与圆有关的比例线段(圆幂定理)课件.ppt

1、 2比例线段在求线段的长度、证明线段等积式、线段相等、两直线平行、线段倍分关系等方面有着广泛的应用.由相似三角形得对应边成比例，是研究比例线段的重要方法.而角在圆中转化灵活，为寻找构造相似三角形,得到比例线段提供了可能.当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解圆相关综合题的关键，分析图形可以从以下方面入手：（1）多视点观察图形；（2）多元素分析图形；图中有没有特殊点、特殊线段、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形.（3）将以上分析组合，寻找联系.3一、下面我们沿用一、下面我们沿用从特殊到一般的思路从特殊到一般的思路,讨论与圆有关讨论与圆有关的相交弦的问题的相交弦的问题

2、.探究探究1:如图如图,AB是是 O的直径的直径,CDAB,AB与与CD相交于相交于P,线段线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系？之间有什么关系？OBDACP证明证明:连接连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得则由圆周角定理的推论可得:AC.RtAPDRtCPB.此时PC=PD，所以PBPAPDPC22射影定理又又APD=CPB=904探究探究2:将将图中的图中的AB向上（或向下）平移向上（或向下）平移,使使AB不再是不再是直径（如图），结论（）还成立吗？直径（如图），结论（）还成立吗？OBDACP图图OBDACP图图PAPB=PCPD(1)证明证明:连接连接AD、BC.则由圆周角定理的

3、推论可得则由圆周角定理的推论可得:AC.RtAPDRtCPB.又又APD=CPB=905OBDACP图图PAPB=PCPD(1)证明证明:连接连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得则由圆周角定理的推论可得:AC.APDCPB.探究探究3:上面讨论了上面讨论了CDAB的情形进一步地的情形进一步地,如果如果CD 与AB不不垂直，如图垂直，如图,AB、CD是圆内的任意两条相交弦是圆内的任意两条相交弦,结论（）还结论（）还成立吗？成立吗？OBDACP图图OBDACP图图PAPB=PCPD(2)PAPB=PCPD(3)综上所述，不论综上所述，不论ABAB 、CDCD具有什么样的位置，具有什么样的位置，

4、都有结论（）成立！都有结论（）成立！又又APD=CPB6相交弦定理：相交弦定理：圆内的两条相交弦圆内的两条相交弦,被交点分成的两被交点分成的两条线段长的积相等条线段长的积相等.OBDACP几何语言：几何语言：AB、CD是圆内是圆内的任意两条相交弦的任意两条相交弦,交点为交点为P,PAPB=PCPD.上面通过考察相交弦交角变化中有关线段的关系，得出上面通过考察相交弦交角变化中有关线段的关系，得出相交弦定理相交弦定理.下面从新的角度考察与圆有关的比例线段下面从新的角度考察与圆有关的比例线段7探究探究4:使圆的两条弦的交点从使圆的两条弦的交点从圆内圆内（图）运动到（图）运动到圆圆上上（图），再到（图

5、），再到圆外圆外（图），（图），结论结论(1)还成立吗？还成立吗？OBDACP图图3OBA(C,P)D图图4OBDACP图图5当点当点P在圆上在圆上,PA=PC=0,所以所以PAPB=PCPD=0仍成立仍成立.当点当点P在圆外在圆外,连接连接AD、BC,容易证明容易证明:PADPCB,所以所以PA:PC=PD:PB,即即PAPB=PCPD仍成立仍成立.8如图如图,已知点已知点P为为 O外一点外一点,割线割线PAB、PCD分别交分别交 O于于A、B和和C、D.求证求证:PAPB=PCPD.证法证法2：连接：连接AC、BD，四边形四边形ABDC为为 O 的内的内接四边形接四边形,PAC=D，又又

6、P=P,PBD PCA.PD：PA=PB：PC.PAPB=PCPD.割线定理：割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等段长的乘积相等.应用格式（几何语言描述）应用格式（几何语言描述）:PAB,PCD是是 O 的割线的割线,PAPB=PCPD.OBDACP图图59点点P从圆内移动到圆外从圆内移动到圆外PAPB=PCPDOBDACPPAPB=PCPDOCPADB使割线使割线PA绕绕P点运点运动到切线的位置，动到切线的位置，是否还有是否还有PAPB=PCPD？连接连接AC、AD,同样可以证明同

7、样可以证明PADPCA,所以所以PA:PC=PD:PA,即即PA2=PCPD仍成立仍成立.DOPCA10如图如图,已知点已知点P为为 O外一点，外一点，PA切切 O于点于点A，割线，割线PCD 交交 O于于C、D.求证：求证：PA2=PCPD.证明：连接证明：连接AC、AD，PA切切 O于点于点A,D=PAC.又又 P=P,PAC PDA.PA：PD=PC：PA.PA2=PCPD.切割线定理切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项.应用格式（几何语言描述）应用格式（几何

8、语言描述）:PA是是 O 的切线的切线,PCD是是 O 的割线的割线,PA=PCPD.DOPCA探究探究5:使圆的割线使圆的割线PCD绕点绕点P运动到切线位置，运动到切线位置，可以得出什么结论？可以得出什么结论？11探究探究5:使圆的割线使圆的割线PCD绕点绕点P运动到切线位置，运动到切线位置，可以得出什么可以得出什么结论？结论？切线长定理切线长定理PA=PC,APO=CPOOA(B)PC(D)PAPB=PCPD12点点P P从圆内移从圆内移动到圆外动到圆外.相交弦定理相交弦定理PAPB=PCPDOBDACP割线定理割线定理PAPB=PCPDOCPADB使割线使割线PAPA绕绕P P点运动到切

9、点运动到切线的位置线的位置.OA(B)PCD切割线定理切割线定理PA2=PCPD使割线使割线PCPC绕绕P P点也运动到点也运动到切线的位置切线的位置.切线长定理切线长定理PA=PC,APO=CPOOA(B)PC(D)由上看出，两条线的交点位置从内到外，都有着相似的由上看出，两条线的交点位置从内到外，都有着相似的结论结论 .这些等积式会是一个定值吗？这些等积式会是一个定值吗？13点点P P从圆内移从圆内移动到圆外动到圆外.相交弦定理相交弦定理OBDACP割线定理割线定理PAPB=PCPDOCPADB使割线使割线PAPA绕绕P P点运动到切点运动到切线的位置线的位置.OA(B)PCD切割线定理切

10、割线定理使割线使割线PCPC绕绕P P点也运动到点也运动到切线的位置切线的位置.切线长定理切线长定理PA=PC,APO=CPOOA(B)PC(D)EFEFEF22OPR 22ROP 22ROP 2222ROPPCPAPA2=PCPDPAPB=PCPDOPROPRPFPEPBPAROPROPPFPEPBPA22ROP 14思考：从这几个定理的结论里大家能发现什么共同点？思考：从这几个定理的结论里大家能发现什么共同点？1.结论都为乘积式结论都为乘积式;2.几条线段都是从同一点出发几条线段都是从同一点出发;3.都是通过三角形相似来证明（都隐含着三角形相似）都是通过三角形相似来证明（都隐含着三角形相似

11、）.PC切切 O于点于点C=PAPB=PC切割线定理切割线定理OBPCA割线割线PCD、PAB交交 O于于点点C、D和和A、B=PAPB=PCPD割线定理割线定理OBCADPAB交交CD于点于点P=PAPB=PCPD相交弦定理相交弦定理OBPCADPA、PC分别切分别切 O于点于点A、C=PA=PC,APO=CPO切线长定理切线长定理OA(B)PC(D)另外，从全等角度可以得到：另外，从全等角度可以得到：4.PAPAPB=PCPB=PCPD=PD=定值定值=(OP+R)OP-R=OP-R.15相交弦定理相交弦定理OBDACP割线定理割线定理OCPADBOA(B)PCD切割线定理切割线定理切线长

12、定理切线长定理OA(B)PC(D)圆幂定理 22ROPPDPCPBPA16二、联系直角三角形中的射影定理，你还能想到什么？二、联系直角三角形中的射影定理，你还能想到什么？ADCBCO说明了说明了“射影定理射影定理”是是“相交弦定理相交弦定理”和和“切割线定理切割线定理”的的特例！特例！BADC从特殊到一般，又从一般到特殊，这是两种重要的数学思想，请同学们在平时的学习中注意应用.17例例1 1 如图如图,圆内的两条弦圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点相交于圆内一点P,已知已知PA=PB=4,PC=PD.求求CD的长的长.OBPCAD由相交弦定理，得由相交弦定理，得PAPB=PCPD,CD=10

13、.41解：设解：设CD=x,则则PD=,PC=.x54x5144=,解得解得x=10.xx5451181.如图如图,割线割线PAB,PCDPAB,PCD分别交圆于分别交圆于A,BA,B和和C,D.C,D.已知已知PA=5,PB=8.PA=5,PB=8.(1)(1)若若PC=4,PC=4,求求PDPD和和PTPT的长；的长；(2)(2)若若PO=7,PO=7,则半径则半径R R的长的长.PD=10 R=3ODPATBC102PT解：解：(1)(1)PAPB=PCPD又又 PTPT2 2=PAPB=PAPB PBPARPO222 19例例2如图，两圆相交于如图，两圆相交于A、B两点，两点，P为两圆

14、公共弦为两圆公共弦AB上任意一点，从上任意一点，从P引引两圆的切线两圆的切线PC、PD，求证：，求证：PC=PD.PC2=PAPB,PD2=PAPB.CPADB证明：由切割线定理可得：证明：由切割线定理可得：PC2=PD2.即即PC=PD例例3如图，如图，AB是是 O的直径，过的直径，过A、B引两条弦引两条弦AD和和BE，相交于点相交于点C求证：求证：ACAD+BCBE=AB2证明：连接证明：连接AE、BD，过，过C作作CFAB于于FAB是是 O的直径，的直径，AEB=ADB=900.又又 AFC=900,A、F、C、E四点共圆四点共圆.BCBE=BFBA.(1)同理可证同理可证F、B、D、C

15、四点共圆四点共圆.ACAD=AFAB.(2)(1)+(2)可得可得 ACAD+BCBE=AB(AF+BF)=AB2.为什么？ABDECOF20OPADCB2.如图如图,A是是 O上一点上一点,过过A切线交直径切线交直径CB的延长线于点的延长线于点P,ADBC，D为垂足为垂足.求证：求证：PB:PD=PO:PC.分析：要证明分析：要证明PB：PD=PO：PC,很很明显明显PB、PD、PO、PC在同一直线在同一直线上无法直接用相似证明，上无法直接用相似证明，且在圆里的且在圆里的比例线段通常化为乘积式来证明比例线段通常化为乘积式来证明,所所以可以通过证明以可以通过证明PB PC=PD PO,而而由由

16、切割线定理有切割线定理有PA2=PB PC,只需再只需再证证PA2=PD PO，而，而PA为切线为切线,所以所以连接连接OA,由射影定理由射影定理 得到得到.213.3.已知：如图，已知：如图，PTPT切切O O于点于点T T，PAPA交交O O于于A A，B B两点且两点且与直径与直径CTCT交于点交于点D D，CD=2CD=2，AD=3AD=3，BD=6BD=6，求，求PBPB长长 .解：根据相交弦定理得DTCD=ADBD，DT=9设PB=x根据切割线定理和勾股定理得：PT2=PD2-DT2=PBPA，即（x+6）2-81=x（x+9），解得x=15，即PB=15此题综合运用了相交弦定理、

17、切割线定理和勾股定理224.4.如图，已知如图，已知A A、B B、C C、D D在同一个圆上，在同一个圆上，BC=CDBC=CD，ACAC与与BDBD交于交于E E，若若AC=8AC=8，CD=4CD=4，且线段，且线段BEBE、EDED为正整数，求为正整数，求BDBD长长.解：BC=CD，BAC=DAC，DBC=DAC，BAC=DBC，又BCE=ACB，ABCBEC，BC2=CEAC，AC=8，CD=4，EC=2，AE=6，由相交弦定理得，BEDE=AEEC，即BEDE=12，又线段BE、ED为正整数，且在BCD中，BC+CDBE+DE，所以可得BE=3、DE=4或BE=4、DE=3，所以

18、BD=BE+DE=7 23例例4.如图如图,PA是是 O的切线的切线,M是是PA的中点的中点,求证求证:MPB=MCPMA=MBMC=PMMCPMPMMBMBPPMCMPB=MCPAPCBMO思路思路：24例5.如图，AB是O的直径，弦CDAB于H，过CD延长线上一点E作O的切线交AB的延长线于F切点为G，连接AG交CD于K（1）求证：KE=GE；（2）若KG=KDGE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=3，求AK=FG的长解：（1）如答图1，连接OGEG为切线，KGE+OGA=90，CDAB，AKH+OAG=90，又OA=OG，OGA=OAG，KGE

19、=AKH=GKE，KE=GE25解：ACEF理由为：连接GD，如答图2所示 KG2=KDGE，即 ，又 KE=GE又KGE=GKE，GKDEGK，E=AGD，又C=AGD，E=C，ACEF例5.如图，AB是O的直径，弦CDAB于H，过CD延长线上一点E作O的切线交AB的延长线于F切点为G，连接AG交CD于K（2）若KG2=KDGE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；KDKGKGGEKDKGKGEK26sinE=sinACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，KE=GE，ACEF，CK=AC=5t，HK=CKCH=t在RtAHK中，根据勾股定理得 ，即 ，解得t=设 O半径为r，在

20、RtOCH中，OC=r，OH=r3t，CH=4t，由勾股定理得：（r3t）2+（4t）2=r2，解得r=EF为切线，OGF为直角三角形，在RtOGF中，OG=r=，tanOFG=tanCAH=，（3）解：连接OG，OC，如答图3所示 例5.如图，AB是O的直径，弦CDAB于H，过CD延长线上一点E作O的切线交AB的延长线于F切点为G，连接AG交CD于K（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长525353222AKHKAH 222523tt26225625t6225348225346225tanOFGOGFG圆中线段的计算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过

21、代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键.272829301、如图：过点、如图：过点A作作 O的两条割线的两条割线,分别分别交交 O于于B、C和和D、E.已知已知AD=4,DE=2,CE=5,AB=BC.求求AB、BD.OAECDB5 32 3,.3ABBD=312.如图如图,E是圆内两弦是圆内两弦AB和和CD的交点，直线的交点，直线EF/CB,交交AD的延长线于点的延长线于点F，FG切圆于点切圆于点G.求证：求证：(1)DFEEFA;(2)EF=FG.OBECADFG证明证明：(1)EF/CB,DEF=DCB.DCB和和DAB都是都是 上的圆周角上的圆周角

22、.DAB=DCB=DEF.DFE=EFA（公共角）（公共角）,DFEEFA.(2)由由(1)知知 DFEEFA，EF2=FAFD.又又FG是圆的切线，是圆的切线，FG2=FAFD.EF2 =FG2,即即FG=EF.323.如图，如图，AB、AC是是 O的切线，的切线，ADE是是 O的割线，连接的割线，连接CD、BD、BE、CE.问题问题1:由上述条件能推出哪些结论？由上述条件能推出哪些结论？CD:CE=AC:AE,CDAE=ACCE.(2)同理可证同理可证BDAE=ACCE.(3)AC=AB,由由(2)(3)可得可得BECD=BDCE.(4)探究探究1:由已知条件可知由已知条件可知ACD=AE

23、C,而而CAD=EAC,ADCACE.(1)CAOBED图图133问题问题2 在图在图1中中,使线段使线段AC绕绕A旋转，得到图旋转，得到图2.其中其中EC交圆于交圆于G,DC交圆于交圆于F.此时又能推出哪些结论？此时又能推出哪些结论？CAOBED图图1CAOBED图图2GF探究探究2:连接连接FG.与探究与探究1所得到的结论相比较所得到的结论相比较,可以猜想可以猜想ACDAEC.下面给出证明下面给出证明.AB2=ADAE,而而AB=AC,ADCACE.(5)而而CAD=EAC,AC2=ADAE,同探究同探究1的思路，还可得到探究的思路，还可得到探究1得出的结论得出的结论(2)(3)(4).另

24、一方面，由于另一方面，由于F、G、E、D四点共圆四点共圆.CFG=AEC.又又ACF=AEC.CFG=ACF.故故FG/AC.(6)你还能推出其他结论吗？你还能推出其他结论吗？34问题问题3 在图在图2中中,使线段使线段AC继续绕继续绕A旋转，使割线旋转，使割线CFD变成切线变成切线CD,得到图得到图3.此时又能推出哪些结论？此时又能推出哪些结论？探究探究3:可以推出探究可以推出探究1 1、2 2中得到的中得到的(1)(1)(6)(6)的所有的所有结论结论.CAOBED图图2GFCAOBED图图3PQG此外，此外，AC/DG.ADCACE.由由(7)(8)(7)(8)两式可得：两式可得：ACC

25、D=AECG.(9)连接连接BDBD、BE,BE,延长延长GCGC到到P,P,延长延长BDBD交交ACAC于于Q,Q,则则PCQ=PGD=DBE,PCQ=PGD=DBE,所以所以C C、E E、B B、Q Q四点共圆四点共圆.(10)(10)你还能推出其他结论吗？你还能推出其他结论吗？351 1、这节课我们学习了、这节课我们学习了圆幂定理圆幂定理.圆幂定理圆幂定理是一个总结性是一个总结性的定理，是对的定理，是对相交弦定理相交弦定理、切割线定理切割线定理、割线定理割线定理及切及切线长定理的统一与归纳。根据两条与圆相交关系的线的线长定理的统一与归纳。根据两条与圆相交关系的线的位置不同，要特别注意它们之间的联系与区别位置不同，要特别注意它们之间的联系与区别.2、要注意圆中的比例线段的结论的特点及实际中的应用、要注意圆中的比例线段的结论的特点及实际中的应用.3、圆中的比例线段在实际应用中也非常重要，注意与、圆中的比例线段在实际应用中也非常重要，注意与 代数、几何等知识的联系及应用代数、几何等知识的联系及应用.36