向量的加减法课件.ppt

1、 向量的加法向量的加法学习目标：学习目标：通过实例，掌握向量的加法运算及理解其几何意义。熟练运用加法的“三角形法则”和“平行四边形”法则 由于大陆和台湾没有直航，因此要从台湾去上海探亲，乘飞机由于大陆和台湾没有直航，因此要从台湾去上海探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？台北台北香港香港上海上海ABC向量的加法：向量的加法：abba abCAB,abAABa BCbACabababABBCAC 、内点，则与，记 则 这称为 已知非零向量在平面任取一作 已知非零向量在平面任取一作向量叫做的和作即向量叫做的和作即

2、种求向量和种求向量和向量加法的三角向量加法的三角方法，方法，形法形法的。的。首尾相接首尾相接向量的加法：向量的加法：OABCabba ,Oa bOACBOOCaabbabOAOBOC 点 为点两个为邻边则为点对线与 这平行四边则称为 以同一起的已知向量 、作,以同一起的已知向量 、作,以起的角就是 的和即以起的角就是 的和即向量加法的向量加法的种求向量和的方法，种求向量和的方法，形法形法。起点相同起点相同aaaa 00,我们规定我们规定对于零向量与任一向量对于零向量与任一向量对于向量的加法的理解需要注意下面两点对于向量的加法的理解需要注意下面两点:(1)两个向量的和仍然是向量两个向量的和仍然是

3、向量(简称和向量简称和向量)(2)位移的合成是三角形法则的物理模型位移的合成是三角形法则的物理模型.例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求做向量，求做向量 。,a b abab 则则 。OBab OABaba 三角形法则三角形法则作法作法1：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ，OAa ABb b例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求做向量，求做向量 。,a b abab作法作法2：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，O作作 ，OAa OBb aABbOAOB、以以 为邻边做为邻边做 ，OACBC.OCOAOBab 连结连结OC，则，则ba 平行四边形法则平行四边形法则练习：

4、限时4分钟P76 1、2探究：多个向量的运算将如多个向量的运算将如何进行？何进行？nnAAAAAAAA14332211A2A3A4A1nAnA首尾相接的若干向量之和，等于由首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量起始向量的起点的起点指向指向末尾向量的终点末尾向量的终点的向量的向量多边形法则多边形法则:nAA1思考：如果非零向量 a、b、c，满足a+b+c=0,则以a,b,c 为有向线段的三条线段，能构成一个三角形吗？请同学们 总结向量加法的“三角形法则”与“平行四边形”法则的联系与区别。向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别与联系 三角形法则三角形法则中的两个向量是首尾相接首尾相接的，而平行

5、四边形法则平行四边形法则中的两个向量有公共的起点公共的起点；三角形法则适用于所有的两个非零向量的求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量的求和。三角形法则和平行四边法则虽然都是求向量和的基本方法。但在应用上也有讲究，求两个向量和，当一个向量的终点为另一个向量的始点时，可用向量加法的三角形法则；而当它们的始点相同时，可用向量加法的平行四边形法则。思考思考：如图，当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法和：如图，当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法和 数的加法有什么关系？数的加法有什么关系？abab（1）（2）|ababababababba 若，方向相同，则若，方向相反，则（或）|aba

6、bab 若，不共线，则|ababab 对任意两个向量，有ABCBCAabab最小值各是什么最小值各是什么的最大值和的最大值和则则已知已知|,6|,8|baba 探究探究：数的加法满足交换律和结合律，即对任意：数的加法满足交换律和结合律，即对任意 ，有，有,a bR,abba()().abcabc 那么对任意向量那么对任意向量 的加法是否也满足交换律和结合律？的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索。请画图进行探索。,a b OABCabba abba abccb cba ACDB例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如

7、图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。角来表示）。2 3ADBC,ADABADABABCDAC 图，、为邻边则实际.解解：（1 1）如如所所示示表表示示船船速速表表示示水水速速以以作作表表示示 船船航航行行的的速速度度例例

8、2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。角来表示）。2 3(2)|2,|2 3RtABCABBC 解：在中，2222|

9、2(23)4 ACABBC 2 3tan32CAB60.CAB答：船实际航行速度为答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为方向与水的流速间的夹角为60。ADBCFABCCDDFAB :.1 化简化简?|,3|,14|,6|.2最大值和最小值吗最大值和最小值吗有有则则已知已知cbacba 练习：限时2分钟向量的减法向量的加法与实数的加法类似，那么向量的减法运算呢？在数的运算中，我们知道减法是加法的逆运算，向量的加法与实数的加法类似，类比实数的减法运算，能否把向量的减法同样作为向量加法的逆运算引入呢？向量的减法具有什么特点？如何进行向量减法的运算呢？向量进行减法运算，必须先引入一个

10、什么样的新概念？实例分析实例分析上周日杨恒从家骑车到八里河公园游玩,然后再由八里河公园返回家中,我们把八里河公园记作B点,杨恒家记作A点,那么杨恒的位移是多少?A B+B A=0A怎样用向量来表示呢?我们把与a a长度相等，方向相反的向量，叫作a a的相反向量相反向量.记作1.相反向量a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量并且规定，零向量的相反向量仍是零向量a和a互为相反向量:ABBA 重重要要提提示示 :ABBA 重重要要提提示示 请问的相反向量是AB:ABBA 重重要要提提示示 _ba_,b_,ab,a)3(_a)a_()a(a)2(_)a(11互为相反的向量，那么如果）（：练习a00b

11、a0求两个向量差的运算求两个向量差的运算,叫做向量的减法叫做向量的减法.2.向量的减法()abab定义定义:向量向量 加上加上 的相反向量，叫作的相反向量，叫作 与与 的差，即的差，即()abab()abab()abab()abab 3.如何求两个向量的差？:向量减法的推导DEACBabbbaba()ababACADAEBC ACABBC 即即.)babab,a(.abbab,a的终点的始点指向向量可表示为从向量则首尾顺次连接，比较：如果两个向量的终点的向量的终点指向向量可以表示为从向量就，量从同一点出发的两个向的结论：以得到这样从向量差的作法我们可ACBabbaabOBAabab向量的减法：

12、向量的减法：,abOOAa OBbBAabababOAOBBA 、内点，则与，记 这减则 已知向量在平面任取一作 已知向量在平面任取一作向量叫做 的差作即向量叫做 的差作即种求向量差的方法，叫做向量法的三角形法。种求向量差的方法，叫做向量法的三角形法。起点相同起点相同指向被减向量指向被减向量.)babab,a(.abbab,a的终点的始点指向向量可表示为从向量则首尾顺次连接，比较：如果两个向量的终点的向量的终点指向向量可以表示为从向量就，量从同一点出发的两个向的结论：以得到这样从向量差的作法我们可OabABba小结小结:作两向量的差向量的步骤作两向量的差向量的步骤:(1)将两向量移到共同起点(

13、2)连接两向量的终点,方向指向被减向量 注意与作和向量的区别注意与作和向量的区别()ababACADAEBC :ABBA 重重要要提提示示 即即=_ADAB1、DBCAAC00_BCBA2、_BABC3、_CDBDACAB4、_MPMNQPNQ5、练习2：例1已知向量a,b,c,求作向量a-b+c.abc ,OOAaOBbBAab 解在平面上任取一点，作作则。,BCcBABCBADCBDBABCabc 再作并以和为邻边作则。CD练习练习:如图：平行四边形如图：平行四边形ABCDABCD中中,用用 表示向量表示向量 ABCD,aAB,bAD ba,.,DBACbaACab;由向量的减法可得，由向

14、量的减法可得，.DBABADab 解：由向量加法的平行四边形法则，得解：由向量加法的平行四边形法则，得 例2已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|.则为邻边作和以作设解ABCD，ADABbADaAB,ADBabCbaDBbaAC,则|DBACbabaAB，ADABCD，ABCD为矩形所以四边形为平行四边形又因为四边形10|1086|2222babaDBDBDB练习练习:如图：平行四边形如图：平行四边形ABCDABCD中中,用用 表示向量表示向量 ABCD变式二变式二:在本例中在本例中,当当a,b满足满足什么条件时什么条件时,|a+b|=|a-b|?变式三变式三:在本

15、例中在本例中,a+b与与a-b有可能相等吗有可能相等吗?变式一变式一:在本例中在本例中,当当a,b满足满足什么条件时什么条件时,a+b与与a-b相互垂直相互垂直?,aAB,bAD ba,.,DBACbaACab;由向量的减法可得，由向量的减法可得，.DBABADab 解：由向量加法的平行四边形法则，得解：由向量加法的平行四边形法则，得 （|a|=|b|）（a，b互相垂直）（不可能，对角线方向不同）1.ABCABC中中,BC=a,CA=b,BC=a,CA=b,则则,AB=(),AB=()A.a+b B.(a+b)C.a-b D.b-aA.a+b B.(a+b)C.a-b D.b-a2已知向量a，b，且|a|b|4，AOB60.则|ab|，|ab|.思想方法类与数形结合的数学、思想方法：转化、分的终点的向量的终点指向向量就可以表示为从向量，的两个向量从同一点出发作法、一个作法：差向量的和向量减法的定义、两个定义：相反向量本课小结：3.,:21abbaba(1)将两向量移到共同起点 (2)连接两向量的终点,方向指向被减向量 注意与作和向量的区别注意与作和向量的区别