《数列求和的四种方法》课件.ppt
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- 数列求和的四种方法 数列 求和 方法 课件
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1、常见数列求和的 四种方法.2数列求和介绍求一个数列的前 n 项和的几种方法:1、运 用 公 式 法2、错 位 相 减 法3、裂 项 相 消 法4、通 项 分 析 法.3数列求和一、运用公式法 运用公式法主要是使用已经证明,并承认其在解决其他问题时可以使用的公式来进行数列求和。如:等差数列的求和公式:dnaSnnaannn2)1(12)(1等比数列的求和公式:nS1naqqan1)1(1)1(q)1(q还有一些常用公式:6)12)(1(2222321nnnn请看下面例子:.4数例1 求数列 的前n项和,32116181412197531分析:由这个数列的前五项可看出该数列是由一个首项为1、公差为
2、2的等差数列与一个首项为 、公比为 的等比数列的和数列。所以它的前n项和可看作一个等差数列的前 n项和与一个等比数列的前n项和的和。212111414133818155解:)12(53121814121nnSnnn21814121)12(5312)121(nn2121211)1(n2nn211 归纳出:奇数列的前n项和2)12531nn(2121列求和1.5二、错 位 相 减 法 错位相减法在等比数列求前 n项和时用过;它主要用于由一个等差数列与一个等比数列的积数列。求法步骤如下:1、在 的两边同时乘于公比qnnaaaS212、两式相减;左边为 ,右边q的同次式相减nSq)1(3、右边去掉最后
3、一项(有时还得去掉第一项)剩下的 各项组成等比数列,可用公式求和。看以下例子数列求和.6例2 求数列 的前n项和 nn212167854321,分析:该数列可看作等差数列 等比数列 的积数列12 nn21这里等比数列的公比 q=21解:nnnS212272523214321432212232252321nnnnnS21两式相减:1432212222222222121)1(nnnnS所以:nS212121121211)1n(1212nn运算整理得:nnnS2323数列求和2.7例3 设 求数列 的前n项和 0annaaaaa,4,3,2,432nS分析:这个数列的每一项都含有a,而a等于1或不等
4、于1,对数列求和有本质上的不同,所以解题时需讨论进行 解:1a若nSn3212)1(nn1a若nnnaaaaS3232aqaaaann的积数列,且等比数列与,差数列此时,该数列可看作等,32132两边同乘a:naS132)1(2nnnaanaa两式相减:132)1(nnnnaaaaaSa所以:nSa)1(aaan1)1(1nna运算并整理得:anaaaannnS11)1(1212)1()1(aaannann数列求和2.8三、裂 项 相 消 法 顾名思义,“裂项相消法”就是把数列的项拆成几项,然后,前后交叉相消为0达到求和目的的一种求和方法。求 法 步 骤1、先分析数列的项的结构,把通项式“裂”
5、成几项。(注意:裂开后的通项式当n=k和n=k+d时有相消为0的情况出现才行)2、解题时;对裂开后的通项式令n取1,2,3,,n然后相加得nS3、把和式中每一对相消为0的式子除去,整理剩下的 式子即为和式。请 看 下 面 例 子数列求和.9例4 求数列 的前n 项和。)13)(23(11071741411nn,分析:该数列的特征是:分子都是1,分母是一个以1为首项,以3为公差的等差数列的相邻两项的乘积。只要分子变为公差3,就可以裂项了。)13)(23(1nnna)13)(23(331nn)13)(23()23()13(31nnnn)13123131nn(解:)13)(23(1107174141
6、1nnnS)13)(23(3107374341331nn)13)(23()23()13(1077107447411431nnnn)1(1312311017171414131nn)1(13131n13 nn数列求和3.10例5 求数列 的前n项和)12)(12()2(7565343122222nnn,nS分析:该数列的分子是偶数的平方,分母是奇数列相邻两项的乘积;从例4的经验看:该数列求和使用“裂项相消法”的可能性较大,那就看分子能否化为常数。注意到该数列的通项公式的特征:分子、分母同次且没有一次项;所以使用处理分式函数的常用手段:“分离常数法”即可把分子化为常数。变化如下:)12)(12(1)
7、12)(12(11)2()12)(12()2(122nnnnnnnnna)12)(12()12()12(21)12)(12(22111nnnnnn)(112112121nn数列求和3.11)(112112121nnna由解:)12)(12()2(7565343122222nnnnS)(1)1112112121513121311121nn()(共 n 项)()()1(12112151313121nnn)1(12121nn12)1(2nnn数列求和3.12例6 已知 求 S!33!22!1nnS分析:由阶乘的性质可知:)!1()1(!kkk所以:!)!1(!kkkk于是该和式求值可用“裂项相消法”
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