单变量函数的微分课件.ppt
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- 变量 函数 微分 课件
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1、2-1单变量函数的微分学及应用单变量函数的微分学及应用第二章第二章2-2第二章第二章 基本内容基本内容u导数与微分导数与微分u经济学概念经济学概念u导数与微分的应导数与微分的应用(用(II)供求理论供求理论 消费理论消费理论 厂商理论厂商理论 市场理论市场理论u导数与微分的应导数与微分的应用(用(I)Lagrangian中值中值定理与定理与Taylor中中值定理值定理 函数单调性函数单调性 函数凹凸性函数凹凸性 函数的极值函数的极值2-3导数与微分导数与微分u变量与函数变量与函数 变量变量v经济学中的实际问题,往往由许多因素组成可经济学中的实际问题,往往由许多因素组成可分为两类:分为两类:v1
2、)原因因素,数学上称作自变量,经济学上称原因因素,数学上称作自变量,经济学上称作外生变量(不可控因素);作外生变量(不可控因素);v2)结果因素,数学上称作因变量,经济学上称结果因素,数学上称作因变量,经济学上称作内生变量(可控因素,即模型的解)作内生变量(可控因素,即模型的解)函数函数v我们主要研究内生变量与外生变量之间的关系,我们主要研究内生变量与外生变量之间的关系,数学上用因变量与自变量之间的函数关系来描述数学上用因变量与自变量之间的函数关系来描述2-4导数导数u定义定义 设设y=f(x)是定义在集合是定义在集合S上的一元函数,上的一元函数,x0 S,则则f(x)在在x0处的导数定义为处
3、的导数定义为0 xxdxdy000)()(lim)(0 xxxfxfxfxxxxfxxfxfx)()(lim)(0000或或称称f (x)为定义在为定义在S上的导函数上的导函数由导数定义可知由导数定义可知f(x+1)f(x)f (x)(参见后面参见后面的应用的应用)2-5导数导数(续)续)u几何解释几何解释 f (x0)是函数是函数f(x)的图形在点的图形在点(x0,f(x0)点处切点处切线的斜率,该点处切线的方程为线的斜率,该点处切线的方程为y f(x0)=f (x0)(x x0)u经济解释经济解释 经济学中许多重要的概念是用导数来刻划的;经济学中许多重要的概念是用导数来刻划的;数学上的数学
4、上的导数导数,对应着经济学上的,对应着经济学上的边际边际;利用导数进行经济分析,简称利用导数进行经济分析,简称边际分析边际分析;例如,需求量例如,需求量Qd=f(P)对价格对价格P的导数的导数f (P)称称为价格的边际需求量为价格的边际需求量2-6导数导数(续)续)u经济应用经济学中的边际概念经济应用经济学中的边际概念 经济学中的边际概念定义为一个经济量经济学中的边际概念定义为一个经济量X 在在原有值原有值X0的基础上再增加一个单位而导致的的基础上再增加一个单位而导致的另一个经济量另一个经济量 F(X)的增量,数学上表示为的增量,数学上表示为F(X0+1)F(X0)F (X0)劳动的边际产量是
5、指再雇用一个单位的劳动劳动的边际产量是指再雇用一个单位的劳动所增加的产量;假设生产函数为所增加的产量;假设生产函数为Q=F(L),当前劳动为当前劳动为L0个单位,则劳动的边际产量为个单位,则劳动的边际产量为F(L0+1)F(L0)F (L0)2-7导数与微分导数与微分(续)续)v例如,设有生产函数例如,设有生产函数Q=F(L)=L1/2/2,L0=100。计计算知算知F (L0)=F (100)=0.025,F(101)F(100)=0.0249v可见导数可见导数F (100)是边际产量是边际产量F(101)F(100)的一个很的一个很好的近似值好的近似值 尽管尽管F (X)不能精确表示由不能
6、精确表示由X 增加一个单位而导增加一个单位而导致的致的F(X)的增加量,但经济学家们仍然用它来表的增加量,但经济学家们仍然用它来表示示F(X)的边际变化这是因为的边际变化这是因为v1)单一项)单一项F (X)比差比差F(X+1)F(X)简单;简单;v2)F (X)避免了避免了“用何单位度量用何单位度量 X 增加一个单位增加一个单位”这一问题这一问题2-8微分微分 u定义定义 设设y=f(x)是定义在集合是定义在集合S上的一元函数,上的一元函数,x0 S给定自变量给定自变量x的一个增量的一个增量 x,若函数若函数的增量的增量 y可表示为:可表示为:y=f(x0+x)f(x0)=A x+o(x)则
7、称函数则称函数f(x)在在x0处可微,并称处可微,并称A x为函数为函数f(x)在在x0处的微分,记作处的微分,记作dy|x=x 0=A x或或dy|x=x 0=Adxu微分的计算微分的计算 若函数若函数f(x)在在x0处可微,则处可微,则dy|x=x0=f (x0)x2-9微分微分(续)续)u微分的应用微分的应用 微分可用于近似计算这是因为由微分的定微分可用于近似计算这是因为由微分的定义可知义可知 y=f(x0+x)f(x0)f (x0)x或或f(x0+x)f(x0)+f (x0)x.在前面知道可用导数计算某个经济量在前面知道可用导数计算某个经济量 x 增加增加一个单位时相应的另一个经济量的
8、变化若一个单位时相应的另一个经济量的变化若经济量经济量X 增加增加 X 个个单位,则可用上式式计单位,则可用上式式计算相应的另一个经济量算相应的另一个经济量F(X)的变化的变化2-10导数与微分导数与微分(续)续)例如,设有生产函数例如,设有生产函数Q=F(L)=L1/2/2,将将劳动力劳动力L由由900个单位削减到个单位削减到896个单位,试个单位,试估计产量的变化和在估计产量的变化和在L0=896处的新产量处的新产量 解:解:Q=f (900)(896 900)=1/30单位单位F(896)=F(900)+Q=14.9667单位单位2-11Lagrangian中值定理中值定理 若若f(x)
9、在在a,b上连续,在上连续,在(a,b)上可导,则上可导,则至少存在一个至少存在一个(a,b)使下式成立使下式成立f(b)f(a)=f ()(b a).几何解释:在弧几何解释:在弧AB上至少有一点上至少有一点C,使曲使曲线线f(x)在在C点处的切线平行于弦点处的切线平行于弦ABOCABabf(x)2-12Taylor中值定理中值定理u设设x0 (a,b),f(x)在在(a,b)内有直到内有直到n+1阶的导数,则当阶的导数,则当x (a,b)时,存在时,存在 在在x0与与x之间,之间,使得下式成立使得下式成立)()(!)()(2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxf
10、xfxfnnn 其中其中称作称作Taylor余项余项当当n=0时,时,Taylor公式成为公式成为Lagrangian中值公式,因中值公式,因此此Taylor中值定理是中值定理是Largrangian中值定理的推广中值定理的推广2-13应用应用(I)单调性、凸凹性、极值单调性、凸凹性、极值u介绍介绍Largrangian中值定理和中值定理和Taylor中值中值定理在函数的单调性、极值和凹凸性等定理在函数的单调性、极值和凹凸性等方面的应用方面的应用 函数单调性的判定函数单调性的判定 函数凹凸性的判定函数凹凸性的判定 函数的极值函数的极值2-14应用应用(I)单调性单调性u f(x)单调的单调的充
11、分条件充分条件 设函数设函数f(x)在在a,b上连续,在上连续,在(a,b)上可导上可导,则,则(1)f(x)在在a,b上上严格严格单调增加的充分条件是在单调增加的充分条件是在(a,b)上恒有上恒有f(x)0;(2)f(x)在在a,b上上严格严格单调减少的充分条件是在单调减少的充分条件是在(a,b)上恒有上恒有f(x)0;(2)f(x)在在a,b上上严格严格单调减少的必要条件是在单调减少的必要条件是在(a,b)上恒有上恒有f(x)0证明:可由导数的定义证明证明:可由导数的定义证明2-16应用应用(I)单调性单调性(续)续)u f (x)单调的单调的充分条件充分条件若对任意若对任意x1,x2 (
12、a,b),f(x2)(或或 )f(x1)+f (x1)(x2 x1),则则f (x)在在(a,b)上单调增加(减少)上单调增加(减少)f (x)是单调减少的是单调减少的x1x2f(x2)f(x1)+f (x1)(x2 x1)f(x1)几何解释:几何解释:f (x)在在a,b上单调增加(或减少)上单调增加(或减少)等价于等价于f(x)图形上任一点处的切线在图形上任一点处的切线在f(x)图形的下图形的下方(或上方)方(或上方)2-17应用应用(I)凸凹性凸凹性(续)续)u凸凹性定义凸凹性定义 (1)称函数)称函数f(x)在在(a,b)上是凸的(或凹的)上是凸的(或凹的),若对任意,若对任意)0,1
13、,对任意,对任意x1,x2 (a,b),恒有下式成立恒有下式成立f(x1+(1)x2)(或或 )f(x1)+(1 )f(x2)(2)若对任意)若对任意(0,1),对任意,对任意x1,x2 (a,b)且且x1 x2,恒有上式中的严格不等式成立,则恒有上式中的严格不等式成立,则称函数称函数f(x)是是(a,b)上的严格凸(或凹)函数上的严格凸(或凹)函数 由定义易知,严格凸(或凹)函数一定是凸(由定义易知,严格凸(或凹)函数一定是凸(或凹)函数或凹)函数2-18应用应用(I)凸凹性凸凹性continuedu凸凹性几何意义凸凹性几何意义 所以所以f(x)是凹函数是凹函数x1x2f(x2)x3=x1+
14、(1)x2f(x1)f(x3)=f(x1+(1)x2)f(x1)+(1 )f(x2)O x32-19应用应用(I)凸凹性凸凹性continuedu凸凹性判断法凸凹性判断法 判定法之一(利用一阶导数)判定法之一(利用一阶导数)v设函数设函数f(x)在在(a,b)上可导,则上可导,则f(x)在在(a,b)上为上为凸(或凹)函数的充要条件是对任意凸(或凹)函数的充要条件是对任意x1,x2(a,b)有有f(x2)(或或)f(x1)+f (x1)(x2 x1)v当上面的严格不等式对任意当上面的严格不等式对任意x1,x2 (a,b)且且x1 x2成立时,即为严格凸(或凹)函数的充要条成立时,即为严格凸(或
15、凹)函数的充要条件件2-20应用应用(I)凸凹性凸凹性continuedv几何意义几何意义x1x2f(x2)f(x1)+f (x1)(x2 x1)f(x1)f (x)是凹函数是凹函数f(x2)f(x1)+f (x1)(x2 x1)几何解释:几何解释:f (x)是是a,b上的凹函数(或上的凹函数(或凸函数)等价于凸函数)等价于f(x)图形上任一点处的切线图形上任一点处的切线在在f(x)图形的上方(或下方)图形的上方(或下方)2-21应用应用(I)凸凹性凸凹性continuedu凸凹性判断法凸凹性判断法 判定法之二(利用二阶导数)判定法之二(利用二阶导数)v若函数若函数f(x)在在(a,b)上是二
16、阶连续可微的,则上是二阶连续可微的,则f(x)是是(a,b)上的凸(或凹)函数的充要条件是对任上的凸(或凹)函数的充要条件是对任意意x(a,b)有有f (x)0(或或f (x)0),v而而f(x)是是(a,b)上的严格凸(或凹)函数的充分上的严格凸(或凹)函数的充分条件是上面的严格不等式成立条件是上面的严格不等式成立 几何意义几何意义凸函数凸函数2-22应用应用(I)函数的极值函数的极值u极值的必要条件极值的必要条件 设函数设函数f(x)在在x0可导,且在可导,且在x0取得极值,则取得极值,则f (x0)=0 几何解释:几何解释:v曲线在函数取得极值的点曲线在函数取得极值的点x0处的切线是水平
17、的处的切线是水平的x02-23应用应用(I)函数的极值函数的极值(续)续)u极值的充分条件极值的充分条件(I)(一阶充分条件)设(一阶充分条件)设f(x)在在x0的一个领域内的一个领域内可导且可导且 f (x0)=0(1)若若x取取x0左侧邻近的值时,左侧邻近的值时,f (x)的符号的符号恒为正;当恒为正;当x取取x0右侧邻近的值时,右侧邻近的值时,f (x)的的符号恒为负,则符号恒为负,则f(x)在在x0处取得极大值处取得极大值;(2)若)若x取取x0左侧邻近的值时,左侧邻近的值时,f (x)的符号的符号恒为负;当恒为负;当x取取x0右侧邻近的值时,右侧邻近的值时,f (x)的的符号恒为正,
18、则符号恒为正,则f(x)在在x0处取得极小值处取得极小值2-24应用应用(I)函数的极值函数的极值(续)续)u极值的充分条件极值的充分条件(II)(二阶充分条件)设(二阶充分条件)设f (x0)=0,f(x)在在x0处处具有二阶导数且具有二阶导数且f (x0)0(1)当当f (x0)0时,时,f(x)在在x0处取得极小值处取得极小值2-25应用应用(I)函数的极值函数的极值(续)续)u极值的充分条件极值的充分条件(III)(N 阶充分条件)阶充分条件)设设f (x0)=f (x0)=f(N 1)(x0)=0,f(N)(x0)0(1)当)当N为偶数且为偶数且f(N)(x0)0时,时,f(x)在在
19、x0处处取得极小值;取得极小值;(3)当)当N为奇数时,为奇数时,(x0,f(x0)为拐点为拐点练习练习:考虑函数:考虑函数y=x3 和和y=x6+6极值点和拐极值点和拐点点2-26应用应用(I)函数的极值函数的极值(续)续)u几类特定函数的最大值和最小值几类特定函数的最大值和最小值 只有一个驻点只有一个驻点x0(f (x0)=0)的函数的函数v设设a)f(x)的定义域是一个区间的定义域是一个区间I;b)x0是是f(x)在在区间区间I上的唯一驻点;上的唯一驻点;c)x0是是f(x)的(局部)极值的(局部)极值点则点则x0是是f(x)在区间在区间I上的(全局)最值点上的(全局)最值点 二阶导数处
20、处非零的函数二阶导数处处非零的函数v若若f(x)是区间是区间I上的二阶连续可微函数,且上的二阶连续可微函数,且f (x)在在区间区间I上处处非零,则上处处非零,则f(x)在区间在区间I上至多有一个上至多有一个驻点若有一个驻点驻点若有一个驻点x0,则则x0是最值点若是最值点若f (x0)0,则则x0是最小值点;若是最小值点;若f (x0)0是常数是常数将需求量作为横坐标,价格作为纵坐标将需求量作为横坐标,价格作为纵坐标v 垂直线垂直线 Qd=Q0,其中其中Q0是常数此时是常数此时Edp=0v 水平线水平线 P=m,其中其中m是常数此时是常数此时Edp=+Edp=pQpQdd/pQdpdQdd/=
21、Q=Q0POQ完全无弹性完全无弹性P=mPOQ完全弹性完全弹性2-39应用应用(II)供求理论供求理论(续)续)线性需求函数的点弹性线性需求函数的点弹性v斜线斜线 Qd=a bP,其中其中b 0 中点中点E处的点弹性为处的点弹性为1;线段线段AE上任一点处的点弹性位于区间上任一点处的点弹性位于区间(1,+);线段线段EB上任一点处的点弹性位于区间上任一点处的点弹性位于区间(0,1)ABEQPOa/baa/2a/(2b)2-40应用应用(II)供求理论供求理论(续)续)下面证明线段下面证明线段AE上任一点处的点弹性位于区间上任一点处的点弹性位于区间(1,+)/(11bPabPaPbQPdPdQE
22、dddp对AE上任一点(Q0,P0)有 baPba20所以1 a/(bP0)1a/bP0 1因此|Edp|1 易知易知A(0,a/b),E(a/2,a/2b),B(a,0)ABEQPOa/baa/2a/(2b)2-41应用应用(II)供求理论供求理论(续)续)需求价格弹性与消费者总支出的关系需求价格弹性与消费者总支出的关系v考虑完全垄断市场当某种商品的价格考虑完全垄断市场当某种商品的价格P上升,上升,消费者总支出消费者总支出PQd将如何变化呢?将如何变化呢?v变化是不确定的这是因为变化是不确定的这是因为P和和Qd反向变化但反向变化但有下面的结论有下面的结论 1)价格的增加导致总支出的增加的充要
23、条件是商价格的增加导致总支出的增加的充要条件是商品的需求缺乏弹性;品的需求缺乏弹性;2)价格的增加导致总支出的减少的充要条件是商价格的增加导致总支出的减少的充要条件是商品的需求富有弹性品的需求富有弹性;3)无论价格上升或下降,总支出不变的充要条件无论价格上升或下降,总支出不变的充要条件是商品的需求是单一弹性是商品的需求是单一弹性 证明:设商品的需求函数为证明:设商品的需求函数为Q=F(P),则总支出则总支出为为E(P)=PQ进而进而dPdQPQdPdQQPQ 1)1(dpEQE(P)=2-42应用应用(II)供求理论供求理论(续)续)需求收入弹性需求收入弹性v指消费者收入的相对变动所引起的需求
24、量的变动指消费者收入的相对变动所引起的需求量的变动v需求量是收入需求量是收入I的连续且可导的函数时的连续且可导的函数时EdI=IIQQdd/EdI=IQdIdQdd/供给价格弹性(略)供给价格弹性(略)2-43应用应用(II)消费理论消费理论 研究需求函数背后的消费者的行为理论研究需求函数背后的消费者的行为理论从生产者的角度可称为需求理论从生产者的角度可称为需求理论 需求的实现或欲望的满足,就是消费消需求的实现或欲望的满足,就是消费消费是人们为满足欲望而使用物品的一种经费是人们为满足欲望而使用物品的一种经济行为,是人类一切经济活动的出发点和济行为,是人类一切经济活动的出发点和归宿点,是经济学研
25、究的首要问题归宿点,是经济学研究的首要问题 消费者行为的分析法消费者行为的分析法v确定性分析:包括基数效用理论和序数效用理确定性分析:包括基数效用理论和序数效用理论;论;v不确定性分析:风险情况下的消费选择不确定性分析:风险情况下的消费选择2-44应用应用(II)消费理论消费理论(续)续)经济学上一般用效用理论分析消费者的行为经济学上一般用效用理论分析消费者的行为效用效用是人们从消费一种产品中所得到的满足是人们从消费一种产品中所得到的满足一种产品,必须既有满足人们欲望的性能,人一种产品,必须既有满足人们欲望的性能,人们又有对它满足的欲望,才能产生效用它是们又有对它满足的欲望,才能产生效用它是一
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