《定积分的应用》课件.ppt

1、 5.5.5.5.定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 5.5.5.5.定积分在经济上的应用定积分在经济上的应用 5.5.5.5.定积分的微元法定积分的微元法1.复习引入：求曲边梯形面积的四个步骤复习引入：求曲边梯形面积的四个步骤ix2x1x1ixbaixi1(1,2,)iiixxxin(1)(1)分割分割把区间把区间 a a,b b 分成分成n n个子区间个子区间(2)(2)近似代替近似代替()(1,2,)iiiAfxin(3)(3)近似求和近似求和)(1iniifxA(4)(4)取极限取极限01lim()niiiAfx),2,1(,1nixxii()ifbadxxf)(22.2.将以上

2、四个步骤概括为两步将以上四个步骤概括为两步：,1dxxxba上任取一个子区间在区间为子区间的长度，dxdxxfAi)(积的近似值，即作为对应曲边梯形的面以乘积dxxf)(取极限2dxxfA)(lim0badxxf)(ba)(xfy xdxxdxxf)(dxxfdAdxxf)()(为微分元素，记作称33.3.求曲边梯形面积的方法与步骤推广，求曲边梯形面积的方法与步骤推广，得定积分的微元法：得定积分的微元法：,1上任取一个子区间在区间dxxxbadxxfdQ)(得微分元素 上的定积分为在,2baQbabadxxfdQQ)(可以用定积分表示的量，在区间可以用定积分表示的量，在区间a,ba,b上的定积

3、分上的定积分按以下方法得到：按以下方法得到：这种方法称为定积分的微元法：这种方法称为定积分的微元法：44.4.用用微元法微元法分析问题的一般步骤分析问题的一般步骤:（1 1）定变量）定变量根据问题的具体情况，选取一个积分变量，根据问题的具体情况，选取一个积分变量，并确定变量的变化范围，如取并确定变量的变化范围，如取 为积分变量，的变化区间为积分变量，的变化区间为为 ；,a bx,a b,x xdxdxxfdQ)(babadxxfdQQ)(（3 3）求积分）求积分将上述微元将上述微元“积积”起来，得到所求量起来，得到所求量（2 2）取微元）取微元在区间在区间 内任取一个子区间内任取一个子区间 得

4、得到微分元素到微分元素 ；5xy0()yf xabAxba0y()yf xxba0y()yf xc当当 时时 ()0f x()baAf x dx当当 时时 ()0f x 当当 在在区间区间上有正上有正,有负时有负时 ()f x,a b()baAf x dx()()cbacAf x dxf x dxAA6.用定积分的微元法求由曲线用定积分的微元法求由曲线)(),(xgyxfy,bxax及直线)()(,xgxfba上，且在所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积。如图所示如图所示：dxx x)(xfy ba)(xgy)()(xgxf,1任取一个子区间上在区间dxxxbadxxgxfdA)()(

5、得微分元素dxbabadxxgxfdAA)()()2(7()()baAf xg x dx当当 时时 ()()f xg x(,)xa b有时有时有时有时 ()()f xg x()()f xg x()()caAf xg x dx()()bcg xf x dxAAAxba0y()f xc()g xxy0()f xab()g xxba0y()f x()g x8例例.求抛物线求抛物线 和和 轴所围成的平轴所围成的平面图形的面积面图形的面积 21yx x12311114(1)()33Ax dxxx解：作出图形解：作出图形例例.求抛物线求抛物线 和直线和直线 所围成所围成的平面图形的面积的平面图形的面积 2

6、yx2yx 解：作出图形解：作出图形223 211133Ax dxx22yxyx 1,2xx解方程组解方程组 得得 9例例 求曲线求曲线2xy xy 与所围成的图形面积所围成的图形面积xyxy2dxxxS102)(31.解解 如图所示，如图所示，解方程组解方程组.1,0 xx得10例例4 4求由曲线求由曲线 和直线和直线 所围所围成的平面图形的面积成的平面图形的面积 xye1,1,1xxy0110(1)(1)xxAe dxedx解：作出图形解：作出图形01110(1)(1)2xxeee e 11例例5 5 求椭圆求椭圆的面积。12222byax解解 根据椭圆的对称性和定积分的几何意义，有根据椭

7、圆的对称性和定积分的几何意义，有aydxS0422xaaby因为dxxaabSa2204所以ab0aa12.用定积分的微元法求由曲线用定积分的微元法求由曲线)(),(yxyx,dycy与直线上，且在,dc)()(yy所围成的图形所围成的图形dyyyAdc)()(0cd)(yx yx,1任取一个子区间上在区间dyyydcydyy)()(yydydyyydA)()(得微分元素为积分变量以y13(3)(3)由连续曲线与直线由连续曲线与直线 所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积（我们仅讨论（我们仅讨论 的情况的情况)()xy,yc().dcAy dx,0yd x()0y()xyx0ydcA()

8、xyx0ydc()xyA(4)(4)由连续曲线由连续曲线 与直线与直线所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积（我们仅讨论（我们仅讨论 的情况的情况 )(),()xy xy,yc yd()()yy()()dcAdxyy14xy22例例5 5 求曲线求曲线4 xy与直线所围成的图形面积。所围成的图形面积。422xyxy182)4(422dyyyS.解解 如图所示，如图所示，解方程组解方程组.4yy，得积所围成的平面图形的面直线例求由曲线3,1yxyxyyx 3yx11dyyyA31)1(15课堂小结课堂小结,1上任取一个子区间在区间dxxxbadxxfdQ)(得微分元素 上的定积分为在,2b

9、aQbabadxxfdQQ)(可以用定积分表示的量，在区间可以用定积分表示的量，在区间a,ba,b上的定积分上的定积分按以下方法得到：按以下方法得到：1.1.定积分的微元法定积分的微元法.由曲线由曲线)(),(xgyxfy,bxax及直线所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积为：badxxgxfA)()()2(16.由曲线由曲线)(),(yxyx,dycy与直线所围成的图形：所围成的图形：dyyyAdc)()(为积分变量以y0cd)(yx yx17*2.旋转体的体积旋转体的体积设设 是是 上的连续函数，由曲线上的连续函数，由曲线 与直线与直线 ，围成的曲边梯形绕围成的曲边梯形绕 轴旋转一

10、周，得到一个旋转体，怎样求这个旋轴旋转一周，得到一个旋转体，怎样求这个旋转体的体积？转体的体积？xax()f x,a b()yf x0yxb?复习引入：复习引入：18复习引入：复习引入：,1上任取一个子区间在区间dxxxbadxxfdQ)(得微分元素 上的定积分为在,2baQbabadxxfdQQ)(可以用定积分表示的量，在区间可以用定积分表示的量，在区间a,ba,b上的定积分上的定积分按以下方法得到：按以下方法得到：1.1.定积分的微元法定积分的微元法.由曲线由曲线)(),(xgyxfy,bxax及直线所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积为：badxxgxfA)()()2(19.由曲

11、线由曲线)(),(yxyx,dycy与直线所围成的图形：所围成的图形：dyyyAdc)()(为积分变量以y0cd)(yx yx20ab)(xfy xdxx)(xfdx用微元法来求旋转体的体积用微元法来求旋转体的体积 :2()dVf xdx,x x dx,a b在在 上任取一小区间上任取一小区间 得微分元素：得微分元素：dxxfdVVbaba2)(21(2)由曲线由曲线 与直线与直线所围成的曲边梯形绕所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而得到的旋转轴旋转一周而得到的旋转体的体积为体的体积为()xyy,yc yd(),0cd x2()bxaVf xdx2()dycVydy(1)由连续曲线由连续曲线)(x

12、fy bxax,及直线轴所围成的曲边梯形及x绕绕x轴旋转所得旋转体的体积轴旋转所得旋转体的体积22例例1 121.3Vr h证明：底面半径为证明：底面半径为r，高为，高为h的圆锥体的体的圆锥体的体积为积为 解：以圆锥的顶点为坐标原解：以圆锥的顶点为坐标原点，以圆锥的高为点，以圆锥的高为 轴，建立直角轴，建立直角坐标系，坐标系，xryxh直线直线OAOA的方程为的方程为x则圆锥可以看成是由直角三角则圆锥可以看成是由直角三角形形ABO绕绕 轴旋转一周而得到的旋轴旋转一周而得到的旋转体转体dxxhrVh02hr2312()bxaVf xdx23轴和轴和x例例2 求椭圆求椭圆12222byax分别绕分

13、别绕y轴旋转所得椭球体的体积。轴旋转所得椭球体的体积。x解：绕轴旋转时解：绕轴旋转时,得得:dxyvaa2dyxvbb2特别地特别地,当当ba 时时,得球体体积得球体体积334av234abdxaxbaa)1(222ba234y绕轴旋转时绕轴旋转时,得得:dybyabb)1(2220aabb24例例3 3求由抛物线求由抛物线 与直线与直线 所围成的所围成的封闭图形绕封闭图形绕 轴旋转一周所得旋转体轴旋转一周所得旋转体的体积的体积.2yx1yy解：如图所示，解：如图所示，120()Vydy12 10022ydyy2()dycVydy 25222 yx例例4 求曲线求曲线2xy 和所围成的图形绕所

14、围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积轴旋转而成的旋转体的体积.解解 如图所示如图所示.2222xyyxdxxv112)2(dxx1122)(解方程组解方程组1,1xx得154426么么么么方面 Sds绝对是假的体积。轴旋转所得的旋转体的绕求圆例yyx9552233295yx295yxdyyV2332195dyyV2332295dyyyV332222959528积轴旋转所得旋转体的体绕所围的平面图形直线例求由曲线xxyxxy,4203xy 24xxydxxdxxxV3022302)4(29课堂小结：课堂小结：,1上任取一个子区间在区间dxxxbadxxfdQ)(得微分元素 上的定积分为在,2b

15、aQbabadxxfdQQ)(可以用定积分表示的量，在区间可以用定积分表示的量，在区间a,ba,b上的定积分上的定积分按以下方法得到：按以下方法得到：1.1.定积分的微元法定积分的微元法303.由曲线由曲线 与直线与直线所围成的曲边梯形绕所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而得到的旋转轴旋转一周而得到的旋转体的体积为体的体积为()xyy,yc yd(),0cd x2()bxaVf xdx2()dycVydy.由连续曲线由连续曲线)(xfy bxax,及直线轴所围成的曲边梯形及x绕绕x轴旋转所得旋转体的体积轴旋转所得旋转体的体积31一一.变力沿直线作功变力沿直线作功 9 9 定积分的物理应用定积分的物

16、理应用复习引入复习引入:定积分的微元法定积分的微元法.,1上任取一个子区间在区间dxxxbadxxfdQ)(得微分元素 上的定积分为在,2baQbabadxxfdQQ)(1.1.若物体在常力若物体在常力F F作用下作用下,沿沿F F的方向移动的方向移动 s s 距离距离,则力对物体所作的功为：则力对物体所作的功为：W=FsW=Fs32 得得dW=F(x)dxdW=F(x)dx则则badxxFW)(.设物体所受到的力是位置设物体所受到的力是位置x x的函数的函数,取取x x为积分变量为积分变量,变化区间为变化区间为 a,ba,b.由由x=a移到移到x=b,求物体在变力求物体在变力F(x)作用下作

17、用下,沿力的方向沿力的方向力对物体所作的功力对物体所作的功.用定积分的微元法来解决这一问题用定积分的微元法来解决这一问题:ba,上每一点所受的力体在区间处所受的力近似代替物以物体在点dxxxx,(1)(1)任取子区间任取子区间 x,x+dxx,x+dx abxdxx)(xF33 例例1 1 设设9.89.8牛顿的力能使弹簧伸长牛顿的力能使弹簧伸长1 1厘米厘米,从而从而badxxFW)(焦耳焦耳)求伸长求伸长1010厘米需作多少功厘米需作多少功?所以所以k k=980.=980.F F=9.8=9.8牛顿牛顿,当当x x=0.01=0.01米时米时,解解:F=980 x.F=980 x.Fkx

18、1.001.0029.4|490980 xxdx34 例例2 2 一个圆台形的水池内盛满了水一个圆台形的水池内盛满了水,水池高为水池高为5 5米米,上底半径上底半径为为3 3米米,下底半径为下底半径为2 2米米,求将水池内的水全部抽出需作多少功求将水池内的水全部抽出需作多少功?解解:建立如图所示的直角坐标系建立如图所示的直角坐标系,)/8.9,/1000(3kgNgmkg3,0 xyo5AB2,5,5,0dxxx上作取一个子区间在区间xdxx y.,2所对应的部分近似代替圆柱体宽为以长为dxxxdxydvdxyg2dGdxy2dWxdxyg2为的水抽出水池所作的功将重dxyg2xdxygW25

19、0,51ABK351:xyABxdxxgW502)351(35 解解 将水桶从井里提上来所作的功为将水桶从井里提上来所作的功为)(1960208.9101JW 下面计算下面计算将绳子从井里提上来所作的功将绳子从井里提上来所作的功,则所作的总功为则所作的总功为21WWW 例例3 3 一桶水重一桶水重1010kgkg,由一条线密度由一条线密度0.10.1kg/mkg/m的绳子系着，的绳子系着，将它从将它从2020mm深的井里提上来需作多少功深的井里提上来需作多少功?米）（水桶高为1o20yx1919,0,dxxx任取xdxx所对应的绳子的重量为区间dxxx,mgdG 作的功为：对应的绳子提出井口所

20、将dxxx,xdxdW8.91.0219028.91.0 xdxW9.81.0dx361.1.设有一面积为设有一面积为S S的平板的平板,水平放置在液体下深度水平放置在液体下深度x x处处,则平则平板一侧所受压力为板一侧所受压力为:则平板一侧所受压力须用微元法解决则平板一侧所受压力须用微元法解决.2.2.如果平板垂直放置在液体下如果平板垂直放置在液体下,二二.液体的压力液体的压力gxPSF37例例4.4.有一个水平放置的圆形管道，直径为有一个水平放置的圆形管道，直径为2 2米，有一道闸门，米，有一道闸门，当水半满时，求闸门受到的力。当水半满时，求闸门受到的力。解：建立如图所示的直角坐标系。解：

21、建立如图所示的直角坐标系。xyo11,0,dxxx任取xdxx上每一点处的压强，处的压强近似代替以水深dxxxx,xgdPy所对应的部分。的矩形近似代替宽为以长为dxxxdxy,2dF,122 yx21xydxxxgF10212xgdxy2上每一点处的压强，处的压强近似代替）以水深（dxxxx,1上作了两个近似代替：在dxxx,所对应部分的面积。的矩形面积近似代替宽为）以长为（dxxxdxy,2238例例5 5 半径为半径为R R的圆柱形油桶内有半桶油的圆柱形油桶内有半桶油,求一个端面所受的压力求一个端面所受的压力.解解 ）（油的密度为yoxxdxxxgdPdFxgdxy2yRdxxRxgF0

22、22222xRyRdxxx,0,任取上每一点处的压强，处的压强近似代替以水深dxxxx,所对应的部分。的矩形近似代替宽为以长为dxxxdxy,239例例6 6 求如图的等腰梯形水闸门一侧所受的压力求如图的等腰梯形水闸门一侧所受的压力.解解 2,0,dxxx任取2o2y(2,1)xxdxxxgdPxgdxydF2y22xydxxxgF2022240 例例7 7 设有质量为设有质量为MM,长度为长度为L L的均匀细杆的均匀细杆,解：任意解：任意 x,x+dxx,x+dx 22)()(axLMdxmkaxdxLMmkdFdxLMoaxL另有一质量为另有一质量为mm的质点位于同一直线上的质点位于同一直

23、线上,且且到杆的近段距离为到杆的近段距离为a a,求杆对质点的引力求杆对质点的引力.三三.引力引力由万有引力定律由万有引力定律,两质点之间的引力为两质点之间的引力为221rmmkF 若要计算细棒对质点的引力若要计算细棒对质点的引力,须用微元法解决须用微元法解决.0 Ldxxx区间区间 x,x+dxx,x+dx 对应的细杆质量为对应的细杆质量为41 则引力为则引力为dxaxLkmMFL20)(1四四.连续函数的平均值连续函数的平均值n n个数的平均值为个数的平均值为nynyyyyniin 121而连续函数而连续函数f(x)f(x)在区间在区间 a,ba,b 上的平均值上的平均值,需要用定积分计算

24、需要用定积分计算.)(|)11(0LaakmMxLkmML42 将将a,bna,bn等分等分,在每个小区间上依次任取在每个小区间上依次任取,21n 则则 nfnfffyyniinn 121)()()()(由定积分定义可知由定积分定义可知nfyniin 1)(limabxfniiin 1)(lim)()(limabnabfniin 1 badxxfab)(143例例1 1 求从求从0 0秒到秒到T T秒这段时间内自由落体的平均速度秒这段时间内自由落体的平均速度.解解 .2|201002gTTgtgtdtTvTT注意注意:积分中值定理中的积分中值定理中的f(f()就是就是f(x)f(x)在区间在区

25、间a,ba,b上的平均值上的平均值.44定积分在经济中的应用归纳起来一般分为两大定积分在经济中的应用归纳起来一般分为两大类型：类型：第一，已知边际函数或变化率，用定积分求原来的第一，已知边际函数或变化率，用定积分求原来的函数；函数；第二，已知边际函数或变化率，用定积分计算产量第二，已知边际函数或变化率，用定积分计算产量由到由到 时原来函数的改变量时原来函数的改变量一般地，已知边际成本、边际收入、边际利润等去一般地，已知边际成本、边际收入、边际利润等去考虑总成本、总收入、总利润等问题考虑总成本、总收入、总利润等问题ab45(1)已知某产品的边际成本为已知某产品的边际成本为 ，固定成本，固定成本为

26、，则产量为为，则产量为 个单位时总成本函数为个单位时总成本函数为产量由产量由 变到变到 时，总成本函数的改变量为时，总成本函数的改变量为()C xMC0CxbabaCMCdx 00()xC xMCdx C46(2)已知某产品的边际收入为已知某产品的边际收入为 ，则产量为，则产量为 个单位时总收入函数为个单位时总收入函数为产量由产量由 变到变到 时，总收入函数的改变量为时，总收入函数的改变量为()R xRCxbabaRMRdx 0()xR xRCdx47(3)某产品的边际利润为某产品的边际利润为则产量为则产量为 个单位时总利润函数为个单位时总利润函数为积分积分 是不计固定成本下的利润函数，有是不

27、计固定成本下的利润函数，有时也称为毛利润时也称为毛利润产量由产量由 变到变到 时，总利润函数的改变量为时，总利润函数的改变量为()()()L xR xC xMR CRxab0()xMR MC dx00()()xL xMR MC dx C()baLMR MC dx 48例例30已知某产品的边际成本为已知某产品的边际成本为（百元（百元/吨吨）,求：产量由求：产量由2吨增加到吨增加到5吨时总成本的改变量及平均成本吨时总成本的改变量及平均成本.100 2MCx解解:（百元）（百元）产量由产量由2吨增加到吨增加到5吨时总成本的改变量吨时总成本的改变量5522()(100 2)CC t dxx dx 32

28、11073Cx252(100)321xx平均成本为平均成本为 （百元（百元/吨）吨）49设生产某产品的边际成本为设生产某产品的边际成本为(万元万元/件件)，边际收入为，若在最，边际收入为，若在最大利润的基础上再生产大利润的基础上再生产30件产品，利润件产品，利润会发生什么变化？会发生什么变化？3MC18 0.06MRx例例31解解:该产品的边际利润为该产品的边际利润为令令 ,即，得惟一的驻点即，得惟一的驻点 ;()0L x()18 0.063 15 0.06L xMR MCxx 15 0.060 x250 x50解解:且且 ，所以产量为，所以产量为 件时，利润件时，利润最大在最大利润的基础上再

29、生产最大在最大利润的基础上再生产 件产品，利润件产品，利润的改变量为的改变量为亦即最大利润的基础上再生产亦即最大利润的基础上再生产3030件产品，利润件产品，利润会减少会减少2727万元万元280280250250()(15 0.06)LMR MC dxx dx 2280250(150.03)27xx()0.06 0L x25030(万元万元)51课堂练习课堂练习 ：（答案：（答案：2 2 ）3若某产品的固定成本为若某产品的固定成本为5万元，边万元，边际成本为际成本为 （万元（万元/百件），百件），求总成本函数求总成本函数61MCx（答案：（答案：）2()35C xxx1 1求由曲线在求由曲线在 上与轴所围成图形上与轴所围成图形的面积的面积 sinyx0,x2求由抛物线，求由抛物线，所围成图形的面积所围成图形的面积 2yx2xy（答案：（答案：）1/3521 1定积分的几何意义定积分的几何意义2 2利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形的面积 3 3利用定积分求旋转体的体积利用定积分求旋转体的体积 小结小结 4 4利用定积分求经济变量函数利用定积分求经济变量函数5 5利用定积分求经济变量的改变量利用定积分求经济变量的改变量 53作业作业 习题习题5,14 15 16 17 18 195,14 15 16 17 18 1954