用描点法画二次函数y=x2的图象x xy=xy=x2 20123-1-2-30149149xyO-4-3-2-11234108642-2描点,连线y=x2 2?观察图象,回答问题串w(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.w(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.w(3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?w(4)在对称轴左侧,随着x值的增大,y 的值如何变化？

7、在对称轴右侧呢？w(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？2xy这条抛物线关于y轴对称,y轴就 是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.()二次函数y=-x2的图象是什么形状？(2)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？你能根据表格中的数据作出猜想吗？x-3-2-10123y=-x2-9-4-1 0-1-4-9y=xy=x2 2x0123-1-2-30149149xy0 0-4-3-2-1123-10-8-6-4-22-1描点描点,连线连线y=-=-x2 2 抛物线 顶点坐标对称轴位置 开

8、口方向增减性最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴y轴 在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方(除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.w函数y=ax2(a0)的图象和性质.顶点坐标与对称轴.位置与开口方向.增减性与最值2xy2xy1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.2.当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；

9、在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口向上,并且向上无限伸展；当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小。当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0,开口都向上2xyO顶点坐标是点(2,0).直线x=22xyO在对称轴(直线:x=2)左侧(即x0时,抛物线在x轴的上方(除顶点外),它的开口向

10、上,并且向上无限伸展；当a0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的值最小(是0).当a0)y=a(x-h)2(a0时,向右平移;当h0时向上平移;当k0)y=a(x-h)2+k(a0h0时时,向右平移向右平移;当当h0h0k0时向上平移时向上平移;当当k0k0(4)a0时时,开口向上开口向上,在对称轴左侧在对称轴左侧,y,y都随都随x x的增大而减小的增大而减小,在在对称轴右侧对称轴右侧,y,y都随都随 x x的增大而增大的增大而增大.a0.a0a0a0a0 B.abc0C.a+b+c=0 D.a-b+c01xyo-

11、1()（）5.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得抛物线y=x2-2x+1,则 A.b=2 B.b=-6,c=6 C.b=-8 D.b=-8,c=186.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx-3的大致图象是()()xyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-37.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （）xyoxyoxyoxyoABCD问题1如图，要用长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃面积最大？根据题意，得y=-2xy=-2x2

12、 2+20 x+20 x（0 0 x x1010）配方，得y=-2y=-2（x-5x-5）2 2+50+50。函数图象开口向下，顶点坐标为（5 5，5050），即当x=5x=5时，函数取得最大值50.50.所以当ABAB长为5m5m，BCBC长为10m10m时，花圃的面积最大，为50m50m2 2.问题2某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件。该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？根据题意，得关系式为y=-100 x2+100 x+200

13、26.2.5 例5 用6 m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？即在实际问题中在实际问题中,自变量往往是有一定自变量往往是有一定取值范围的取值范围的.因此因此,在根据二次函数在根据二次函数的顶点坐标的顶点坐标,求出当自变量取某个值求出当自变量取某个值时时,二次函数取最大值二次函数取最大值(或最小值或最小值),),还要根据实际问题检验自变量的这还要根据实际问题检验自变量的这一取值是否在取值范围内一取值是否在取值范围内,才能得到才能得到最后的结论最后的结论.w(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？w

14、(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?w如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCDABCD，其中ABAB和ADAD分别在两直角边上.ABCDMN.3043,1:xbbmAD易得设解40m30m xxxxxby3043304322.30020432xxmbm练一练1何时窗户通过的光线最多何时窗户通过的光线最多w某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.15m.当x x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?0.01m)?此时,窗户的面积是多少?xxy,15741:xxy由解471

15、5xxy得xx215272.562251415272x练一练2 用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?2my ym m2 2xmxm练一练3 正方形ABCDABCD边长5cm,5cm,等腰三角形PQRPQR中,PQ=PR=5cm,PQ=PR=5cm,QR=8cm,QR=8cm,点D D、C C、Q Q、R R在同一直线l l上，当C C、Q Q两点重合时，等腰PQRPQR以1cm/s1cm/s的速度沿直线l l向左方向开始匀速运动，tsts后正方形

16、与等腰三角形重合部分面积为ScmScm2 2，解答下列问题：(1)(1)当t=3st=3s时，求S S的值；(2)(2)当t=3st=3s时，求S S的值；(3)(3)当5st8s5st8s时，求S S与t t的函数关系式，并求S S的最大值。M MABCDPQRl练一练4这节课，你学到了什么？这节课，你学到了什么？(1)一般式：(2)顶点式：)0(2acbxaxy)0()(2akhxay回味知识点：顶点坐标（h，k）目前接触的二次函数的关系式有哪些？例6 一个二次函数的图象过点（0,1）,它的顶点坐标是（8,9）,求这个二次函数的关系式。因为它的图象过点（0,1）,所以1=a（0-8）2+9

17、.解得所以所求函数关系式为解：设函数关系式为y=a（x-8）2-9.964a 29-8964yx（）已知：二次函数的图像的顶点的坐标是（1,4）,并且抛物线与x轴的两个交点的距离是4,求这个函数的解析式。练一练y42-2-4-55 BxxO练一练练一练已知：二次函数的图像的对称轴为直线x=3，并且函数有最大值为5，图像经过点(1,3)，求这个函数的解析式。解：由题意可知，该函数的顶点的坐标是（3，5），所以设y=a(x+3)5又抛物线经过点（1，3），得 3=a(1+3)5 a=2所求的函数解析式为y=2(x+3)5即y=2x12x13例例7 7 一个二次函数的图象过（一个二次函数的图象过（0

18、,10,1）、（）、（2,42,4）、）、（3 3，1010）三点，求这个）三点，求这个二次函数解析式二次函数解析式.解：设所求二次函数为y=ax2+bx+c，有这个函数的图象过（0，1），可得c=1.又由图象过（2，4）,（3，10），得 解得 因此所求二次函数的关系式是421493110.abab ，33.22ab，331.22yxx2已知：二次函数的图像经过点A(1，6)、B(3，0)、C(0，3)，求这个函数的解析式。解：设所求函数解析式为y=ax+bx+c.由已知函数图象过由已知函数图象过(-1,6),(3,0),(0,3)三三点，得点，得30396ccbacba 解这个方程组，得a

19、=0.5，b=2.5，c=3 所求得的函数解析式为y=0.5x 2.5x+3练一练已知抛物线y=ax2+bx+c过直线 与x轴、y轴的交点，且过（1，1），求抛物线的解析式.323xy分析：直线 与x轴、y轴的交点为（2，0），（0，3）则：323xy13024cbaccba练一练*交点式)0)()(21axxxxay).0,(),0,212xxxcbxaxy轴交于两点（与条件：若抛物线拓广探索例 已知：如图,求二次函数关系式y=ax+bx+c.解：解：如图如图,由题意得：抛物线与由题意得：抛物线与x轴轴交点的横坐标为交点的横坐标为1和和3设所求函数关系式为设所求函数关系式为y=a(x1)(x

20、3)图象过点（图象过点（0 0，3 3）3=3=a a(0(01)(01)(03)3)a=1所求的函数关系式为所求的函数关系式为y y=(x x1)(1)(x x3)3)，即，即y=x+2x+342-2-4-55oABC-133拓广探索例 已知：抛物线与坐标轴交于A,B,C三个点，其中A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），并且ABC的面积是6，求这个函数的解析式。42-2-4-55ABCo分析：由题意可知OC的长是3，所以点C的坐标为（0，3)或（0，-3）当C（0，3）时，函数的解析式为：y=-xy=-x+2x+3+2x+3 当C（0，-3）时，函数的解析式为：-y=-xy=-x+2

21、x+3,+2x+3,即y=xy=x-2x-3-2x-3 拓广探索归纳小结归纳小结求二次函数解析式可用待定系数法.(1)当已知图象上任意三点的坐标或已知三对对应值时，使用一般式：来解；cbxaxy2(2)当已知顶点坐标或最值时，使用顶点式 来解，比较简单。khxay2（3）过与x轴的两个交点和一普通点的二次函数解析式确定.交点式)0)()(21axxxxay).0,(),0,212xxxcbxaxy轴交于两点（与条件：若抛物线（1）列出二次函数的解析式，并根）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；取值范围；（2）在自变量的取值范围内，

22、运用）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。大值或最小值。第第2626章章 二次函数二次函数26.3 26.3 实践与探索实践与探索生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关你知道二次函数在生活中的其他方面的运用吗？某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖立一根柱子，在柱子的顶端A处安装一个喷头向外喷水，柱子在水面以上部分的高度为0.8m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图。根据设计图纸已知：在如图所示的

23、平面直角坐标根据设计图纸已知：在如图所示的平面直角坐标系中，水面喷出的高度系中，水面喷出的高度y(m)与水平距离之间的函数与水平距离之间的函数关系式是关系式是 （1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？（2）如果不计其他因素，为使水不溅落在水池）如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的外，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？水流都落在水池内？4522xxy 一个涵洞的界面边缘是抛物线，如图所示.现侧得当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m.这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是

24、多少？是否会超过1m？分析 根据已知条件，要求涵洞的宽ED，只要求出FD的长度即可，即在如图所示的平面直角坐标系中，求出点D的横坐标.因为点D在涵洞界截面的抛物线上，又由已知条件可得到点D的众坐标，所以利用抛物线所对应的函数表达式可以进一步算出点D的横坐标，你会求吗？画出函数 的图象，根据图象回答下列问题：（1）图象与x轴交点的坐标是什么？（2）当x取何值时，y=0?这里x的取值与方程 有什么关系？（3）你能从中得到什么启发？432xxy0432 xx试一试 根据上述问题3画出的图象，继续回答下列问题：（1）当x取何值时，y0?（2）试用含有x的不等式来描述问题（1）.育才中学九年级（3）班的学生在上节课的练习中出现了争论：求方程 的解时，几乎所有学生都是将方程化为 ，画出函数 的图象，观察它与x轴的交点，得 出方程的根.唯独小刘没有将方程移项，而是分别画 3212xx03212xx3212xxy 出了函数 的图象，如图，认为它们的交点A,B的横坐标 就是原方程的根.对于小刘提出的解法，同学们展开了热烈的讨论.3212xyxy和223和课外作业 在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高244米，问能否射中球门？