《重积分的》课件.ppt

1、一、直角坐标系中的累次积分法二、极坐标系中的累次积分法 第二节第二节 二重积分的计算方法二重积分的计算方法第十章重 积 分设 A(x)表示过点 x 任取子区间 x,x+dx a,b.且垂直 x 轴的平面 与曲顶柱体相交的截面的面积，1.设积分区域 D 可用不等式组表示为 bxaxyx ),()(21 如图所示，选 x 为积分变量，x a,b，一、直角坐标系中的累次积分法 则曲顶柱体体积 V 的微元 dV 为 baxxAV.d)(,d)(dxxAV 式中面积函数 A(x)是一个以区间 1(x),2(x)为底边、以曲线 z=f(x,y)(x 是固定的)为曲边的曲边梯形，其面积可表示为 )()(21

2、.d),()(xxyyxfxA 将 A(x)代入上式，则曲顶柱体的体积.dd),()()(21 baxxxyyxfV 于是，二重积分 baxxDxyyxfyxf.dd),(d),()()(21 公式称为先积 y(也称内积分对 y)后积 x(也称外积分对 x)的累次积分公式.它通常也可写成 baxxDyyxfxyxf)()(21d),(dd),(这结果也适用于一般情形.2.设积分区域 D 可用不等式组表示为如右图，则 Ddcyyxyxfyyxf)()(21.d),(dd),(，dycyxy )()(21 首先在 xy 平面上画出所围成的区域 D.若是先积 y 后积 x 时，得投影区间a,b，则把

3、区域 D 投影到 x 轴上，在 a,b 上任意确定一个 x，这时 a 就是对 x 积分(外积分)的下限，b 就是对 x 积分(外积分)的上限；过 x 画一条与 y 轴平行的直线，假定它与区域 D 的边界曲线(x=a,x=b 可以除外)的交点总是不超过两个(称这种区域为凸域).把二重积分化为累次积分，其上下限的定法可用如下直观方法确定：且与边界曲线交点纵坐标分别为 y=1(x)和 y=2(x)，如果 2(x)1(x)，那么 1(x)就对 y 积分(内积分)的下限，2(x)就是对 y 积分(内积分)的上限.类似地，先积 x(内积分)后积 y(外积分)时的定限方法如右图所示.如果区域不属于凸域，把

4、D 分成若干个小区域，使每个小区域都属于凸域，那么 D 上的二重积分就是这些小区域上的二重积分的和.例 1试将二重积分 Dyxf化化为为 d),(两种不同次序的累次积分，其中 D 是由 x=a,x=b,y=c,y=d(a b,c d)所围成的矩形区域.解画出积分区域 D 如图.如果先积 y 后积 x，则有 Dbadcyyxfxyxf.d),(dd),(如果先积 x 后积 y，则可得 Ddcbaxyxfyyxf.d),(dd),(例 2 试将 化为两种不同次序的累次积分，Dyxf d),(其中 D 是由 y=x，y=2-x 和 x 轴所围成的区域.解 首先画出积分区域 D 如图，并求出边界曲线的

5、交点(1,1)、(0,0)及(2,0).Dyxf d),(则则 1d),(Dyxf 2120,d),(dxyyxfx 2d),(Dyxf 100d),(dxyyxfx如果先积 x 后积 y，则为.d),(dd),(102 Dyyxyxfyyxf 其中 D 是抛物线 y2=x 与直线 y=x-2 所围成的区域.例 3计算二重积分,d Dxy 解 画出积分区域 D 如图，并求出边界曲线的交点(1,-1)及(4,2)，由图可见，先积 x(内积分)后积 y(外积分)较为简便.Dxy d 2212ddyyxxyy.855 由定限示意图有 2122d22yyxyy=2152d)2(21yyyy216234

6、6234421 yyyy例 4计算,de2 Dy 其中 D 是由直线 y=x,y=1 与 y 轴所围成.解 画出积分区域 D，作定限示意图，并求出边界曲线的交点(1,1),(0,0)及(0,1)，则x=yDOx1y(1,1)Dy de2 101022e21deyyyy).e1(211 100ded2yyxy 100de2yxyy即 x=常数和 y=常数，二、极坐标系中的累次积分法 在直角坐标系中，用平行于 x 轴和平行于 y 轴的两族直线，把区域 D 分割成许多子域.这些子域除了靠边界曲线的一些子域外，绝大多数都是矩形域(如图).(当分割更细时，这些不规则子域的面积之和趋向于 0.所以不必考虑

7、).于是，图中阴影所示的小矩形 i 的面积为.kjiyx 因此，在直角坐标系中的面积元素可记为.dddyx 而二重积分可记为.dd),(d),(DDyxyxfyxf 和 r=常数的两族曲线，在极坐标系中，我们可用 =常数 和另一族圆心在极点的同心圆，即一族从极点发出的射线 这些子域除了靠边界曲线的一些子域外，把 D 分割成许多子域，绝大多数都是扇形域(如图).(当分割更细时，这些不规则子域的面积之和趋向于 0.所以不必考虑).于是图中所示的子域的面积近似等于 以 rd为长，dr为宽的矩形面积，因此在极坐标系中的面积元素可记为,ddd rr 于是二重积分的极坐标形式为 DDrrrrfyxf.dd

8、)sin ,cos(d),(sincosryrx再通过变换 且边界方程为 r=r()，如图，实际计算中，分两种情形来考虑:1)如果原点在积分域 D 内，则二重积分的累次积分为 Drrrrf dd)sin ,cos(,dd)sin ,cos(20)(0 rrrrrf或写为 dd)sin ,cos(rrrrfD 20)(0.d)sin ,cos(d rrrrrfr=r()xO ,分别是对 积分(外积分)的下限和上限，则从原点作两条射线 =和 =()2)如果坐标原点不在积分域 D 内部，(如图)夹紧域 D.在 与 之间作任一条射线与积分域 D 的边界交两点，它们的极径分别为 r=r1()，r=r2(

9、)，假定 r1()r2()，那么 r1()与 r2()分别是对 r 积分(内积分)下限与上限，即 Drryf dd)sin ,cos(.d)sin ,cos(d)()(21 rrrrrrf例 5把 Dyxf d),(化为极坐标系中的累次积分，其中 D 是由圆 x2+y2=2Ry 所围成的区域.并把 D 的边界曲线 x 2+y2=2Ry 化为极坐标方程，作射线 =0 与 =夹紧域 D.解在极坐标系中画出区域 D 如图，即为r=2Rsin与域边界交两点 r1=0，r2=2Rsin，在 0,中任作射线Dr=2RsinOx得 Dyxf d),(.d)sin ,cos(d0sin20rrrrfR .dd

10、)sin ,cos(rrrrfD 并把 D 的边界曲线化为极坐标方程，即为例 6在极坐标系中，计算二重积分，Dyx d)(22 D 是由 x2+y2=R12 和 x2+y2=R22(R1 R2)所围成的环形区域在第一象限的部分.解在极坐标系中画出区域 D，如图，在 0 与 之间任作一射线与域 D 的边界交两点 r=R1 和 r=R2，2 d)(22 Dyx),(8dd414220321RRrrRR 如果积分域 D 是整个环形，显然有 Drrr d2r=R1,r=R2,作两条射线 =0 与 =2 夹紧积分域 D.所以有).(21424RR DDrrryx ddd)(222 20321ddRRrr 21212d243RRRRrrr 感谢下感谢下载载