圆板的应力分析-课件.ppt

1、1第二节第二节 圆板的应力分析圆板的应力分析 板类结构是工程中最常见的部件之一，通常承受两种不板类结构是工程中最常见的部件之一，通常承受两种不同作用方式的外载，如图所示。同作用方式的外载，如图所示。t(a)(a)受纵向载荷的板受纵向载荷的板(b)(b)受横向载荷的板受横向载荷的板 第一种载荷情况为弹性力学平面应力问题，第二种载荷第一种载荷情况为弹性力学平面应力问题，第二种载荷情况为板的弯曲问题，本节将讨论第二种情况。当两种外载情况为板的弯曲问题，本节将讨论第二种情况。当两种外载同时作用时，可通过叠加求解。同时作用时，可通过叠加求解。板：板：厚度远小于其它两个方向尺寸厚度远小于其它两个方向尺寸(

2、圆板为其直径圆板为其直径)且中面且中面为平面的物体。为平面的物体。2一、一、基本概念与假设念基本概念与假设念二、二、圆板轴对称弯曲基本方程圆板轴对称弯曲基本方程三、三、圆板与环板的计算圆板与环板的计算四、四、带有平盖圆筒的边缘分析带有平盖圆筒的边缘分析第二节第二节 圆板的应力分析圆板的应力分析3一、基本概念与假设一、基本概念与假设变形特点：变形特点：双向弯曲，变形后中面常被弯成不可展曲面，存双向弯曲，变形后中面常被弯成不可展曲面，存在翘曲，且其周长也有所改变。因此，一般板中的内力除弯在翘曲，且其周长也有所改变。因此，一般板中的内力除弯矩、扭矩和剪力外还有薄膜力矩、扭矩和剪力外还有薄膜力(沿中面

3、的拉压力沿中面的拉压力)。当中面的当中面的wmax远小于板厚远小于板厚 t 时，通常称为板的小挠度问时，通常称为板的小挠度问题，此时板内的薄膜力很小，可略去不计，认为中面无伸缩；题，此时板内的薄膜力很小，可略去不计，认为中面无伸缩；当当wmax与与 t 为同一量级时，则为板的大挠度问题，此时板内为同一量级时，则为板的大挠度问题，此时板内的薄膜力较大，因而不能忽略。的薄膜力较大，因而不能忽略。一般在工程要求的精度范围内，当一般在工程要求的精度范围内，当 时，按时，按小挠度问题计；当小挠度问题计；当 时，按大挠度问题考虑。时，按大挠度问题考虑。51maxtw551maxtw挠度：挠度：中面各点沿中

4、面法线方向的位移，常用中面各点沿中面法线方向的位移，常用w表示。表示。4薄板与厚板：薄板与厚板：一般认为当板厚一般认为当板厚t小于其它最小尺寸的小于其它最小尺寸的1/51/5时，时，属于薄板；否则属于薄板；否则为为厚板。对于薄板，在作出一些假设后，其厚板。对于薄板，在作出一些假设后，其分析可以简化且能给出满意的结果。至于厚板，则须按三维分析可以简化且能给出满意的结果。至于厚板，则须按三维问题来分析，其求解过程较为复杂。问题来分析，其求解过程较为复杂。本节主要讨论本节主要讨论圆形薄板圆形薄板(简称圆板简称圆板)在在轴对称横向载荷轴对称横向载荷作作用下的用下的小挠度小挠度弯曲问题弯曲问题。基本假设

5、：基本假设：对于小挠度薄板，除假设材料是均匀连续和各向对于小挠度薄板，除假设材料是均匀连续和各向同性的外，还采用了以下与梁弯曲理论类似的假设：同性的外，还采用了以下与梁弯曲理论类似的假设：中性面假设中性面假设板的中面变形后，仅有形状的改变（由平面板的中面变形后，仅有形状的改变（由平面变为曲面），没有尺寸的变化，即假设中面为中性面。变为曲面），没有尺寸的变化，即假设中面为中性面。直法线假设直法线假设变形前垂直于中面的直线段，变形后仍保持变形前垂直于中面的直线段，变形后仍保持为直线且垂直于变形后的中面。为直线且垂直于变形后的中面。互不挤压假设互不挤压假设板的各层纤维变形前后均互不挤压。板的各层纤维

6、变形前后均互不挤压。5000zrzrv，图图2-25 2-25 圆形薄板圆形薄板 xrz0 2t2t 根据中性面假设：根据中性面假设：；对于圆板，常取柱坐标对于圆板，常取柱坐标 ，原点位于中面圆心。，原点位于中面圆心。z,r 00000zzrzu，直法线假设表明直法线假设表明 很小，相应的变形可不计，即：很小，相应的变形可不计，即：；rz0rz互不挤压假设认为：互不挤压假设认为：。0z 因此，圆板在轴对称小挠度弯曲情况下，只有三个应力因此，圆板在轴对称小挠度弯曲情况下，只有三个应力分量分量 。为弯曲应力，沿板厚线性分布，为弯曲应力，沿板厚线性分布，与与梁中的剪应力一样为抛物线分布，如下图所示。

7、梁中的剪应力一样为抛物线分布，如下图所示。rzr,rrz且其它位移、应变和应力分量均与且其它位移、应变和应力分量均与 无关，因而不存在扭矩。无关，因而不存在扭矩。在轴对称载荷作用下，圆板中的在轴对称载荷作用下，圆板中的变形和内力也一定轴对称。因此变形和内力也一定轴对称。因此二、圆板轴对称弯曲基本方程二、圆板轴对称弯曲基本方程1.1.圆板的变形与内力圆板的变形与内力6以上各内力的正向如图以上各内力的正向如图2-28(b)2-28(b)所示，所示，且它们都只是且它们都只是r的函数，而与的函数，而与z无关。无关。另外，另外，由于由于弯曲应力不引起厚度的弯曲应力不引起厚度的改变改变，因而中面同一法线上

8、各点的挠度，因而中面同一法线上各点的挠度相等，位移相等，位移 w也就是中面的挠度。也就是中面的挠度。z(a)d2t2trrzrdr图图2-28 各应力沿各应力沿板厚的分布与合成板厚的分布与合成(b)drdrzrMrMMMrQrQ 于是，可将各应力分量沿板厚合成于是，可将各应力分量沿板厚合成为相应的内力。为相应的内力。可分别合成为弯可分别合成为弯矩矩 ，可合成为横向剪力可合成为横向剪力 ，它们之间的关系为它们之间的关系为rQ,rrzMMr,22dttrzrzQ2222ddttttrrzzMzzM，(e)7 设圆板承受轴对称横向分布载荷设圆板承受轴对称横向分布载荷 。通常薄板弯曲的通常薄板弯曲的平

9、衡方程以内力表示，因此可沿坐标平衡方程以内力表示，因此可沿坐标(r，)截取中面上的微截取中面上的微小面积作为微元体小面积作为微元体，其受力如图其受力如图2-262-26所示所示。图中弯矩以双箭图中弯矩以双箭头表示头表示，方向遵循右手螺旋法则。方向遵循右手螺旋法则。)(rq：0zF或或0ddddddrqrrQrrQQrrrqrrQrQrrddqrrrQrdd(2-55)2.2.平衡方程平衡方程0 rqz图2-26 圆板的微体受力 drrrMMdrMrrQQdMMrQd8(2-56)：0cM0dd2d2dd2ddddrrrQrMrMrrMMrrrrrQMrrMrrdd 式式(2-55(2-55、5

10、6)56)即为圆板轴对称弯曲问题的平衡方程，含即为圆板轴对称弯曲问题的平衡方程，含有有 3 3个未知量，须考虑圆板弯曲后的变形关系。个未知量，须考虑圆板弯曲后的变形关系。rrQMM,0d rMMrMrrMMd2d2d图2-26 圆板的微体受力 0 rqz drrrMMdrMrrQQdMMrQdcccc0ddddddddrrQrMrMrMrrrrQMMrMrrrrdd或或9直法线假设直法线假设现考察距离中面为现考察距离中面为z z的微小线段的微小线段AB。变形前变形前AB=ab=dr；变形后变形后aba1b1，ABA1B1，且位于变形后的法线上。，且位于变形后的法线上。(2-57)圆板在轴对称载

11、荷作用下，中面圆板在轴对称载荷作用下，中面将弯曲成以将弯曲成以0z为轴的旋转面，如图所为轴的旋转面，如图所示。设中面上任意一点示。设中面上任意一点a 变形后的挠变形后的挠度为度为w，转角为，转角为 。由图可知。由图可知rw ddtan又根据中性面假设，又根据中性面假设，a1b1=ab=AB，则，则A点处的两向应变为点处的两向应变为rzrrzrrzABABBAr222dd11将将(c)(c)代入得代入得 rwrzrwzrdddd22，3.3.几何方程几何方程图图2-27 2-27 圆板的变形圆板的变形 zr0 ra w a1z drA1z B1AdzrBb b1(a)(b)(c)10rrrEE2

12、211 由于由于 ，故圆板的物理方程为，故圆板的物理方程为0z将将(2-57)(2-57)代入代入rwrzrwzrdddd22222222dddd11dddd1rwrwrEzrwrrwEzr2222dddd1ddddrwrwrDMrwrrwDMr23112EtD代入代入(e)(e)2222ddttttrrzzMzzM板的抗弯刚度板的抗弯刚度 (2-59)12d3222tzztt注意：4.4.物理方程物理方程(2-58)(d)(e)112222dddd1ddddrwrwrDMrwrrwDMr比较比较ztMztMrr331212224123tztQrrz由材力由材力(2-60)tQtMtMrtrz

13、tzrtzr236602222222222dddd11dddd1rwrwrEzrwrrwEzr(d)(2-59)23112EtD易见：易见：正应力的最大值在正应力的最大值在板的上下表面，剪应力的板的上下表面，剪应力的最大值在中面上。最大值在中面上。(2-60#)5.5.应力计算应力计算(p50)(p50)12圆板轴对称弯曲基本方程：圆板轴对称弯曲基本方程：qrrrQrdd(2-55)平衡方程：平衡方程：(2-56)物理方程：物理方程：2222dddd1ddddrwrwrDMrwrrwDMr(2-59)4 4个方程，个方程，4 4个未知量。个未知量。将将(2-59)(2-59)代入代入(2-56

14、)(2-56)，得，得 DQrwrrwrrwrdd1dd1dd22233DQrwrrrrrdddd1dd(2-61)两边乘两边乘r 后后求导，再将求导，再将(2-55)(2-55)代入，可得代入，可得Dqrwrrrrrrrdddd1dddd1(2-62)式式(2-61,62)(2-61,62)即为圆板轴对称即为圆板轴对称弯曲问题的挠曲微分方程。弯曲问题的挠曲微分方程。圆板轴对称弯曲挠曲方程：圆板轴对称弯曲挠曲方程：6.6.挠曲微分方程挠曲微分方程rQMrrMrrdd13基本公式基本公式2222dddd1ddddrwrwrDMrwrrwDMr(2-59)DQrwrrrrrdddd1dd(2-61

15、)222266tMtMtzrtzr(2-60#)三、圆板与环板的计算三、圆板与环板的计算14 任意半径任意半径r处的剪力由区域平衡处的剪力由区域平衡可得：可得：代入代入(2-61)(2-61)积分得积分得图图#1#1 受均布载荷和受均布载荷和 弯矩的简支圆板弯矩的简支圆板 MRt qM1.1.受均布载荷和弯矩作用的圆板受均布载荷和弯矩作用的圆板(见图见图)MrQrQrMrrq2qrQrDQrwrrrrrdddd1dd得得Dqrrwrrrr2dddd1ddDqrCrCrCw64ln43221 0rw由于由于 应是有限量，故应是有限量，故C2=0，于是，于是DqrCrCw644321(2-64)1

16、5(#1a)将将 和和122212163ddddDCqrrwrrwDMrDqrCrCw644321代入得代入得 MMwRrrRr，0MDCqRCRCDqR12321412163064联解得联解得DMRDqRCDMDqRC12164512132324321，于是于是222222121564rRDMrRDrRqw边界条件：边界条件：MRt qM162222dddd1ddddrwrwrDMrwrrwDMr(#1b)MrRqMMrRqMr2222331163163MrRqtMrRqttztzr2222222233116361636(#1c)222222121564rRDMrRDrRqw代入代入得得(#

17、1a)(2-59)(2-59)222266tMtMtzrtzr，(2-60(2-60#)代入代入得得17l纯弯曲情况纯弯曲情况(q=0 0)22222612tMMMMrRDMwtztzrr(2-83)由式由式(#1)(#1)可得可得MRt M图图2-322-32MrRqtMrRqtMrRqMMrRqMrRDMrRDrRqwtztzrr22222222222222222233116361636331163163121564，(#1)18l均布载荷均布载荷简支简支圆板圆板(M=0 0)显然，在板显然，在板中心挠度和中心挠度和应力最大应力最大 同样，由式同样，由式(#1)(#1)可得可得Rt q图图

18、2-29(a)2-29(a)MrRqtMrRqtMrRqMMrRqMrRDMrRDrRqwtztzrr22222222222222222233116361636331163163121564，22222222222222223318338333311631631564rRtqrRtqrRqMrRqMrRDrRqwtztzrr，(2-67)(2-70)(2-72)42020240max8331645qRtDqRwwrtzrtzrr(2-68)(2-73)19l均布载荷均布载荷固支固支圆板圆板图图2-29(b)2-29(b)Rt q 可由边界条件可由边界条件 ，借助于借助于(#1)(#1)求得。求

19、得。0ddRrrw将第一式代入得将第一式代入得01183DMRDqR82qRM再将再将M代回代回(#1)(#1)，即得固支圆板的挠度、弯矩和应力为，即得固支圆板的挠度、弯矩和应力为MrRqtMrRqtMrRqMMrRqMrRDMrRDrRqwtztzrr22222222222222222233116361636331163163121564，(#1)20 22222222222222231183318331116311664rRtqrRtqrRqMrRqMrRDqwtztzrr，(2-74)(2-76)(2-77)显然，最大挠度在板中心，其值为显然，最大挠度在板中心，其值为最大弯矩为径向弯矩，

20、发生在边缘处最大弯矩为径向弯矩，发生在边缘处 DqRwwr6440max(2-75)82maxqRMMRrrr相应的最大应力为相应的最大应力为222max43qRtRrtzrr(2-78)图图2-29(b)2-29(b)Rt q21比较可见，如取比较可见，如取=0.3，周边简支时的最大挠度约为固支时的周边简支时的最大挠度约为固支时的4 4倍，最大应力约为固支时的倍，最大应力约为固支时的 1.65 1.65倍。因此，倍。因此，在同样的载荷在同样的载荷作用下，无论在刚度方面还是强度方面，固支圆板都要好于作用下，无论在刚度方面还是强度方面，固支圆板都要好于简支圆板。简支圆板。均布载荷固支圆板均布载荷

21、固支圆板均布载荷简支圆板均布载荷简支圆板 222max40max4364qRtDqRwwRrtzrrr 4202max40max8331645qRtDqRwwrtzrrr22 板内任意半径板内任意半径r处的剪力处的剪力Qr，由区域，由区域平衡可得：平衡可得：积分得积分得2.2.受均布弯矩和剪力作用的环板受均布弯矩和剪力作用的环板于是式于是式(2-61)(2-61)成为成为(a)为简化计算，上式可改写为为简化计算，上式可改写为 1122QRrQrrQRQr11DQrwrrrrrdddd1ddDrQRrwrrrr11dddd1dd3221211ln1ln4CrCrCrDrQRw3221211ln1

22、ln4CRrCrCRrDrQRw图图#1#1 受均布弯矩受均布弯矩 和剪力的环板和剪力的环板 Q1M1Rt R1Q1M1rR1QrMr23边界条件：边界条件：代入得代入得将将3221211ln1ln4CRrCrCRrDrQRw 1100MMMwRrrRrrRr，22111221121ln124ddddrCCRrDQRDrwrrwDMrDMCRCRRDQRCRCDQRCRCDQRR12211111221113211121121ln12401124104Q1M1Rt R1及及(a)24联解得：联解得：代回代回(a)(a)式，即得挠度的表达式为式，即得挠度的表达式为13ln2812ln121111l

23、n2812121221112212121231212131221212122121221112121211RRRRRDQRRRRDMRRCRRRRDQRRRRDMRRCRRRRRDQRRRDMRCRrRrRRRRRRrRRrrDQRRrRrRRRDMRwln112ln123ln4ln1121222212122122211222212121(#2)25 现以受均布载荷的简支环板为例来说明叠加计算方法。现以受均布载荷的简支环板为例来说明叠加计算方法。由截去部分力的平衡可得由截去部分力的平衡可得R1Rq(a)(a)Q1M1(b)(b)q(c)(c)Q1M1+=21211631RRqMMRrr1Q21

24、1qRQ 采用叠加法，采用叠加法，图图a a可看成是可看成是图图b b和和图图c c的叠加。的叠加。图图b b为从均布载荷简支圆板中挖去半径为从均布载荷简支圆板中挖去半径R1的部分代之以内的部分代之以内力而形成的环板。故其力而形成的环板。故其wb和和R1处的处的M1，由式，由式(2-67,70)(2-67,70)可得可得22221564rRDrRqwb2222221631564rRqMrRDrRqwr3.3.圆圆(环环)板计算的叠加方法板计算的叠加方法(2-67,70)(2-67,70)26 图图c c的的wc可由可由受均布弯矩和剪力的环板解答得出。将受均布弯矩和剪力的环板解答得出。将M1和和

25、Q1代入代入(#2)(#2)，并注意到符号相反，即，并注意到符号相反，即R1Rq(a)(a)Q1M1(b)(b)q(c)(c)Q1M1+=21211631RRqMMRrr211qRQ-RrRrRRRRRRrRRrrDQRRrRrRRRDMRwln112ln123ln4ln1121222212122122211222212121Q1M1Rt R1(#2)27则得则得RrRrRRRRRRrRRrrRDqRwcln112ln2123ln21316222121221222221于是于是RrRRRRRRrRRRrRRRRRRRRrDqRwwwcbalnln114213113ln4211541161212

26、212222122121221221224(p58p58w表达式表达式)R1Rq(a)(a)Q1M1(b)(b)q(c)(c)Q1M1+=28在在R1处，挠度最大，其值为处，挠度最大，其值为 式中：式中：341maxEtqRkw11212221221221244121lnln11413113211541413RRRRRRRRRRRRRRRk同理可求得最大弯矩和相应的应力。同理可求得最大弯矩和相应的应力。应用类似的过程可以求解承受不同载荷和具有不同边界应用类似的过程可以求解承受不同载荷和具有不同边界条件的环板。图条件的环板。图2-22-2列举了几种典型环板的最大挠度和最大列举了几种典型环板的最大

27、挠度和最大应力应力()()，可供设计计算参考。，可供设计计算参考。3.029222max341maxtqRkEtqRkw，22max321max,tPkEtPRkwR/R11.52.03.04.05.0图例k1k2k1k2k1k2k1k2k1k2(a)0.4140.9760.6641.4400.8241.8800.8302.0800.8132.190(b)0.4911.1900.9022.0401.2203.3401.3004.3001.3105.100(c)0.03130.3360.1250.7400.2911.2100.4171.4500.4921.590(d)0.00620.2730.0

28、3290.7100.1101.5400.1792.2300.2342.800(e)0.02490.4280.08770.7530.2091.2050.2931.5140.3501.745(f)0.00640.2200.02370.4050.0620.7030.0920.9330.1141.130图图2-2 几种典型环板的计算系数几种典型环板的计算系数(a)(b)(c)(d)q R1 R q R1 R q R1 R P R1 R P R1 R q R1 R(e)(f)集中载荷：集中载荷：分布载荷：分布载荷：30四、带有平盖圆筒的边缘分析四、带有平盖圆筒的边缘分析圆筒圆筒 在内压在内压p，Q0 0

29、和和M0 0作用下连接处的平作用下连接处的平行圆增量与转角由表行圆增量与转角由表2-12-1和式和式2-462-46为：为：0012201001201011201222022QMEtRQMEtREtpReepp，平盖平盖 可视为图示力学可视为图示力学模型。模型。在压力在压力p和和M0 0-Q0 0t2/2作用下连接处的转作用下连接处的转角，可由角，可由(#1a)(#1a)式求得，过程如下：式求得，过程如下：Q0 0Q0 0M0 0-Q0t2/2M0 0-Q0t2/2t2p(b)31式中：式中：因因 在板下表面引起的平行圆半径增量为：在板下表面引起的平行圆半径增量为：其次，由其次，由 引起的平行

30、圆半径增量可按以下推导得出：引起的平行圆半径增量可按以下推导得出：(#1a)DMRDqRrwDMrrRDqrrwrRDMrRDrRqwRr118dd11316dd121564322222222，220023021218ddDRtQMDpRrwRr2322112EtDD2M0-Q0t2/2220202t(c)(d)020Q20201EtQEtQrrr，20021EtRQRrQ(e)(#1a)(#1a)MRt qM-pQ0 0Q0 0M0 0-Q0t2/2M0 0-Q0t2/2t2p32代入变形协调方程，得：代入变形协调方程，得：联解即得联解即得Q0 0、M0 0，详见教材式，详见教材式(2-87

31、)(2-87)。0012201001201011201222022QMEtRQMEtREtpReepp，(b)圆筒圆筒220023021218DRtQMDpR220202t20021EtRQQ(c)(d)(e)平盖平盖22002300122121822DRtQMDpRQMEtR2020200121212222EtRQtQMEtREtpR(g)33 Q0 0、M0 0解得后，可由下式求得圆筒与平盖中的总应力。解得后，可由下式求得圆筒与平盖中的总应力。xQxxMetxQxxMtRtpRxQxxMettpRxxxtzxxtzxsinsincose6cossincose2sinsincose620021001121002112111(2-88)圆筒：圆筒：平盖：平盖：22222002220222222200222022331833268332622rRtptQMttQrRtptQMttQtztzrQ0 0Q0 0M0 0-Q0t2/2M0 0-Q0t2/2t2p薄膜薄膜应力应力均布压均布压应力应力26tMx26tMtN纯弯纯弯曲曲均布均布载荷载荷34第二节第二节 圆板的应力分析圆板的应力分析