2020 届高三下学期第三次阶段质量检测数学（理）试题.pdf

1、第 1 页 共 4 页 2020 届高三下学期第三次阶段质量检测 数学试卷（理） 2020 届高三下学期第三次阶段质量检测 数学试卷（理） （总分：150 分考试时间：120 分钟） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答 案标号回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效 3考试结束后，将答题卡和试卷交回 一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求一、选择题：本大题

2、共 12 小题，每题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的 1.已知集合 的 1.已知集合 2 230 ,ln()Ax xxBx yx,则,则AB （） A （） A 3,0BB 3,1CC 3,0)DD 1,0) 2.已知复数2.已知复数 3 2 (1) i z i ,则,则z在复平面内对应点所在象限为（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3.短道速滑队组织 6 名队员（包括赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内）参加冬奥会选拔赛，记“甲 得第一名”为 在复平面内对应点所在象限为（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3.短道速滑队组织

3、 6 名队员（包括赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内）参加冬奥会选拔赛，记“甲 得第一名”为p，“乙得第二名”为，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为，“丙得第三名”为r，若，若p q 是真命题，是真命题，qr是真命题，则选 拔赛的结果为（） A甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名B甲没得第一名、乙没得第二名、丙得第三名 C甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名D甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名 4.已知 是真命题，则选 拔赛的结果为（） A甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名B甲没得第一名、乙没得第二名、丙得第三名 C甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名D甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名

4、 4.已知tan3，则，则 2 cossin2（ ） A （） A BB CC DD 5.已知定义域为5.已知定义域为I的偶函数的偶函数 ( )f x在 在(0,)上单调递增，且上单调递增，且 0 xI， 0 ()0f x，则下列函数中符合上述条件的 是（） A ，则下列函数中符合上述条件的 是（） A 2 ( )|f xxxBB( )22 xx f x CC 2 ( )log |f xxDD 4 3 ( )f xx 6.在增减算法统宗中有这样一则故事： “三百七十八里关,初行健步不为难；次日脚痛减一半,如此六日过其 关.”则下列说法错误的是 A此人第二天走了九十六里路B此人第一天走的路程比后

5、五天走的路程多六里 C此人第三天走的路程占全程的 6.在增减算法统宗中有这样一则故事： “三百七十八里关,初行健步不为难；次日脚痛减一半,如此六日过其 关.”则下列说法错误的是 A此人第二天走了九十六里路B此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C此人第三天走的路程占全程的 1 8 D此人后三天共走了 42 里路D此人后三天共走了 42 里路 第 2 页 共 4 页 7已知函数7已知函数( )2 sin()0,0,f xaxa，直线，直线y a 与与 ( )f x的图象的相邻两个交点的横坐 标分别是 的图象的相邻两个交点的横坐 标分别是2和和4，下列正确的是（） A.该函数在 ，下列正确的是

6、（） A.该函数在2,4上的值域是上的值域是 , 2 aaB.在B.在2,4上，当且仅当上，当且仅当3x 时函数取最大值 C.该函数的最小正周期可以是 时函数取最大值 C.该函数的最小正周期可以是 8 3 D.D. ( )f x的图象可能过原点 8.已知向量 的图象可能过原点 8.已知向量, ,a b c 满足满足1a ，3b ， 3 2 a b ，,30ac bc ，则，则c 的最大值等于（） A 的最大值等于（） A2 7BB 7 C2DC2D 2 9.已知双曲线9.已知双曲线 22 2 1 4 xy b 0b 的左右焦点分别为的左右焦点分别为 1 F、 2 F,过点,过点 2 F的直线交

7、双曲线右支于的直线交双曲线右支于A、B两点,若两点,若 1 ABF是等腰三角形,且是等腰三角形,且120A 则则 1 ABF的周长为（） A 的周长为（） A16 38 3 BB421CC 4 3 8 3 DD232 10.数列10.数列 n a满足满足 11 ,23, nn aZ aan 且其前且其前n项和为项和为 n S，若，若 13=m Sa，则正整数，则正整数m （） A （） A99BB103CC107DD198 11. 已知11. 已知(3,0)A，若点，若点P是抛物线是抛物线 2 8yx上任意一点，点上任意一点，点Q是圆是圆 22 (2)1xy上任意一点，则上任意一点，则 2 |

8、 | PA PQ 的最小 值为 的最小 值为() A3BA3B4 34CC2 2D4 12.下列四个命题： D4 12.下列四个命题：55 2lnln；ln e ； 11 211；324 2eln ，其中真命题的个数 是 ，其中真命题的个数 是()(e为自然对数的底数） A.1B.2C.3D.4 二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 为自然对数的底数） A.1B.2C.3D.4 二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 13.13. xx展开式中，含展开式中，含 x项的系数为_ 14.函数 项的系数为_ 14.函数 lnf xx和和 2 g xaxx的图

9、象有公共点的图象有公共点P，且在点，且在点P处的切线相同，则这条切线方程为_处的切线相同，则这条切线方程为_ 15.如图,在棱长为 2 的正方体15.如图,在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中,点中,点M是是AD中点,动点中点,动点P在底面在底面 ABCD内（不包括边界）,使四面体内（不包括边界）,使四面体 1 ABMP体积为体积为 2 3 ,则,则 1 C P的最小值是_的最小值是_ 16.已知16.已知 xxxf，数列，数列 n a为等差数列，公差为等差数列，公差d， n S为数列为数列 n a的的 前前n项和，若满足项和，若满足 afafaf，则，则d_；_； S_._

10、. （本题第一空 2 分，第二空 3 分.）（本题第一空 2 分，第二空 3 分.） 第 3 页 共 4 页 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题， 每个考生都必须回答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答 17.（本小题满分 12 分）ABC的内角A，B，C所对边分别为 每个考生都必须回答第 2223 题为选考题，考生根据要求作答 17.（本小题满分 12 分）ABC的内角A，B，C所对边分别为, ,a b c，已知

11、ABC面积为，已知ABC面积为S， CcBbAacSsinsinsin （）求角 （）求角C； （）若 ； （）若D为为AB中点，且中点，且c，求，求CD的最大值 18.如图，在三棱柱 的最大值 18.如图，在三棱柱 111 ABCABC中，中， 1 AA 平面平面ABC，D是是AB的中点，的中点，BCAC， 22 2ABDC ， 1 4AA （）求证：（）求证： 1/ BC平面平面 1 ACD； （）求平面（）求平面 11 BCC B与平面与平面 1 ACD所成锐二面角的平面角的余弦值所成锐二面角的平面角的余弦值 19.已知椭圆19.已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的半焦距

12、为的半焦距为c，圆，圆 222 :O xyc与椭圆与椭圆C有且仅有两个公共点，直线有且仅有两个公共点，直线 2y 与椭圆与椭圆C只有一个公共点 （）求椭圆 只有一个公共点 （）求椭圆C的标准方程； （）已知动直线 的标准方程； （）已知动直线l过椭圆过椭圆C的左焦点的左焦点F，且与椭圆，且与椭圆C分别交于分别交于,P Q两点，试问：两点，试问：x轴上是否存在定点轴上是否存在定点R，使 得 ，使 得RP RQ 为定值?若存在，求出该定值和点为定值?若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，请说明理由 20.已知函数 的坐标；若不存在，请说明理由 20.已知函数 1 ( )()() 2 f xxa

13、 lnxx aR （）若 （）若( )fx是是( )f x的导函数，讨论的导函数，讨论( )( )g xfxxalnx的单调性； （）若 的单调性； （）若 1 (,2)( 2 ae e e 是自然对数的底数） ，求证：是自然对数的底数） ，求证：( )0f x 21.冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS） 等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状 病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人 感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致 肺炎、严重急性呼吸

14、综合征、肾衰竭，甚至死亡. 某医院为筛查冠状病毒,需要检验血液是否为阳性,现有 21.冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS） 等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状 病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人 感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致 肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡. 某医院为筛查冠状病毒,需要检验血液是否为阳性,现有()n nN 份血液样本, 有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验,则需要检验 份血液样本, 有以下两种检

15、验方式： 方式一：逐份检验,则需要检验n次. 方式二：混合检验,将其中 次. 方式二：混合检验,将其中(2)k kNk 且份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性,这份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性,这k份的 血液全为阴性,因而这 份的 血液全为阴性,因而这k份血液样本只要检验一次就够了,如果检验结果为阳性,为了明确这份血液样本只要检验一次就够了,如果检验结果为阳性,为了明确这k份血液究 竟哪几份为阳性,就要对这 份血液究 竟哪几份为阳性,就要对这k份再逐份检验,此时这份再逐份检验,此时这k份血液的检验次数总共为份血液的检验次数总共为+1k. 假设在接受检验的血液样

16、本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的, 且每份样本是阳性结果的概 . 假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的, 且每份样本是阳性结果的概 第 4 页 共 4 页 率为率为(01)pp.现取其中.现取其中(2)k kNk 且份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为 1 , 采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为 , 采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为 2 . （）若 . （）若 12 ( )()EE,试求,试求p关于关于k的函数关系式的函数关系式( )pf k； （）若 ； （

17、）若p与干扰素计量与干扰素计量 n x相关，其中相关，其中 123 ,(2) n x x xx n 是不同的正实数， 满足 是不同的正实数， 满足 1 1x 且且(2)nNn 都有都有 1222 1 1 3 22 1 121 . n nn i ii xxx e x xxx (i)求证：数列(i)求证：数列 n x为等比数列； (ii)当 为等比数列； (ii)当 3 4 1 1p x 时，若采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的 期望值更少，求 时，若采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的 期望值更少，求k的最大值.的最大值.

18、 （二）选考题请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22.【选修 44：坐标系与参数方程】 在极坐标系中,曲线 （二）选考题请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22.【选修 44：坐标系与参数方程】 在极坐标系中,曲线 C的极坐标方程是的极坐标方程是 24 4cos3sin ,在以极点为原点,在以极点为原点 O,极轴为,极轴为 x 轴正半轴（两坐标系 取相同的单位长度）的直角坐标系 轴正半轴（两坐标系 取相同的单位长度）的直角坐标系 xOy 中，曲线C中，曲线C2 2的参数方程为的参数方程为 cos sin x y （为

19、参数）. （）求曲线 为参数）. （）求曲线 C的直角坐标方程与曲线的直角坐标方程与曲线 C的普通方程； （） 将曲线 的普通方程； （） 将曲线 C经过伸缩变换经过伸缩变换 2 2 2 xx yy 后得到曲线后得到曲线 C， 若， 若NM,分别是曲线分别是曲线 C和曲线和曲线 C上的动点,求上的动点,求MN 的最小值. 23.【选修 45：不等式选讲】 已知函数 的最小值. 23.【选修 45：不等式选讲】 已知函数 20fxxxt t的最小值为的最小值为2 （）求不等式（）求不等式 8fxxt的解集； （）若 的解集； （）若tcba 2 5 532 222 ,求,求bcac32的最大值.

20、的最大值. 第 1 页 共 9 页 2020 届高三下学期第三次阶段质量检测 数学试卷（理）答案 1.【答案】C.【解析】由 2 230xx 有(1)(3)0xx,即31x ,又ln() x中0x 即0x . 故AB 3,0),故选 C. 2.【答案】B.【解析】 3 22 (1)2 1 ii z iii 1 11 i ii 11 22 i , 则 11 22 zi ,z在复平面内对应点为 1 1 , 2 2 ,在第二象限,故选 B. 3.【答案】C.【解析】由qr是真命题，则 q 和r均为真命题，即q为假命题，又因为p q 是真命题，所 以p为真，所以命题p为真，r为真命题，q为假命题， 即

21、甲得第一名，丙得第三名，乙没有得第二名.故选：C. 4.【答案】B.【解析】 2 2 222 cos2sincos12tan7 cossin2 cossin1tan10 ，故选 B 5.【答案】C.【解析】 由题意，函数 2 ( )|f xxx的图象关于y轴对称，但在 1 (0, ) 2 单调递减，在 1 ( ,) 2 单 调递增，不满足题意；函数( )22 xx f x 的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，不满足题意；函数 4 3 34 1 ( )0f xx x ，即函数的值域为0,)，不满足题意，故选 C 6.【答案】C.【解析】由题意可知,每天走的路程里数构成以 1 2 为公比的等比数

22、列,由 S6=378,可判断此人第三天走 的路程不占全程的 1 8 ,故选 C. 7.【答案】C.【解析】当1a 时，区间,2aa 没有意义；该函数在2,4上，当3x 时函数取最小值；由 周期公式 228 3 T ，得 3 4 ，此时 3 ( )2 sin 4 f xax ，由 3 (2)2 sin 2 (4)2 sin 3 faa faa ， 计算得出 2 sincos 2 ， 3 4 ，可以知道该函数的最小正周期可以是 8 3 ；由(0)2 sin0fa， 得sin 0 ，解得0，此时 sin()f xax不满足直线y a 与 ( )f x的图象的相邻两个交点的横 坐标分别是2和4，故答案

23、为 C 第 2 页 共 9 页 8. 【答案】 A. 【解析】OA =a ，OB b ，OC c ， 设由1a ，3b ， 3 2 a b ， 所以 3 cos 2 AOB ， 所以150AOB ，又 ,30ac bc ，则30ACB ， 即点,A O B C四点共圆，要使c r 最大，即OC为圆的直径， 在AOB中，由余弦定理可得 2 AB = 2 OA+ 2 2cosOBOAOBAOB =7，即 AB= 7， 又由正弦定理可得：22 7 sin AB R AOB ，即c r 最大值为2 7，故选 A 9. 【答案】A.【解析】双曲线的焦点在x轴上,则2,24aa；设 2 |AFm,由双曲线

24、的定义可知： 12 | | 24AFAFam,由题意可得： 1222 | | |AFABAFBFmBF, 据此可得： 2 | 4BF ,又 , 12 | 2| 8BFaBF, 1 ABF由正弦定理有: 11 | sin120sin30 BFAF ,即 11 |3|BFAF,所以83(4)m,解得： 8 312 3 m ,所以 1 ABF的周长为： 11 |AFBFAB= 8 31216 3 2(4)81628 33 m ,故选 A. 10. 【答案】B.【解析】由 1 23 nn aan ，得 1 (1) 1(1) nn anan ，所以1 n an为等比数列， 所以 1 1 1( 1)(2)

25、 n n ana ，所以 1 1 ( 1)(2)1 n n aan ， 1 1 ( 1)(2)1 m m aam ， 所以 13123121311 ()()2 (2412)3 6102Saaaaaaa . 1当m为奇数时， 11 (2)1102ama ，解得103m ； 2当m为偶数时， 11 (2)1102ama ，解得 1 299ma，因为 11 ,299aZ ma只能为奇数， 与m为偶数矛盾，无解； 综上所述，103m . 11. 【答案】B. 【解析】 ：抛物线 2 8yx的准线方程为:2l x ，焦点(2,0)F，过P作PBl，垂足为B， 由抛物线的定义可得| |PFPB，圆 22

26、(2)1xy的圆心为(2,0)F，半径1r ， 可得|PQ的最大值为| 1PFrPF ，由 22 | | 1 PAPA PQPF ， 可令| 1PFt ，(1)t ，可得|1 |2 P PFtPBx ，即3 P xt ， 2 8(3) P yt， 可得 22 |(33)8(3)1212 4 244 34 | 1 PAtt tt PFttt ，当且仅当2 3t 时，上式取得等号， 可得 2 | | PA PQ 的最小值为4 34，故选：B 第 3 页 共 9 页 12. 【答案】B.【解析】构造函数( ) lnx f x x ，导数 2 1 ( ) lnx fx x ，当0xe时，( )0fx，

27、( )f x递 增；xe时，( )0fx，( )f x递减 可得( )f e取得最大值 1 e 2 2ln 5 5ln 2ln55ln22ln55ln ，故不正确； ln e e e ee ln 2 1 ln ln2 ，故正确； 11 211 11 11ln 2 2ln 11ln22ln11112 2 11 ，不易确定 设 2 ( )2xg xx，可得 042 gg，在24x时，( )0g x ，即有 11 211， 故正确； e e e 1 22 22ln 22 2 2ln3 242ln3 ，故不正确 故选：B 13.【答案】70.【解析】 5 12x展开式的通项公式为： 155 (2 )2

28、 kkkkk k TCxCx ， 令2k ，此时项数为： 2222 55 2240 kkk CCxxx ， 令1k ，此时项数为： 11 5 1 22 510Cxxx ， 综上可得：含 2 x 的项为 2222 24010801070xxxxxx ，含 2 x 项的系数为70 14. 【答案】1yx. 【解析】 1 ,fx x 21gxax， 设切点的横坐标为t， 则根据题意可得 2 ln 1 21 tatt at t ， 得 1 ln 2 t t ，2ln10tt ， 设 2ln1g ttt ， 则 g t单调递增， 又 10g， 所以方程2ln10tt 第 4 页 共 9 页 有唯一解1t

29、 ，所以切点为1,0，切线斜率1k ，切线方程为1yx，故答案为：1yx 15. 【答案】 2 30 5 . 【解析】 由已知得四面体 1 ABMP体积 1 12 2, 33 AMBPMBP VS 所以1, MBP S设P到BM 的距离为h,则 1 51, 2 MBP Sh 解得 2 5 , 5 h 所以P在底面ABCD内（不包括边界）与BM平行且距离 为 2 5 5 的线段l上,要使 1 C P的最小,则此时P是过C作BM的垂线的垂足.点C到BM的距离为 4 5 , 5 所以 2 5 , 5 CP 此时 2 2 1min 2 52 30 2. 55 C P 故答案为 2 30 5 . 16.

30、【答案】1；8076.【解析】设 xxxg ，显然 xg为奇函数， xgxf， 故 xf关于,对称.右图为 xf图象，又因为 aaa,成等差数列且 fff，故 da,，则 1403820192020 4038 4038403840381 3 8076 222 aaaa S . 17. 【解析】 （）依题意得， 11 sinsinsinsin 22 abCc aAbBcC，由正弦定理得， 222 abcc abc， 即 222 abcab ， （3 分）由余弦定理得， 222 1 cos 222 abcab C abab ，又因为 0,C， 所以 3 C （6 分） （） 222 abcab ，

31、2c ， 22 424ababab ，即4ab （8 分） D为AB中点，所以 1 2 CDCACB ， （10 分） 2221 2 4 CDCACBCA CB 22 11 42 44 baabab 1 483 4 ，当且仅当2ab时， 等号成立所以CD的最大值为 3 （12 分） 18.【解析】 （）证明：连结 1 AC交 1 AC于点E，连结DE， 则E为 1 AC中点，DE为 1 ABC中位线，所以 1 /DE BC 又DE 平面 1 ACD， 1 BC 平面 1 ACD所以 1/ BC平面 1 ACD （4 分） （）解法一：因为BCAC，D是AB的中点，所以ABDC 又因为 22 2

32、ABDC ，所以2ACBC，则 222 ACBCAB ，即ACBC，所以90ACB 第 5 页 共 9 页 又因为 1 AA 平面ABC， 所以建立如图所示空间直角坐标系Cxyz， 则0,0,0C，1,0,1D ， 1 0,4,2A， 1,0,1CD ， 1 0,4,2CA （6 分） 平面 11 BCC B的法向量为0,0,1m （8 分） 设平面 1 ACD的法向量为, ,nx y z ，则由n CD ， 1 nCA ，得 1 0 420 n CDxz n CAyz 令1y ，则2xz，2, 1,2n （10 分） 所以平面 1 ACD与平面 11 BCC B所成的锐二面角的余弦值为 22

33、 cos 314 14 m n m n （12 分） 解法二：延长 1 A D、 1 B B交于Q，连接QC，过D作DHBC于H，过H作HJQC于J，连接DJ， 则DH 平面 11 BCC B，DHCQ，又HJDHH，所以CQ 平面DHJ，DJH 为平面 11 BCC B 与平面 1 ACD所成锐二面角的平面角 Rt BDC中，BDDC，所以高DH为中线，1DH ，1BHHC， 11 BDAB， 111 1 2 QBBD QBAB ， 1 4QBBB， 在Rt CBQ中， 22 422 5QC ， 4 sin 2 5 HJBQ BCQ CHCQ ， 2 5 HJ ， Rt DHJ中， 2 2

34、23 1 55 DJ ， 2 cos 3 HJ DJ ， 所以平面 11 BCC B与平面 1 ACD所成锐二面角的平面角的余弦值为 2 3 19.【解析】 （）依题意，得2cb，则 222 448abc ，故椭圆的标准方程为 22 1 84 xy （4 分） （）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为2yk x， 代人椭圆C的方程，可得 2222 218880kk xxk ， 第 6 页 共 9 页 设 11 ,P x y， 22 ,Q xy，则 2 12 2 8 21 k xx k ， 2 12 2 88 21 k x x k ， （6 分） 设,0R m，则 1122 ,RP RQxm

35、yxm y 1212 xmxmy y 12 2 1122 24xmxkxxxmx 22 2 2 22 2 82 88 4 2121 1 kk kmk m k kk 222 2 2848 21 mmkm k ， （8 分） 若 222 2 2848 21 mmkm k 为定值，则 2 2 81 2842 m mm ，解得 5 2 m ， 此时 222 2 2848 7 214 mmkm k ，R点的坐标为 5 ,0 2 （10 分） 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为2x ，代人 22 1 84 xy ，得 2 2 x y ， 不妨设2,2 ,2,2PQ，若 5 ,0 2 R ，则 11 ,

36、 2 ,2 22 RPRQ ， 7 4 RP RQ 综上所述，在x轴上存在点 5 ,0 2 R ，使得RP RQ 为定值 7 4 （12 分） 20. 【解析】 （）因为 3 ( ) 2 a fxlnx x ，所以 3 ( )(1) 2 a g xa lnxx x ， 2 1(1)() ( )1(0) aaxxa g xx xxx ， （1 分） （）当0a即0a时，所以0xa，且方程( )0g x在(0,)上有一根， 故( )g x在(0,1)上为增函数，(1,)上为减函数， （3 分） （）当0a即0a 时， 所以方程( )0g x在(0,)上有两个不同根或两相等根， 当1a 时 0 1

37、2 x x xf，( )f x在(0,)上是减函数； 当1a 时，由( )0fx得1xa ， 所以( )f x在(1,)a上是增函数；在(0,1)，(,)a上是减函数； 当10a 时，由( )0fx得1ax， 所以( )f x在(,1)a是增函数；在(0,)a，(1,)上是减函数； （6 分） 第 7 页 共 9 页 （2）证明：因为 3 ( ) 2 a fxlnx x ，令 3 ( ) 2 a h xlnx x ，则 2 1 ( ) a h x xx ， 因为 1 (,2) 2 ae e ，所以 2 1 ( )0 a h x xx ， 即( )h x在(0,)是增函数， 下面证明( )h x

38、在区间( ,2 ) 2 a a上有唯一零点 0 x， （8 分） 因为 1 ( ) 222 aa hln，(2 )21haln a， 又因为 1 (,2) 2 ae e ，所以 21 ( )0 222 ae hln， 1 (2 )(2)10 2 haln e ， 由零点存在定理可知，( )h x在区间( ,2 ) 2 a a上有唯一零点 0 x， 在区间 0 (0,)x上，( )( )0h xfx，( )fx是减函数， 在区间 0 (x，)上，( )( )0h xfx，( )fx是增函数， 故当 0 xx时，( )f x取得最小值 0000 1 ()() 2 f xxa lnxx， （10 分

39、） 因为 00 0 3 ()0 2 a h xlnx x ，所以 0 0 3 2 a lnx x ， 所以 00000 00 311 ()()()()(2) 222 aa f xxaxxax xx ， 因为 0 (,2 ) 2 a xa，所以( )0f x ， 所以 1 (,2) 2 ae e ，( )0f x （12 分） 21.【解析】 （）由题意得 1 ( )Ek；随机变量 2 的所有可能值为：1，+1k. 22 (1)(1) , (1)1 (1) , kk pppkp 故 2 ()1(1) . k Ekkp 若 12 ( )()EE，则1(1) . k kkkp 整理有 1 1 1 (

40、 )kp k ， 即p关于k的函数关系式 1 1 ( )=1-()kpf k k (2)kNk 且.（4 分） （）(i)当2n 时，有 1222 221 3 22 1221 . xxx e x xxx 解得 1 2 3 1 x e x .令 1 2 3 1 x qe x ，则1q . 由题意可知 222 1 11 22 1 2121 . n nn i ii xxxx xx xxx 则可得 222 +1+111 22 1 2121 . n nn i ii xxxx xx xxx 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 13221 2 1 2 2 2 1 2 1 2 32 2 21 2 2 1

41、1 . 11 . n n nn n nn nnn xx x xx xx xxxxxxxx xx xx x xx x xx x x x 第 8 页 共 9 页 2 11 2 2 1 2 2 2 1 2 1 13221 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 32 2 1 21 2 1 2 1 1 . 11 . n n nn n nn nnn xx x xx xx xxxxxxxx xx xx x xx x xx x x x 两式做差得： 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 11 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 n n n n n n n n nn x xx x xx xxx x xx x xx xx xx x xx xx xx 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 11 nnnnn n n n nn x x x x xx