2020成都《试题研究》精讲本数学专题十四二次函数与几何图形综合题.pptx
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1、专题十四专题十四 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 (必考,(必考,12分)分) 重难专题讲练重难专题讲练 专题十四专题十四 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 典例精讲典例精讲 类型三类型三 特殊三角形存在性问题特殊三角形存在性问题 10年2考:2019.28(3),2013.28(2) 例例 如图,在平面直角坐标系如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线与中,抛物线与x轴交于点轴交于点A(1,0),B(3,0),与,与 y轴交于点轴交于点C,直线,直线BC的解析式为的解析式为ykx3,抛物线的顶点为,抛物线的顶点为D,对称轴与直线,对称轴与直线BC交交 于点于点
2、E,与,与x轴交于点轴交于点F. (1) 求抛物线的解析式;求抛物线的解析式; 【思维教练】已知【思维教练】已知A,B点坐标,可将抛物线解析式设为交点点坐标,可将抛物线解析式设为交点 式,然后代入式,然后代入C点坐标,求解即可,而点坐标,求解即可,而C点是直线点是直线ykx3与与y 轴的交点,只需令轴的交点,只需令x0求出求出y的值即可求得的值即可求得C点坐标;点坐标; 例题图 专题十四专题十四 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 解:解:(1)直线直线BC的解析式为的解析式为ykx3,令,令x0,得,得y3, 点点C的坐标为的坐标为(0,3), 又又抛物线与抛物线与x轴交于点轴
3、交于点A(1,0),B(3,0), 可设抛物线的解析式为可设抛物线的解析式为ya(x1)(x3), 将将C(0,3)代入,得代入,得3a3, 解得解得a1, 抛物线的解析式为抛物线的解析式为y(x1)(x3)x22x3; 专题十四专题十四 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 (2)连接连接AC,x轴上是否存在点轴上是否存在点G,使得,使得ACG是等腰三角形?若存在,求出直线是等腰三角形?若存在,求出直线 CG的解析式;若不存在,请说明理由;的解析式;若不存在,请说明理由; 【思维教练】设出点【思维教练】设出点G坐标,然后表示出坐标,然后表示出AC、CG、AG,当,当 ACG是等腰
4、三角形时,可以分为三种情况,分别以三条边作是等腰三角形时,可以分为三种情况,分别以三条边作 为底边,令其他两边相等列关系式求解,若有解,则存在,将点为底边,令其他两边相等列关系式求解,若有解,则存在,将点 C、G的坐标代入直线解析式即可求解,若无解,则不存在;的坐标代入直线解析式即可求解,若无解,则不存在; 例题图 专题十四专题十四 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 (2)存在存在 设直线设直线CG的解析式为的解析式为ykxb,点,点G的坐标为的坐标为(g,0),则,则AG2 (1g)2,AC210, 在在RtCOG中,中,CO3,OGg, 由勾股定理得由勾股定理得CG2CO2
5、OG29g2, 当当ACG为等腰三角形时,分为以下三种情况:为等腰三角形时,分为以下三种情况: 以以AC为底边,则为底边,则AGGC, (1g)29g2,解得,解得g4, G(4,0), 专题十四专题十四 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 将将G(4,0),C(0,3)代入代入ykxb中,得中,得 解得解得 4kb0 b3 , k3 4 b3 , y x3, 当当ACG是一个以是一个以AC为底边的等腰三角形时,为底边的等腰三角形时,CG的解析式为的解析式为y x3; 3 4 3 4 以以AG为底边,则为底边,则ACCG, 109g2, 解得解得g1或或g1(舍去舍去), G(1
6、,0), 专题十四专题十四 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 将将G(1,0),C(0,3)代入代入ykxb中,得中,得 kb0 b3, 解得解得 k3 b3, y3x3, 当当ACG是一个以是一个以AG为底边的等腰三角形时,为底边的等腰三角形时,CG的解析式为的解析式为y3x3; 以以CG为底边,则为底边,则ACAG, 10(1g)2, 解得解得x11 ,x21 , 点点G的坐标为的坐标为(1 ,0)或或(1 ,0), 1010 1010 专题十四专题十四 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 10 将将G(1 ,0),C(0,3)代入代入ykxb中,可得中,可得
7、y x3. 将将G(1 ,0),C(0,3)代入代入ykxb中,可得中,可得y x3, 101 3 10 101 3 综上所述,直线综上所述,直线CG的解析式为的解析式为y x3或或y3x3或或y x3或或 y x3; 3 4 101 3 101 3 专题十四专题十四 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 (3)若点若点P在抛物线上,点在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,是否存在点在抛物线的对称轴上,是否存在点P使得使得PDQ是等边是等边 三角形?若存在,求出点三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;的坐标;若不存在,请说明理由; 【思维教练】要求点【思维教练】要求点
8、P的坐标,由的坐标,由(1)知抛物线的解析式,对称轴及顶点知抛物线的解析式,对称轴及顶点D的坐标,的坐标, 设出点设出点P的坐标,过点的坐标,过点P作作PHDQ于点于点H,由等边三角形的性质可得,由等边三角形的性质可得PH DH, 可得点可得点H的坐标,而点的坐标,而点P在对称轴的两侧各有一个,求出一个的坐标,另一个由在对称轴的两侧各有一个,求出一个的坐标,另一个由 对称性求出即可;对称性求出即可; 例题图 3 专题十四专题十四 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 (3)存在存在 由由(1)得抛物线的解析式为得抛物线的解析式为yx22x3(x1)24, 对称轴为对称轴为x1,顶点
9、,顶点D的坐标为的坐标为(1,4), 点点P在抛物线上,在抛物线上, 设点设点P的坐标为的坐标为(t,t22t3), 如解图如解图,过点,过点P作作PHDQ于点于点H, PDQ是等边三角形,是等边三角形, PHx轴,且轴,且DHHQ,PH DH, 点点H的坐标为的坐标为(1,t22t3), DH4(t22t3)t22t1, 3 例题解图 专题十四专题十四 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 当点当点P在在DQ的右侧时,的右侧时,PHt1, t1 (t22t1), 即即 t2(2 1)t 10, 解得解得t1 ,t21(舍舍), 此时点此时点P的坐标为的坐标为( ), 当点当点P在
10、在DQ的左侧时,根据对称性可知,此时点的左侧时,根据对称性可知,此时点P的坐标为的坐标为( ) 3 333 3 3 3 3 3 3 ,11 3 3 3 3 ,11 3 综上所述,点综上所述,点P的坐标为的坐标为( )或或( ); 3 3 3 ,11 3 3 3 3 ,11 3 例题解图 专题十四专题十四 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 (4)若点若点H在抛物线的对称轴上,是否存在点在抛物线的对称轴上,是否存在点H使得使得BCH是直角三角形?若存在,是直角三角形?若存在, 求出点求出点H的坐标;若不存在,请说明理由;的坐标;若不存在,请说明理由; 例题图 【思维教练】分【思维教
11、练】分HCB90、HBC90、CHB90三种情况讨论,利三种情况讨论,利 用直角三角形的性质求解;用直角三角形的性质求解; 专题十四专题十四 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 (4)存在设点存在设点H的坐标为的坐标为(1,h), 要使要使BCH为直角三角形,可分以下三种情况讨论:为直角三角形,可分以下三种情况讨论: 当当H1CB90,如解图,如解图, 点点D为抛物线顶点,为抛物线顶点,D(1,4),易得,易得DCBC, 此时点此时点H1与点与点D重合,坐标为重合,坐标为H1(1,4); 例题解图 当当H2BC90,如解图,如解图, 易得易得BEH2BH2E45,BEBH2, 又
12、又BFEH2, FH2EFBF2, 此时点此时点H2的坐标为的坐标为(1,2); 例题解图 专题十四专题十四 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 当当CH3B90,如解图,如解图,过点,过点C作作CMDF于点于点M,M(1,3), 则则CH3MBH3E90,BH3EFBH390, CH3MFBH3, 又又CMH3BFH390,CH3MH3BF, 例题解图 经检验经检验h1、h2都是原分式方程的根都是原分式方程的根 此时满足条件的点此时满足条件的点H3有两个,坐标分别为有两个,坐标分别为(1, ),(1, ) 综上所述,存在点综上所述,存在点H使得使得BCH是直角三角形,点是直角三
13、角形,点H的坐标为的坐标为(1,4),(1,2), (1, ),(1, ); ,即,即 , H3M CM BF H3F h3 1 2 h 解得解得h1 ,h2 , 3 17 2 3 17 2 3 17 2 3 17 2 3 17 2 3 17 2 专题十四专题十四 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 (5)设点设点P是第一象限内抛物线上的动点,点是第一象限内抛物线上的动点,点Q是线段是线段BC上一点,是否存在点上一点,是否存在点P使得使得 PCQ是等腰直角三角形?若存在,求出点是等腰直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由的坐标;若不存在,请说明理由 例题图 【思
14、维教练】要求点【思维教练】要求点Q的坐标,根据等腰直角三角形的性质,有一个角为直角,的坐标,根据等腰直角三角形的性质,有一个角为直角, 一个锐角为一个锐角为45,结合,结合CBOBCO45,从而考虑分三种情况:,从而考虑分三种情况:PCQ 90,PQy轴;轴;CPQ90,CPx轴;轴;CQP90,CPx轴,分轴,分 别进行讨论即可得出结果别进行讨论即可得出结果 专题十四专题十四 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 (5)存在存在 BOC是等腰直角三角形,且是等腰直角三角形,且BOC90, CBOBCO45, 点点Q在直线在直线BC上,直线上,直线BC解析式为解析式为yx3, 设点
15、设点Q的坐标为的坐标为(t,t3), 当当PCQ90时,如解图时,如解图,此时点,此时点P与点与点D重合,坐标为重合,坐标为(1,4),PQy轴,轴, PQCBCO45,此时,此时PCQ是等腰直角三角形,点是等腰直角三角形,点Q与点与点E重合,点重合,点Q 的坐标为的坐标为(1,2); 例题解图 专题十四专题十四 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 当当CPQ90,CPx轴时,如解图轴时,如解图,则,则PQy轴,轴, PCQCBO45, 此时此时CPQ是等腰直角三角形,是等腰直角三角形, 点点P的坐标为的坐标为(2,3),点,点Q的坐标为的坐标为(2,1); 例题解图 当当CQP
16、90,CPx轴时,轴时,CPQ是等腰直角三角形是等腰直角三角形 如解图如解图,过点,过点Q作作QQCP, CPQ是等腰直角三角形,是等腰直角三角形, CQPQ, CQPQ, 点点Q在抛物线的对称轴上,则点在抛物线的对称轴上,则点Q的坐标为的坐标为(1,2) 综上所述,满足条件的点综上所述,满足条件的点Q有两个,坐标分别为有两个,坐标分别为(1,2),(2,1) 例题解图 专题十四专题十四 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 成都成都10年年中考真题精选中考真题精选 1. (2019成都成都B卷卷28题题)如图,抛物线如图,抛物线yax2bxc经过点经过点A(2,5),与,与x轴相
17、交于轴相交于B( 1,0),C(3,0)两点两点 (1)求抛物线的函数表达式;求抛物线的函数表达式; (2)点点D在抛物线的对称轴上,且位于在抛物线的对称轴上,且位于x轴的上方,将轴的上方,将BCD 沿直线沿直线BD翻折得到翻折得到BCD,若点,若点C恰好落在抛物线的对称恰好落在抛物线的对称 轴上,求点轴上,求点C和点和点D的坐标;的坐标; (3)设设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点,点是抛物线上位于对称轴右侧的一点,点Q在抛物线的在抛物线的 对称轴上,当对称轴上,当CPQ为等边三角形时,求直线为等边三角形时,求直线BP的函数表达式的函数表达式 第1题图 专题十四专题十四 二次函数与几何图形综
18、合题二次函数与几何图形综合题 解:解:(1)由题意,得由题意,得 4a2bc5 abc0 9a3bc0 ,解得解得 a1 b2 c3 , 抛物线的函数表达式为抛物线的函数表达式为yx22x3;(3分分) (2)抛物线与抛物线与x轴的交点为轴的交点为B(1,0),C(3,0), BC4,抛物线的对称轴为直线,抛物线的对称轴为直线x1. 设抛物线的对称轴与设抛物线的对称轴与x轴交于点轴交于点H,则点,则点H的坐标为的坐标为(1,0),BH2,由,由 翻折得翻折得CBCB4, 在在RtBHC中,由勾股定理,得中,由勾股定理,得CH . 点点C的坐标为的坐标为(1,2),tanCBH . CB2BH2
19、 42222 3 CH BH 2 3 2 3 专题十四专题十四 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 CBH60. 由翻折得由翻折得DBH CBH30, 在在RtBHD中,中,DHBH tanDBH2tan30 , 点点D的坐标为的坐标为(1, );(7分分) 1 2 2 3 3 (3)如解图如解图,取,取(2)中的点中的点C,D,连接,连接CC, BCBC,CBC60, CCB为等边三角形为等边三角形 分类讨论如下:分类讨论如下: 第1题解图 专题十四专题十四 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 当点当点P在在x轴上方时,点轴上方时,点Q在在x轴上方,轴上方, 连接
20、连接BQ,CP, PCQ,CCB为等边三角形,为等边三角形, CQCP,BCCC,PCQCCB60. BCQCCP. BCQ CCP. BQCP. 点点Q在抛物线的对称轴上,在抛物线的对称轴上, BQCQ. CPCQCP. 第1题解图 专题十四专题十四 二次函数与几何图形综合题二次函数与几何图形综合题 又又BCBC, BP垂直平分垂直平分CC. 由翻折可知由翻折可知BD垂直平分垂直平分CC, 点点D在直线在直线BP上上 设直线设直线BP的函数表达式为的函数表达式为ykxb(k0), 则则 解得解得 0kb 2 3 3 kb, k 3 3 b 3 3 , 直线直线BP的函数表达式为的函数表达式为
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