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类型《数列求和的四种方法》课件.ppt

  • 上传人(卖家):晟晟文业
  • 文档编号:4768428
  • 上传时间:2023-01-08
  • 格式:PPT
  • 页数:20
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    关 键  词:
    数列求和的四种方法 数列 求和 方法 课件
    资源描述:

    1、常见数列求和的 四种方法.2数列求和介绍求一个数列的前 n 项和的几种方法:1、运 用 公 式 法2、错 位 相 减 法3、裂 项 相 消 法4、通 项 分 析 法.3数列求和一、运用公式法 运用公式法主要是使用已经证明,并承认其在解决其他问题时可以使用的公式来进行数列求和。如:等差数列的求和公式:dnaSnnaannn2)1(12)(1等比数列的求和公式:nS1naqqan1)1(1)1(q)1(q还有一些常用公式:6)12)(1(2222321nnnn请看下面例子:.4数例1 求数列 的前n项和,32116181412197531分析:由这个数列的前五项可看出该数列是由一个首项为1、公差为

    2、2的等差数列与一个首项为 、公比为 的等比数列的和数列。所以它的前n项和可看作一个等差数列的前 n项和与一个等比数列的前n项和的和。212111414133818155解:)12(53121814121nnSnnn21814121)12(5312)121(nn2121211)1(n2nn211 归纳出:奇数列的前n项和2)12531nn(2121列求和1.5二、错 位 相 减 法 错位相减法在等比数列求前 n项和时用过;它主要用于由一个等差数列与一个等比数列的积数列。求法步骤如下:1、在 的两边同时乘于公比qnnaaaS212、两式相减;左边为 ,右边q的同次式相减nSq)1(3、右边去掉最后

    3、一项(有时还得去掉第一项)剩下的 各项组成等比数列,可用公式求和。看以下例子数列求和.6例2 求数列 的前n项和 nn212167854321,分析:该数列可看作等差数列 等比数列 的积数列12 nn21这里等比数列的公比 q=21解:nnnS212272523214321432212232252321nnnnnS21两式相减:1432212222222222121)1(nnnnS所以:nS212121121211)1n(1212nn运算整理得:nnnS2323数列求和2.7例3 设 求数列 的前n项和 0annaaaaa,4,3,2,432nS分析:这个数列的每一项都含有a,而a等于1或不等

    4、于1,对数列求和有本质上的不同,所以解题时需讨论进行 解:1a若nSn3212)1(nn1a若nnnaaaaS3232aqaaaann的积数列,且等比数列与,差数列此时,该数列可看作等,32132两边同乘a:naS132)1(2nnnaanaa两式相减:132)1(nnnnaaaaaSa所以:nSa)1(aaan1)1(1nna运算并整理得:anaaaannnS11)1(1212)1()1(aaannann数列求和2.8三、裂 项 相 消 法 顾名思义,“裂项相消法”就是把数列的项拆成几项,然后,前后交叉相消为0达到求和目的的一种求和方法。求 法 步 骤1、先分析数列的项的结构,把通项式“裂”

    5、成几项。(注意:裂开后的通项式当n=k和n=k+d时有相消为0的情况出现才行)2、解题时;对裂开后的通项式令n取1,2,3,,n然后相加得nS3、把和式中每一对相消为0的式子除去,整理剩下的 式子即为和式。请 看 下 面 例 子数列求和.9例4 求数列 的前n 项和。)13)(23(11071741411nn,分析:该数列的特征是:分子都是1,分母是一个以1为首项,以3为公差的等差数列的相邻两项的乘积。只要分子变为公差3,就可以裂项了。)13)(23(1nnna)13)(23(331nn)13)(23()23()13(31nnnn)13123131nn(解:)13)(23(1107174141

    6、1nnnS)13)(23(3107374341331nn)13)(23()23()13(1077107447411431nnnn)1(1312311017171414131nn)1(13131n13 nn数列求和3.10例5 求数列 的前n项和)12)(12()2(7565343122222nnn,nS分析:该数列的分子是偶数的平方,分母是奇数列相邻两项的乘积;从例4的经验看:该数列求和使用“裂项相消法”的可能性较大,那就看分子能否化为常数。注意到该数列的通项公式的特征:分子、分母同次且没有一次项;所以使用处理分式函数的常用手段:“分离常数法”即可把分子化为常数。变化如下:)12)(12(1)

    7、12)(12(11)2()12)(12()2(122nnnnnnnnna)12)(12()12()12(21)12)(12(22111nnnnnn)(112112121nn数列求和3.11)(112112121nnna由解:)12)(12()2(7565343122222nnnnS)(1)1112112121513121311121nn()(共 n 项)()()1(12112151313121nnn)1(12121nn12)1(2nnn数列求和3.12例6 已知 求 S!33!22!1nnS分析:由阶乘的性质可知:)!1()1(!kkk所以:!)!1(!kkkk于是该和式求值可用“裂项相消法”

    8、!)!1()!3!4()!2!3()!1!2(nn!33!22!1nnS解:1)!1(n数 列求和3.13四、通 项 分 析 法 通项分析法就是根据前面学过的运用公式法、错位相减法、裂项相消法为基础,对数列的通项公式进行分析,从而决定使用那种方法求和。求 法 步 骤1、确定所求和数列的通项公式,必要时,注意使用由已 知数列的前几项,求这数列的一个通项公式的方法2、分析通项公式时,在确定首项、末项、及项数的同时 还要分析清楚是那些数列的和、差、积、商数列。请 看 下 面 例 子数列求和.14例7 求数列 的前n项和1222221221211n,分析:由数列的结构来分析,该数列的第k项应该是:12

    9、222121)21(112kkkka通过分析可知:该数列是以 为首项,以 为末项,共有n项的数列。12112n从通项公式的结构来分析,该数列是一个以2为首项,以2为公比的等比数列与一个常数列的差数列。所以它的前n项和是一个等比数列的前n项和与一个常数为1的常数列的前 n项和的差。通过这样分析,确定解题方向就方便了解:)12()12()12(21nnS)111()222(2nnn21)21(2221nn数列求和4.15例8 求和 1)2(3)1(21nnnnS分析:这个数列是数列1,2,3.n与它的倒序数列的积数列,共有n项,在这里把n看成常数来分析它的通项就容易了。kknkknkak2)1(k

    10、取从1到n的自然数)所以,该数列可以看作通项为 的三个数列的差、和数列kknk,2解:naaaaS321)21()21()21(222nnnnnnn2)1(6)12)(1(nnn2)1(nn)2)(1(61nnn数列求和4.16例9 求数列 前n项和,165434322aaaaaaaaa)0(aSn分析:由 所求数列的每一项都是一个等比数列的和,其第k项 2211kkkkkaaaaa0akaak 时,当1011kaa时,当)(为偶数为奇数)kk时,当1|aaaakkka1121通项公式理解清楚后,现在可以就以上三种情况考虑求和了时当1a该数列是自然数列,求和容易。时,当1a2nnSn为偶数时n

    11、为奇数时21nnS1|a当)()()()1(12152311nnanaaaaaaaS,0,1,0,1,0,1此时的和式,转化为求数列的通项公式解:时;当1akak)1(21nnSn时;当1a01ka)()(为偶数为奇数nn2)1(121nSnn时;当1|a)(12111kkakaaa)()()()1(12152311nnanaaaaaaaS)()1(12531211nnaaaaaaaa1)1(11112aaaaaann)1)(1(1)1()1(12nnaaaa数列求和4.17)2)(1(54343232110nnnSn求和例分析:)2)(1(kkkak326kC(k 取1,2,3、n)所以:3

    12、23534336666nnCCCCS)(632353433nCCCC1114433knknknCCCCC由436nC!4)1)(2)(3(6nnnn)3)(2)(1(41nnnn44C45C46C数列求和4.18)2)(1(54343232110nnnSn求和例分析:)2)(1(kkkak)2)(1()1()3)(2)(1(41kkkkkkkk所以:)43215432()4321(4141oSn)2)(1()1()3)(2)(1(41kkkkkkKk)3)(2)(1(41nnnn每一项由三个连续自然数的积组成,前后两项有两个因子相同,很自然联想使用裂项相消求和。对例10的两种解法进行归纳可以清

    13、楚看到平时练习时有意识的经验积累,在关键时产生联想是很有帮助的。数列求和4.19例11 设等差数列 的前n项为 ,且 ,若 ,求数列 的前n项和 nanS)()(221NnSnannnnSb)1(nbnT分析:由已知该数列是等差数列且已知 ,所以必能求出通项和前n项和 这样确定 就没问题了。221)(nanSnSnbnnnTbS,现在分析怎样求1、111asn时,11221,)(aaSnan解出的方程就构成关于2、nnaaannaannnSaaSannn再求出解出通项的方程所以构成关于是等差数列由,)(,2212)(2)(113、nnnnnnTbSSb再研究就解决了求出由.,)1(现在来边解题

    14、边研究解:22111)(11asan时,当11a解得:2)1(nannnSa为等差数列,2212)1(221)(,)(nnnaananS得代入121naann或解得:21,1211nSnaaannn矛盾,与但2)1()1(nSbnnnn于是,22222)1(4321nTnn数列求和4.2022222)1(4321nTnn分析:0;0)1(2nnnnTnTnnb为奇数时,为偶数时,可知:由通项公式所以:求和时,先分n为奇,偶数进行讨论,后考虑并合。)(2Nmmnn为偶数时,设当)12()2()34()12(222222mmTTmn)14(73m)12(2)143(mmmm2nm 2)1(nn),2,1,0(12取为奇数时,设当mmnn12212mmmnbTTT2)12()12(mmm21nm2)1(221nnnnn2)1()1(nnTnn所以:数列求和4

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