分布函数-课件.ppt

1、概率论概率论 4 分布函数分布函数4.1 一维随机变量的分布函数及其性质一维随机变量的分布函数及其性质4.2 多维随机变量的分布函数及其性质多维随机变量的分布函数及其性质 课堂练习课堂练习 小结小结概率论概率论 P x1X x2()P Xx 1221()()()P xXxP XxP Xx1x2x概率论概率论 4.1 4.1 一维随机变量分布函数的及其性质一维随机变量分布函数的及其性质 如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数布函数 F(x)的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间 内的内的,(x概率概率.xoxX 定义定义 设设 X 是一个是一个 r

2、.v，x 是任意实数，称是任意实数，称)()(xXPxF)(x为为 X 的分布函数的分布函数.概率论概率论(1)在分布函数的定义中在分布函数的定义中,X是随机变量是随机变量,x是参变量是参变量.(2)F(x)是是r.v X取值不大于取值不大于 x 的概率的概率.(3)对任意实数对任意实数 x1x2，随机点落在区间，随机点落在区间(x1,x2 内内的概率为：的概率为：因此，只要知道了随机变量因此，只要知道了随机变量X的分布函数，的分布函数，它它的统计特性就可以得到全面的描述的统计特性就可以得到全面的描述.1x2xox X122121()()()()()P xXxP XxP XxF xF x概率论

3、概率论 分布函数是一个普通的函数，分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量学的工具来研究随机变量.()(),F xP Xxx xoxX概率论概率论 分布函数的性质分布函数的性质 ,上上是是一一个个不不减减函函数数在在 xF(1);,212121xFxFxxxx 都都有有且且即即对对 21F xF x1x2xox X 120P xXx概率论概率论 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v r.v X X 的分布函数的分布函数.也就是说，性质也就是说，性质(1)-(3)(1)-(3)是鉴别一是

4、鉴别一个函数是否是某个函数是否是某 r.vr.v 的分布函数的充分必要条件的分布函数的充分必要条件.(3)F(x)右连续，即右连续，即)()(lim00 xFxFxx(2)xoXx()F limxF x limxF x()F 0 1 概率论概率论 试说明试说明F(x)能否是某个能否是某个r.v 的分布函数的分布函数.例例1 设有函数设有函数 F(x)其它00sin)(xxxF 解解 注意到函数注意到函数 F(x)在在 上下降，上下降，不满足性质不满足性质(1)，故，故F(x)不能是分布函数不能是分布函数.,2不满足性质不满足性质(2)，可见可见F(x)也不也不能是能是r.v 的分布函数的分布函

5、数.或者或者0)(lim)(xFFx概率论概率论 X表示正面出现的次数，表示正面出现的次数，求求X的分布函数的分布函数F(x)，并求以下概率：并求以下概率：135(),(),(23),(2.13)222P XPXPXPX012313318888kXp1(3,)2Xb概率论概率论 3=0(1)0()()0;1(2)1()()(0);8(3)2()()4(0)(1);87(4)3()()();8(5)3()1.ixF xP XxxF xP XxP XxF xP XxP XP XxF xP XxP XixF x，0，0，1，1，2，2，概率论概率论 0,01,0184(),1287,2381,3xx

6、F xxxx OOOO17 84 81 8().kkpP Xx概率论概率论 111()();228P XF3553743()()();2222888PXFF(23)(2)(23)7(2)(3)(2)8PXP XPXP XFF(2.13)(2.1)(2.13)3(2.1)(3)(2.1)8PXP XPXP XFF概率论概率论 设离散型设离散型 r.v X 的分布律是的分布律是P X=xk =pk ,k=1,2,3,F(x)=P(X x)=xxkkp即即F(x)是是 X 取小于取小于x 的诸值的诸值 xk 的概率之和的概率之和.则其分布函数则其分布函数()()()P XxF xF x概率论概率论(

7、)(),.xF xP Xxf t dt xR 2.若若 f(x)在点在点 x 处连续处连续,则有则有()().Fxf x f(x)概率论概率论,036()2,3420,1()72121Xxxxf xxXF xPX 设设随随机机变变量量 具具有有概概率率密密度度其其它它（）求求 的的分分布布函函数数；（）求求例例概率论概率论 03030,0,036()2,34621,4xxxxdxxF xxxdxdxxx 0 x34 xx x x ,xF xf t dtx 概率论概率论 4,143,42330,120,0)(22xxxxxxxxF即分布函数即分布函数 7741211.2248PXFF（）概率论概

8、率论 例例2 2 设随机变量设随机变量 X X 的分布函数为的分布函数为0,()arcsin,1,xaxF xABaxaaxa X求：求：（1 1）A A,B B 的值；的值；（2 2）求随机变量）求随机变量X X 的概率密度函数的概率密度函数.X解：解：（1）由连续性条件由连续性条件概率论概率论()(),F aF a arcsin1aABa ()(),FaFaarcsin0aABa 故故可得可得11,2AB (2)(2)因为因为0,11()arcsin,21,xaxF xaxaaxa 概率论概率论 故故 221,|()().0,|xaf xFxaxxa|xa|xa()F x(),f x,xa

9、 a (事实上，我们在开区间事实上，我们在开区间和上对上对求导得求导得可能是不可导点，可能是不可导点，我们将密度函数赋值为我们将密度函数赋值为0)概率论概率论 解：解：设设 F(x)为为 X 的分布函数，的分布函数，a为为C到到AB边的距离边的距离当当 x 0)都是常数都是常数.2(,),XN 若若X 的分布函数的分布函数是是 22()21,2txF xedtx 概率论概率论 标准正态分布的分布函数记为标准正态分布的分布函数记为 221,2txxedtx x)(x)(x 概率论概率论 的性质的性质:;2101 dtet 022210 21212122 dtet ;1,2xxRx dtexxt

10、2221 事实上事实上 ,221()2txxedtx 概率论概率论 22112uxedu x 1 标准正态分布的重要性标准正态分布的重要性在于，任何一个一在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布正态分布.定理定理1 .1,0,2NXZNX 则则若若2212uxutedu 概率论概率论 .1,0,2NXZNX 则则若若证证Z Z 的分布函数为的分布函数为 dtexXPxXPxZPxt 22221,tu令令则有则有 duexZPxu 2221 x 概率论概率论 根据定理根据定理1,1,只要将标准正态分布的分布函数制只要将标准正态分布的

11、分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.1,0 NXZ 故故 xxXPxXPxFNXX2,于是于是概率论概率论 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表以解决一般正态分布的概率计算查表.正态分布表正态分布表)(1)(xxdtexxt2221)(当当 x 0 时时,(x)的值的值.概率论概率论),(2NX若若若若 XN(0,1),)(bYaP)(bXaP)()()(abbXaP)()(abXYN(0,1)则则概率论概率论 2(300,35),XN300350300(

12、350)()(1.43)0.9236.3535XP XP (250300)250300300300300()353535(0)(1.43)0.51(1.43)0.5(10.9236)0.4236.PXXP 例例 4 设某元件寿命设某元件寿命(小时)（1 1）求此元件的寿命不超过）求此元件的寿命不超过350350小时的概率；小时的概率；（2 2）求此元件的寿命不小于）求此元件的寿命不小于250250小时且不超过小时且不超过300300小时的概率小时的概率.（2 2）所求概率为）所求概率为解解（1）所求概率为）所求概率为概率论概率论 由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求

13、得，这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3 区间区间内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X|1)=2 (1)-)-1=0.6826 P(|X|2)=2 (2)-)-1=0.9544P(|X|3)=2 (3)-)-1=0.9974 3 3 准则准则概率论概率论 将上述结论推广到一般的正态分布将上述结论推广到一般的正态分布,6826.0)|(|YP9544.0)2|(|YP9974.0)3|(|YP可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在3,3区间内区间内.这在统计学

14、上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则”.XYN(0,1)时，时，2(,)XN 概率论概率论 3 3 准则如下图所示准则如下图所示概率论概率论 标准正态分布的上标准正态分布的上 分位点分位点 0,1,XN设设若数若数 满足条件满足条件z ,01P Xz则称点则称点 为为z标准正态分布的标准正态分布的上上 分位点分位点.)(x 1 zz zz 11P Xz 1 P Xz P Xz 概率论概率论 解解P(X h)0.01或或 P(X h)0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的h.看一个应用正态分布的例子看一个应用正态分布的例子:例例5 5 公共汽车车门的高度是按男子与

15、车门顶公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在头碰头机会在 0.01 以下来设计的以下来设计的.设男子身高设男子身高XN(170,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定?设车门高度为设车门高度为h cm,按设计要求按设计要求概率论概率论 因为因为 XN(170,62),),故故 P(X0.996170h因而因而 =2.33,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01.P(X h)0.99求满足求满足的最小的的最小的 h.)1,0(6170NX 所以所以 .170170

16、66XhP 1706h 概率论概率论 20,031(),04211,2xF xxxx 其图像如下图所示其图像如下图所示 显 然 满 足 分 布 函 数显 然 满 足 分 布 函 数1 1至至3 3条，其是分布函条，其是分布函数数.但其图像不是阶梯型但其图像不是阶梯型也不是连续的，因此，它也不是连续的，因此，它对应的随机变量既不是离对应的随机变量既不是离散型也不是连续型散型也不是连续型.概率论概率论)()(xXPxFxX的分布函数的分布函数一维随机变量一维随机变量 ,F x yPXxYyP Xx Yy,x y如果对于任意实数如果对于任意实数二元二元 函数函数称为二维随机变量称为二维随机变量 的的

17、分布函数分布函数,X Y或者称为随机或者称为随机变量变量 和和 的的联合分布函数联合分布函数.YX定义定义1 ,X Y设设 是二维是二维随机变量随机变量,概率论概率论 Oxyy YX,YX yx,x 将二维随机变量将二维随机变量 看成是平面上随机点看成是平面上随机点的坐标的坐标,X Y 那么那么,分布函数分布函数 在点在点 处的函数值处的函数值就是随机点就是随机点 落在下面左图所示的落在下面左图所示的,以点以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.,X Y ,x y ,F x y ,x y分布函数的函数值的几何解释分布函数的函数值的几何解释概率

18、论概率论 11211222,yxFyxFyxFyxF 2121,yYyxXxP 随机点随机点 落在矩形域落在矩形域 ,X Y1212,xxxyyy内的概率为内的概率为xyO YX,2y1y1x2x ,F x yX Y问问：如如何何用用表表示示落落在在各各个个象象限限的的概概率率？概率论概率论 xyO YX,1x2xy yx,1 yx,2 :,的性质的性质分布函数分布函数yxF ;,.1的不减函数的不减函数和和是关于变量是关于变量yxyxF ;,212121yxFyxFxxRxxRy 时时当当及及对任意固定的对任意固定的 ;,212121yxFyxFyyRyyRx 时时当当及及对任意固定的对任意

19、固定的 YX,概率论概率论 ,0,1,0.2 yFRyyxF对任意固定的对任意固定的且且 .1,0,0,FFxFRx对任意固定的对任意固定的Oxyy YX,XY .0,0,.3 yxFyxFyxFyxF yx,x yx,x概率论概率论 4 4对于任意的对于任意的11221212(,),(,),.xyxyxxyy下述不等式下述不等式22211211(,)(,)(,)(,)0F xyF xyF xyF xy成立成立.事实上，事实上，222112111212(,)(,)(,)(,),0F xyF xyF xyF xyP xXxyYy 反之，可以证明具有性质反之，可以证明具有性质1 1,2,2,3,3

20、,4,4的函数必是某二维随机向量的联合分布函数的函数必是某二维随机向量的联合分布函数.注注 较之一维随机变量而言，二维随机变量的分较之一维随机变量而言，二维随机变量的分布函数的性质多了第布函数的性质多了第4条，这条性质是二维较之条，这条性质是二维较之一维的本质变化，必不可少一维的本质变化，必不可少.概率论概率论 1,1(,)0,1xyF x yxy ，(1,1)(1,1)(1,1)(1,11 1 101FFFF 例例1 1(,)F x y显然显然满足满足1 1至至3,但不满足但不满足4.(,)F x y因此因此不是分布函数不是分布函数.问问此此函函数数是是不不是是一一个个联联合合分分布布函函数

21、数？设设概率论概率论(,)(,)f x yx y (,)(,)(,)yxF x yP Xx Yyf u v dudv (,)(,)f x yx y若若在在连连续续，则则有有2(,)(,).Fxyfxyxy 概率论概率论 00002(,)lim1lim(,)(,)(,)(,)(,)(,).xyxyP x Xxx y Yyyx yF xx yyF xx yF x yyF x yx yF x yf x yx y (,)(,),f x yx yxy这这表表明明，若若在在点点连连续续，则则当当很很小小时时(,)(,).P xXxx yYyyf x yx y 概率论概率论 例例2 设设(X,Y)的概率密度

22、是的概率密度是(1)求分布函数求分布函数 (2)2,0,0,0,.xyexyfx y 其其它它 ,;F x y P YX(2)求概率求概率 .概率论概率论 Ouvy yx,x ,yxF x yf u v dudv ,Du vuxvy 积分区域积分区域区域区域 ,0f u v ,0,0u v uv解解 (1)概率论概率论 211,0,0,0,.xyeexyF x y 其其它它00 xy或或当当 时时,yxF x yf u v dudv 0 故故(2)002yxu vedudv 2002yxvue dvedu 211xyee0,0 xy当当 时时,yxF x yf u v dudv 概率论概率论

23、2302xxeedx 1.3(2)P YX ,y xfx y dxdy 2002xxydxedy 2002xxyedxedy yx xyo概率论概率论 习题习题1.设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度是的概率密度是 6,02,24,0,.kx yxyf x y 其其 它它(1)确定常数确定常数 ;k 1,3PXY (2)求概率求概率 .概率论概率论 解解(1)xyo24 21,Rfx y dxdy 24026kdxxy dy 24026kdxxy dy 2023kx dx 8k 故故1 8.k 2概率论概率论 xyo13242 1,3P XY(2).13,dxfx y dy 1302168

24、dxxy dy101782x dx 38 概率论概率论 故故 2,121,353410,35220,0)(xxxxxF概率论概率论 解：解：2 XP2)2(XPF)2(F 2ln 30 XP)0()3(FF 1)(xfX)(xFX 1,1,0,xex 其其它它.概率论概率论 21000,1000()0,xf xx 其其它它解解：15001500 X小时小时寿命大于寿命大于1500 XP 1500)(dxxf 150021000dxx 15001000 x32 概率论概率论 小小时时的的管管子子数数只只中中寿寿命命大大于于表表示示15005Y 32,5 bY2 YP21 YP101 YPYP24

25、3232 概率论概率论 解：解：,0时时当当 x xdttfxF)()(0,10时时当当 x xdttfxF)()(xtdt022x,21时时当当 x xdttfxF)()(10tdt xdtt1)2(1222 xx,2时时当当 x1)(xF0 x12x x x x 概率论概率论 故故 2,121,12210,20,0)(22xxxxxxxxF概率论概率论 解：解：52)1(XP23523232 XP 5.0)1(15.0)1(5328.0 104 XP231023234 XP 5.3)5.3(1)5.3(2 9996.0 2 XP233231222XP 5.2)5.0(1 5.0)5.2(1 6977.0)2(由对称性得：由对称性得：3 C 30,12XN 概率论概率论